Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 5

Luận văn thạc sĩ -chuyên ngành Toán giải tích Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm

CHUaNG 2

2.1 Dinh nghia phep bie'nhlnh K - a bao giac

PBHKABG du'<Jcdinh nghia bdi nhi~u cach, trong do dinh nghia hinh hQc du'oi day Ia dinh nghia t6ng quat nha't

Ml)t song anh lien t(lChai chMu w=f(z) tit mi~n A zen mi~n B, baa toim

eho modun m caa ml)t ta giac Gong V (tae tiff gil1a hai cf;lnheaa hinh chl1 nhq.t tl1cmg dl1cmg baa giac wJi ta giac cong) bat kY trang A va modun m' caa

V' = f(V) iuon thoa

m ::;m' ::; Km

ho~c

belt kY mi~n nhi lien D nao trong A co modun M (tac tiff gil1aban kink idn va ban kink nho caa hinh vanh khan tl1cmgdl1cmgbaa giac v(ji D) thi D' =f(D) co

modun M' thoa

I

PBHKABG co mQt s6 tinh cha't cd ban sau:

b) H<Jpcua PBHK1ABG voi PBHK2ABG la PBH(K1K2)ABG, d~c bi~t h<Jp cua PBHKABG voi PBHBG la PBHKABG

c) Phep bien hinh ngu'<Jccua PBHKABG cling Ia PBHKABG

d) V~ cac trnong h<Jpxay ra d~ng thuc trong (2.1) va (2.2), Grotzsch ([7])

5

d5 chi fa:

./ Neu fez) = u(x,y) + iv(x,y), z = x + iy, la PBHKABGbien hlnh chi1'

nh~t

v = {x+ iylO< x < m, 0 < y < I}

1en hlnh chi1'nh~t

V' = {u + ivio < u < m', 0 < v < I}

sao cho cae dinh tu'dng ung vdi nhau thl

m' = Km <=>

{

u = Kx

{

X

U=-m=- <=> K

./ Neu w = j{z) 1aPBHKABGhlnh vanh khan

D = {zit< Izl < M}

1en hlnh vanh khan

D' = {wit < Iwl< M'}

sao cho Izi= 1 tu'dng ung Iwl= 1 thl

M' = MK <=>j(z) = alzr-I z, lal = 1, (2.5)

M' = MK <=>j(z) = alzlK-l z,lal = 1. (2.6)

Ah1fors [3] trong phgn md dgu quyen sach cua mlnh d5 chi ra vai 1y do t~i

sao phep bien hlnh a - bao giac (PBHABG) ggn day trd thanh mQt bQ ph~n quaD tn;mg trong ly thuyet ham mQt bien phuc:

1) PBHABGla sv md rQngtv nhien cua PBHBG Tuy nhien, neu sv md rQng

nay chi Ia st! hi€u ky thl no da mall chong bi qUell lang.

2) Co nhieu dinh ly trong PBHBG chi sa d\lng thuQCtfnh a - baa giac Do v~y, thuQc tfnh baa giac trong mQt vai tntang h<;fpra"tdn thi€t nhu'ng doi khi thl khong (ch~ng h(;lnxem cac h~ qua 3.4,4.2,4.4,5.3)

3) PBHABG co it rang buQc hdn PBHBG, do do no du'<;fcsa d\lng mQt each de dang nhu' mQt cong C\l.Ch~ng h(;ln,no da du'<;fcdung d€ chung minh nhii'ng dinh

ly ve lOp PBHBG cua nhii'ng di~n Riemann ddn lien

4) PBHABG giii' mQt vai tro quail tr<;mgtrong vi~c nghien cUu mQt s6 h~ phu'dng trlnh vi phan elliptic

5) Nhii'ng bai toaD ct!c tq trong PBHABG thu'ang d~n d€n nhii'ng ham giai tfch

tren nhii'ng mien hay nhii'ng di~n Riemann Bieu nay da du'<;fcphat hi~n ra bai Teichmiiller

6) Nhii'ng bai toaD ve modun da du'<;fCgiai nha PBHABG Chung cling lam sang to cac nhom Fuchs va Klein

7) PBHBG khong th€ ma rQng cho ham nhieu bi€n phuc nhu'ng PBHKABG thl

co th€ VI v~y ly thuy€t nay chi moi a thai ky sd khai.

2.3 Cae ky hi~ll va mve dieh nghi(~n CUll

Gia sa B la mQt mien (p + 1) lien p ~ I cho tru'oc trong mi.itph~ng phuc w chua di€m w=O, co cac thanh ph~n bien trong O"o'O"W"'O"p-lkhong thoai boa thanh cac di€m rai r(;lCva thanh ph~n bien ngoai C voi max {IwllwE c} =1 sac

.2,.

1-cho B bi€n thanh chinh no bai phep quay W = e Pw.

Bi.ic bi~t khi cac O"j(j = 0,1, ,p -1) la cac cung troll d6ng tam 0 va C la

du'ang troll ddn vi, ta vi€t B=Bo

7

hlnh troll Izi < 1 bi dt dQcp cung trOll

vdiO<R(g)<1, O<a(g)<~, j=O,1, ,p-l saocho g(O)=O,C tu'dngung

p

Izi = 1 va cac (j tu'dng ung L (hlnh 2.1).

Hdn nlia, g c6 tinh d6i Kung quay p Iffn

(

.2/r

J

.2/r

z=g(w)

~

(2.8)

"

C

"" " ,

" "

/,'1

OB G"j

0

'\

~"

"' -.0

Hinh 2.1: PBHKABG mi€n B ten mi€n chuifn A ung vdi p=2

Nhu' v~y m6i nhat dt Lj d~u c6 clIng ban kinh la R, 0 < R < 1 va g6c ma

p = (;- a) thoa man 0 < P< ~

M =max{lwllw E C} (=1)

c = min{lwilw E lTj} (j = 0,1, ,p -1)

(j = O,l, ,p-1)

d = max{lwllw E lTj}

GQi S 1(~ 7T:)la di~n tich trong(l) cua mi~n do C baa bQc

S (~ Sl) la di~n tich trong cua mi~n B

s la di~n dch ngoai(2)cua t~p dong gidi hC;\nbdi m6i (Jj(j = O,l, ,p-l).

V~y S = SI - ps.

GQi F Ia Wp cac PBHKABG w= I(z), 1= g-I, g E G, bie'n mi€n A leu

mi€n B

'

m , - 1m -rr->O

-rK

(* 0)

*

(0 I) - I m(r,/)

r->O r

M'(O,/) =Jim M(r,/) r->O J

rK

M* (0,/) = Jim M(r,/)

r->O rK

S'(O,/) = HmS(r,/) r->O 2

;rrK

vdi E (r, I) la t~p di€m w tu'dng ung vdi du'Cfngtroll Izi=r,o< r ~ 1(k€ ca r=R)

bdi w= I (z) ,I E F va S (r, I) Ia di~n dch trong cua mi€n chua w=o gidihC;\n

bdi E(r,/), VI E F.

Do (2.8), ta co

.21r

(

.21r

J

/J; I(z) = I /p z , Vz E A,

tuc ham w =I (z) cling d6i xung quay p 19n.

Ml;]cdfch chinh cua lu~n van nay la thie't l~p cac c~n tren va c~n du'di dung ho~c ti~m c~n dung cho Ig(w)1 va cac dC;\ilu'<;fngd~c trung cho mi€n chu~n

A:R(g), peg) tuc to~mbe>cac modun bao giac cua mi€n B, theo cac dC;\ilu'<;fng K,

p, c, d, s, S valwl vdi wEB, g E G Ngoai ra, chung Wi con giai me>tbai toan t6i

(I) Di~n tich trong cua mQt t~p di~m D la c~n tren dung (sup) cua di~n tich t~p di~m nilm trong D gidi h!,in

bi'1imQt s6 hfi'u h!,incae da giac.

(2)Di~n tich ngoai cua mQt t~p di~m D la c~n dltdi dung (inf) cua di~n tich t~p di~m chua D gidi h!,inbi'1i

illQts6 hfi'u h!,incae da giac.

9

u'u co lien quan (xem chu'dng 5).

Cac ke't qua trong lu~n van nay du'<jcbi~u thi b~ng nhii'ng cong thuc ddn gian

ho~c cac ham phl;1T(p,r,s), R(p,t,s) ma ta se dinh nghia chung trong ph~n 3.2 cua chu'dng 3 Ph~n IOn cac c~n trong cac danh gia d€u d~t bdi mQt ham Cl;1th~

naGdo Cac c~n con l~i tru cac danh gia p (g) d€u t6i u'u theo nghia khong th~

thay the' chung b~ng nhii'ng c~n t6t hdn ma chi phl;1thuQc VaGcling cac d~i lu'<jng