Nghiên cứu và gải bài toán khôi phục cấu trúc xạ ản từ ba ảnh trong thị giác máy tính 7_2

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành hình học và tôpô đề tài Nghiên cứu và gải bài toán khôi phục cấu trúc xạ ản từ ba ảnh trong thị giác máy tính

Chtio'ng 4 BAI TOAN KHCn PHT,JCCAD TRUC x~ ANH TU T~P N DIEM

TUONG UNG TREN 3 ANH KHONG DfNH CO

Trong chuang nay se trlnh bay giai thu~t d€ khoi ph\lc t~p n di€m 3-chi~u dl,l'atren thong tin cua t~p n di€m tuong ling tren 3 anh 2-chi~u Tntoc tien, ta

xem cach giai quye"tva nhii'ng cM tie"nill' giai thu~t khoi ph\lc d6i ng~u d€ xay dl,l'nggiai thu~t khoi ph\lc 6 di€m tren 3 anh va giai thu~t khoi ph\lc 6 di€m tren n anh [17] Sail d6 se md rQng giai thu~t 6 di€m tren 3 anh d€ giai quye"tbai toan n di€m tren 3 anh Cu6i clIng se danh dQ phlic t(;1pcua thu~t toan, ke"t qua khoi ph\lc dl,l'atren giai thu~t dl,l'atren dii' li~u gia l~p va dii' li~u thl,l'c

4.1 Xet 6 di~m tren mQt anh

GQi6 di€m trong khong gian la M1, , M6 Qua ma tr~n Camera X(;1 anh P

ta thu duQc 6 di€m anh ml' , m6 tuong ling tren m<}tph:1ng anh, nhu hlnh 3.6 Nghia la, mi =PMi, i =1,6

Gia sii' mi =(Wixi' WiYi' Wi)T voi xi' Yi da bie"t con Wi chua bie"t B<}t 7fT, 7r;, 7r; la cac vectd dong cua ma tr~n P nhutrong 2.2.3.2 Nhu v~y voi

m6i di€m anh se cho h~ hai phuong trlnh:

W.X.~ ~ =7r lTM.~

W.~ =7r 3TM.~ {

Xi7r; Mi =7r[ Mi

Yi7r3 Mi =7r2 Mi

(4.1)

WiYi =7r; Mi

Cac phuong trlnh trong (4.1) tuye"ntinh theo cac ph~n tii' trong P, do d6 t~P

6 di€m se sinh ra 12 phuong trlnh voi 12 fin duQc vie"tduoi d(;1ngA7r=O Trang

d6, vectd 7r duQc t(;10ra tu cac ph~n tii' cua ma tr~n P va cac ph~n tii' cua ma

tr~n A la cac h<%s6 cua nhung bie'u thuc tuye"n tinh trong trong h<%tQa de>

(Xi, Yi, Zi, 1i) cua nhung die'm Mi, Me>t khi h<%cac phu'dng trlnh nay phiH co

nghi<%mkhac 0 se keo theo di€u ki<%ndet A = o Bi€u nay cho ta me>tda thuc

b~c 12 theo Xi, Yi, Zi, 1i Nhu' v~y, nhung die'm du'Qc anh x~ ten lIen nhfi'ng

die'm anh ne"u duQc quail sat bdi me>tCamera chu'a dinh co phai thoa ~a thuc nay B~ng st;t It;ta chQn thich hQp voi h<%to~ de>x~ anh, ta gia sa nam die'm Mi

d~u lien co to~ de> (1,0,0, O)T, (0,1,0, O)T, (0,0,1, O)T, (0,0,0, l)T va (1,1,1, l)T

va vi tri die'm thu sau Ma = (X, Y, Z, T)T chu'a du'Qcxac dinh ClIng voi di€u

ki<%ndet A =0 se giam con me>tda thuc b~c hai Bi€u nay chung to ke"tqua sau Dinh ly 4.1 Gia sa t~p hQp sau die'm Mi du'Qcx~ anh ten cac die'm mi lIen me>tanh Ne"u to~ de>x~ anh cua Mu , Ms la tQa de>trong cd sd chinh t~c cua 1>3 thl die'm thu sau phai n~m lIen m~t b~c hai, du'Qc xac dinh duy nha't bdi

cac to~ de>cua nhfi'ng die'm anh mi' Xem chung minh trong [9].

Nhu' v~y khi cho 3 anh, vi tri cua di€m Ma du'Qcxac dinh bdi giao ba ill?t b~c hai Co the' co ta't ca la 8 nghi<%m,ke"tqua nay du'Qckie'm ITatrong [7], trong

do co 5 nghi<%mla cac die'm M1, , Ms do do chi co the' co 3 nghi<%mcho Ma.

Ke"t qua kh6i phl,lCtu 6 di€m lIen 3 anh du'Qc trmh bay trong [7] nhu'ng theo phu'dng phap khac so voi phu'dngphap se du'Qctrlnh bay sau day:

4.2 Biti tmin 6 di~m

Trong ph~n nay se sa dl,lngke't qua dinh ly 4.1 va ke't hQp cai tie'n cua giai thu~t d6i ng~u trong 3.1.2.2 de' giai quye"tbai loan 6 die'm

GQi ml, , mi la 6 die'm lIen m~t ph~ng thu j voi j =1,k, k > 3 Nhu' v~y theo phu'dng phap trong thu~t loan 3.2 thl ml, m~, mi, ml du'Qcbie"nd6i

b?

H j Khi d' Ij H j j Ij H j j ' 1/ d/.

~ 5 Ij 6 Ij

Nhu' v~y, bai tmin trd thanh khoi ph\lc tu k c~p di€m d6i ngfiu m~ ++ m~

tu'ong ling tren hai m~t Bay 1a d~ng bai tmln dff du'Qctrlnh bay trong 3.1.1 Tuy nhien, co stf khac bi~t khi tlm ma tr~n co sd VIchI co 3 c~p di€m tu'ong ling tren

2 m~t Ngoai fa, vi~c xac dinh nhfi'ngphep d6ng anh Hj khong theo cach thong thu'ong nhu' ph\ll\lc B Do v~y, d day co ba van dl tr{Jngtam cftn giai quye't la:

Xac dinh phep d6ng anh Hj Ta gQiday la phep d6ng anh rut gQn.

TIm ma tr~n co sd F tu cac di€m d6i ngfiutu'ongling m~ ++ m~ b~ng

cach giai h~ phu'ong trlnh

6T F '-"' 5

0 .

1k

'T". h . A

C ' P 5, P 6 , F .-

dm a1 ma tr'.ln amera rut gQn va to' .

4.2.1 Tinh phep d6ng anh rut gQn

r:r Phat bi~u biti toaD Cho 4 di€m m1' mz, m3' m4 tren m9t anh 2-chi€u TIm phep d6ng anh H d€ bie'n 4 di€m tren vao co sd chinh t~c cua rp2.

Nghla la,

r:r Phan Heh Va'n d€ nay du'Qc nh~c de'n trong cac bai baa tuy nhien phu'ong phap d€ tlm du'Qc phep d6ng anh hftu nhu' khong nh~c de'n, thtfc te' chung

ta khong th€ tlm no theo cach thong thu'ong nhu' trong ph\ll\lc B Thtfc v~y,

GQi h{, hi, hi 1a ba vectOhang cua ma tr~n khong suy bie'n H va

bi€u di€n thuftn nha't cua di€m anh mi co d~ng vectOC9t (Xi' Yi' Wi)T.

Ta thffy el =(1,0, O)T, e2=(0,1, O)T la di€m d vo cung, e3=(0,0, l)T

la di€m g6c Trang khi do e4=(1,1,l)T la di€m sinh bdi el' e3' e3 Nhu' v~y, d€

xac dinh du'<;1cH tru'oc h€t ta dung d€n 3 di€m ml' m2' m3 Theo (4.3) suy fa

h~ phu'ong trlnh sau:

"'1 m2 =0,,"2 m2 = 1,~m2 =0

hJm3 =0,him3 =0,him3 =1

(4.4 )

Xet hai phu'ong trlnh tfong (4.4):

[

hJm2 =0

, "1 m3 =0 hJ = adm2 X m3)T (theo ph\l l\lc A.I) tu'ong tlf ta cling xac dinh du'<;1chai hang con l~i cua ma tf~n H

T

~ = a2 m3 X ml , ~ =a3 ml X m2 trong do al' ~, a3 Ia nhii'ng h~ng s6 d 1~ chu'a bi€t

Khi do ma tf~n H co d~ng sau:

al (m2 X m3)T

H =la2 (m3 X ml)T

a3 (ml X m2)T

(4.5)

- Ngoai fa, tu Hm4 =e4 ta suy fa h~ sau:

al (m2 X m3)T m4 =1

a2 (m3 X ml)T m4 =1

a3 (ml X m2)T m4 =1

(4.5)

nhu' v~y, d day ta dung di€m m4 d€ xac dinh ba h~ng s6 d l~ chu'a bi€'t trong H.

Do cae ph~n ttt trong ma tr~n H sai khac nhau mQt h~ng s6 d l~ lien d€ xac dinh aI' a2' a3 ta l~p d l~ sau:

al (m2 X m3 { m4 : a2 (m3 X ml)T m4 : a3 (ml X m2 { m4 =1 : 1 : 1

ta suy ra h~ sau:

a2 (m3 X ml{ m4 =a3 (ml X m2)T m4 a3 (ml X m2)T m4 =al (m2 X m3{ m4 (4.6)

al (ml X m2)T m4 =a2 (m3 X ml)T m4

b~ng each sip x€'p dC;lis6 ta du'a (4.6) v~ h~ phu'ong trlnh thu~n nhfft Aa =0 sau:

Nhap TQa de>4 di€m ml' m2' m3' m4'

Thua t tmln.

al

Bu'oc 3 Gi,}i Aa =0 theo phl;lll;lCA.3 ta du'<Jca =(al'a2,a3{

al h{T

Bu'oc 4 Theo (4.5) ta co ma tr~n d6ng anh H = la2~T

h'T

a3"'3 4.2.2 Tinh ma tri;ln cd sd rut gc;m

Dfnh nghi'a 4.1 Ma tr~n cd sa if' du'<JcgQila ma tr~n cd sa rut gQnne'u thoa

do ;:,

kiA T

F

-1 4 leu yn ei ei = , z = ,

Nhu' v~y, ne'u ma tr~n if' thoa di€u ki~n e[ if'ei =0, i =1,3 thl cac phfin

ta tren du'ong cheo cua ma tr~n if' d€u b~ng O M~t khac, di€u ki~n (1,1,1{ if' (1,1,1) = 0 nghla la t6ng cac phfin ta cua ma tr~n if' b~ng O Suy ra

ma tr~n cd sa rut gQn if' co d(;lngnhu' sau:

F =I r 0 8 I trong d6 u + p + q + r + 8 + t = 0

(4.8)

b~ng cach tham s6 hoa ma tr~n cd sa thoa ta't ca cac rang buQc tuye'n tinh ma khong cfin di€u ki~n det if'=0

U€ xac dinh cac tham s6 p, q, r, s, t ta sa dl;lngnhfi'ngc~p di€m tu'dng

ling m~ +-7m~ thoa m~T Fm~ =0, j = 1,k Voi m6i c~p di€m tu'dngling cho

mQt phu'dng trlnh tuye'n tinh, nhu' v~y cfin it nha't 4 c~p di€m tu'dng lingoNhu'ngkhi

do ma tr~n F co th€ khong thoa di€u ki~n det if'=0 (tru'ong h<Jpnay du'<Jctinh b~ng phu'dng phap khac trong [13]) Tuy limen, trong tru'ong h<Jpchi co 3 c~p di€m tu'dngling ta ke't h<Jpthem di€u ki~n det if' =0 thl xac dinh du'<Jcif'

r:r Thu~it tmin 4.2 Tinh ma tr~n cd sa nit gQn

Nhap TQa dQt~p di~m d6i ng~u m~ +-+ m~,j =1,3 tren hai anh

Xua't Ma tr~n cd sa nit gQnF

Thua t tmin

Bu'oc 1 L~p h~ phudng trlnh Ai =0

Th h .!:: h"" ? , ~

ay tQa t uan n at cua cac cc,tp lem tudng ling mj = Xj' Yj' Wj , m~ =(xJ, yJ, wJf vao (4.2) va ke't hQp(4.8) ta duQc

Y x pJJ + w.x q +x yJJ JJ .r + w.JJy .s + x.w.t +JJ y w.uJJ =

j =1,3

ajlP + aj2q + aj3r + aj4s + aj5t =0

{:} ~ajl = YjXj - Yjwj,aj2 = WjXj - YjWj,aj3 = XjYj - YjWj'

VI (4.9) la h~ 3 phudng trlnh nhung c6 5 fin s6 do d6 h~ se c6 hai b~c tl!

do Ta sa dung phudng phap SVD d~ phan tich A = UD VT

P

an a12 a13 a14 a15 q

a31 a32 a33 a34 a35

s

t

0"1 0 0

0

0 0

A =U3X31 0

0

0"2

0 0"3 0 0

thl hai cQtcu6i cung (xem phl;1ll;1cA.3) cua V la nghi~m It, 12 cua h~ (4.9).

Btioc 3 TIm hai ma tr~n PI, P2

GQi 11=(puql,ru81,tl)T, 12 = (P2,Q2,r2,82,t2)T la hai nghi~m trong

co du'QCd bu'oc 2

0

Ta du'QCPI =I rl

0 811, P2 =Ir2 0 82

trongdo Ul =-(PI +Ql +rl +81 +~), U2=-(P2 +Q2 +r2 +82 +~)

Btioc 4 Tinh ma tr~n P tit PI va P2

Do (4.9) co 2 b~c tv do nen d~ng t6ng nghi~m t6ng quat cua h~ co d~ng

F = aPl + j3P2, khong ma'ttinh t6ng quat ta chQnj3 =(1- a) Khi do

Ke"t hQp di~u ki~n det F =0 ta du'Qcphu'dng trlnh b~c 3 theo a, nhu'

(4.10) du'Qc 1 hoij.c 3 ma tr~n cd sd rut gQn P.

4.2.3 TIm ma tr~n Camera rut gQn

Vi~c tlm l~i hai ma tr~n Camera rut gQntu'dng ling voi ma tr~n cd sd rut gQn

thoa (2.22) do la vi~c lam khong d€ Tuy nhien, ne"ugia sa:

1001 aOOd

5

I

6

Thl ma tr~n co sd rut gQntu'ongling voi c(LpCamera nhu' (4.11) co d(;lngsau:

0 b(d - c) -c(d - b)

F =I-a (d - c) 0 c (d - a)

a(d - b) -b(d - a) 0

(4.12)

Trong luQ-nvan nay sit dl;lng l{li ket qua (4.12) ma dii dll(fc chung minh trong [7] v~ tinh bat bitn cua 6 diim va dii dll(fCsit dung trong [8] va [13].

Ta tha'y (4.12) thoa nhung di€u ki~n tuye'n tinh e[ Fei =0, i = 1,4 va ca

di€u ki~n det F =O Nhu' v~y, cong vi~c con l(;liIa Om a, b, c, d tu (4.12) theo phu'ong phap tuye'n tinh sau do thay vao (4.11) ta du'<Jcma tr~n Camera F6.

GQi hj la ph§n tti' thli ij cua ma tr~n F khi do ta co

112=b(d - c), 113= -c (d - b)

121=-a (d - c), 123=C(d - a)

131=a (d - b), 132=-b (d - a)

(4.13)

Khi do tll~ a: b : c du'<Jcxac dinh bing cach giai t~p nhung phu'ong trlnh

tuye'n tinh thu§n nha't du'<Jcsuy ra tu 4.13

0 123 132 a

1;.3 0 131 bI =0

(4.14)

Ma tr~n trong (4.14) co cling h~;mgvdi ma tr~n F (bAng2) nen no chi co

m9t nghi~m duy nha't (sai khac hAng s6) Ta l~p ti 1~ a: b : c =1] : J1, : 0", ti l~

nay cho ba phuong trlnh tuye'n tinh theo a, b, c ma chi co hai d9C l~p tuye'n tinh:

~ (4.15)

Tuong t1!ti l~ d - a : d - b : d- c du<jcxac dinh bAng cach giii t~P nhii'ng

phuong trlnh tuye'n tinh thuffn nha't du<jcsuy ra tit 4.13

0 /21 /31 d - a

h2 0 /32 d - bI =0

/13 /23 0 d - c

(4.16)

<=> F (d - a, d - d,d - c) =0

Ma tr~n trong (4.16) chinh la ma tr~n chuy~n vi cua F nen co cling h~ng Ia

2 nen no cling chI co m9t nghi~m duy nha't (sai khac hAng s6) Ta l~p ti l~ nghi~m

d - a : d - b : d - c =(.V- 1] : (.V- J-l: (.V- 0", ti l~ nay cho ba phuong trlnh

tuye'n tinh theo a, b, c, d ma chI co hai la d9C l~p tuye'n tinh:

((.V- J1,)(d- a) = ((.V-1])(d - b)

«(.V- O")(d - a) =((.V-1] )(d - c)

«(.V- O")(d- b)=((.V- J1,)(d- c)

J1,a= 1]b 0 -0" J1, a

O"b = J1,C -J1, 1] 0 c

0 - «(.V- 0") (.V-J1, Ild-a

<=>I (.V - 0" 0 -((.V-1])lld-bl =0 (4.17)

-((.V-J-l) (.V-1] 0 Ild-c

Giiii(4.18)tatlmduQc a, b, c, d.

r::;-Thuat tmin 4.3 TIm ma tr~n Camera rut g<;>n

NhaI! Ma tr~n co sa rUt g<;>nF

~6

Xua't Ma tr~n Camera rut g<;>nP .

Thua t tmin

Bu'oc 1 TIm d l~ a : b : c =1] : J-t : (7" tu phuong trlnh (4.14)

Bu'oc 2 TIm d l~ d - a : d - b : d - c = ""- 1] : "" - J-l : "" - (7" tu phuong trlnh (4.16)

Bu'oc 3 Giiii h~ (4.18) theo phVIvc A.3 de tlm vectO (a, b, c, d)T

Bu'oc 4 Thay cac ph~n tU'cua vecto (a,b,c,d)T vao (4.11) ta duQc ma tr~n Camera ]56 co d~ng rUt g<;>nsail

a 0 0 d

~6

Tu (4.15) va (4.17) ta suy ra h sail:

(7" 0 -1] 0 Ifa

0 - ("" - (7") ""-/l ("" -/l) - ("" - (7") cl = 0 (4.18)

""-(7" 0 -(""-1]) (""-(7")-(""-1]) d

-(""-/l) ""-1] 0 ("" - 1]) - ("" - J-t)

4.3 Bili toaD n di~m tren 3 mi,it

r:r Gioi thi~u Nhu' da trlnh bay trong ph§n d~t va'n d€, day la bai tmln chinh ma trong lu~n van nay hu'ang de"n.Bai tmln nay du'<Jcgiai quye"tb~ng cach

ma rQng giai thu~t khoi phl;lCd6i ngftu 6 di€m tren 3 m~t

r:r Pha t bi~u bili toaD Cho n > 6 bQ ba di€m 2-chi€u m: f-7 m; f-7 m7 tu'dng ling tren ba anh Xac dinh t~p di€m Mi, i = 1,n trong khong gian va cac

ma tr~n Camera pI , p2, p3.

4.3.1 Thu~t toaD kh6i ph\le ea'u true x~ anh tii n di~m tren 3 anh

Nhal! T9a dQcua bQ ba di€m 2-chi€u m: f-7 m; f-7 m7 , i = 1,n

Xua't T9a dQ cua t~p di~m trong the"giOith\fc Mi, i = 1,n.

Thuat toaD 4.4

BIioe 1 Xet tren m6i anh

Ch9n 4 di~m ba't ky sao cho khong co ba di~m nao trong b6n di~m th~ng hang va ta d~t theo thli t\f tu'dngling m} f-7 m~ f-7 m~, j =1,4 Ch9n 2 di~m ba't kY tu'dng ling tren 3 anh va d~t theo thli t\f

ms f-7 ms f-7 ms , m6 f-7 m6 f-7 m6

BIioe 2

Dung thu~t toan 4.1 d~ tlm cac phep d6ng anh Hk bie"nnhung di~m

mJ thanh nhung vectd trong cd sa chinh t~c cua rp2, nghla la

-ej =H mj' J = 1,4, k = 1,3

Dung Hk d~ tac dQng len 2 di~m con l~i d~ tlm 2 di~m d6i ngftu:

"-,,,5 ,k H k k

-6 ,k k k,k-1,3

Bu'oc 3 Tu 3 e~p di~m dO'i ngftu tuong ling m~ B m~ ta xae dinh 1 ho~e 3 ma tr~n co sa rut gQnF b~ng thu~t loan 4.2

Bu'oc 4 TIm cae tham sO'(a, b,c, d) eua ma tr~n Camera P tU ma tr~n

di~m 3-ehi~u Ia:

MI = (O,O,O,1)T,M2 = (O,1,O,of,M3 = (O,O,1,O)T,M4 = (O,O,O,l)T

Ms = (l,l,l,lf

M6 = (a, b, c, d)T

Bu'oc 6 Dung thu~t loan 3.5 Hnh ma tr~n Camera pI, p2, p3 tu t~p

i = 1,6.

Bu'oc 7 Tinh l~i t~p di~m Mi tu cae Camera pk va t~p di~m m; voi

k = 1,3, i = 1,n bai thu~t loan 3.4.

Nh~n xet Thu~t loan tranh ducje di~m yeu vO'n co trong thu~t loan 3.2 BuGe 2, buGe3, buGe4 va buGe6 ehu yeu th1,1'ehil$n tren t~p 6 di~m lien vil$e ap d\lng phuong phap blnh phuong nho nha't se eho ke't qua ehinh xae Do do, trong buGe7 vftn eho ke't qua ehinh xae khi ap d\lng phuong phap blnh phuong nho nha't

4.3.2 Phan tich dQ phuc t~p

Trang ph§n nay chu ye"u danh gia dQ phuc t~p cua thu~t toan trong 4.3.1 Trang thu~t toan 4.4 g6m 7 bu'oc nhu'ng tu bu'oc 2 de"nbu'oc 4 thtjc hi~n tinh toan dtja tren t~p 6 di~m bdi ba thu~t toan 3.5, 4.1, 4.2, 4.3 tu'ong ung, chi co bu'oc 7

moi th\fc hi~n tinh toan tren t~p n di~m bdi thu~t toan 3.4.

Cac phep tinh d m6i bu'oc cua cac thu~t toan 3.4, 3.5,4.1,4.2 va 4.3 h§u he"t khong co dQ phuc t~p IOn Chi tru mQt bu'oc c§n danh gia dQ phuc t~p ma thu~t

toan naG cfing co do la gi~Hh~ phu'ong trinh thu§n nha"td~ng Ax = o Phu'ong phap d~ giai h~ thu§n nha"tdu'<Jctrinh bay trong phl;11l;1cA.3 bAngcach dung SVD

d~ phan ra ma tr~n A thanh 3 ma tr~n U, E, V va ke"th<Jpblnh phu'ong nho nha"tchi ra nghi~m x la cQtcu6i cung cua ma tr~n V.

Theo danh gia trong [4] thl d~ tinh SVD cua ma tr~n ma tr~n A co ca"p

u x v c§n khoang 4U2V+ 8UV2+ 9V3 phep toan Tuy nhien, theo cach phan tich trong phl;1ll;1cA.3 thl ta chi c§n thong tin v~ ma tr~n E va V, thl khi do chi c§n 4uv2 + 8v3 phep toan (khong chua u2) Bay la stj khac bi~t quail tf<,mgbdi h§u he"tnhung ma tr~n A trang bang 4.1 co so' cQt v co' dinh trong khi so' hang u tang theo so' di~m n Nhu' v~y, dQ phuc t~p cua phep tinh ma tr~n E va V tuye"ntinh theo u hay tuye"ntinh theo so' di~m n.

Bang 4.1 so' phep tinh d~ giai h~ thu§n nha"ttrang cac bu'oc cua thu~t toan 4.4

3x3

6x4

Theo bang 4.1, ta tinh t6ng s6 phep tinh trong thu~t tmin 4.4 nhu sau:

- Truong h<jpco mQt ma tr~n cd sd (d buoc 3):

324 + 1300 + 1544 + 24192 + 896n = 896n + 27360 (4.19)

- Truong h<jpco ba ma tr~n cd sa:

324 + 3 (1300 + 1544 + 24192 + 896n) = 2688n + 81432 (4.2.0) Til (4.19) va (4.20) ta suy ra s6 phep tinh ca'n thie't trong bang 4.2:

Bang 4.2 S6 di€m va t6ng s6 phep loan th\fc hi~n kh6i ph1,lc

Quan sat bang 4.2 hay d6 thi 4.1 ta tha'y s6 phep tinh trong thu~t loan 4.4

tang tuye'n tinh theo s6 di€m, n, cffn kh6i ph1,lc.Do ta dff ch~n du<jcs6 phep loan nhu 4.19 hay 4.20 nen co th€ ke't lu~n dQphuc tl;lPcua thu~t loan 4.4 co co O(n).

S6 dim S6 phep tinh trong thut tmin 4.4 STT