Nghiên cứu và gải bài toán khôi phục cấu trúc xạ ản từ ba ảnh trong thị giác máy tính 5_2

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành hình học và tôpô đề tài Nghiên cứu và gải bài toán khôi phục cấu trúc xạ ản từ ba ảnh trong thị giác máy tính

xC;!anh va ynghIa bi€u di€n tQa dQ thuffn nhfft trong khong gian xC;!anh.

2.1.1 Phep chie'u ph6i canh

D€ giOi thi~u v€ hlnh hQc xC;!anh tru'oc he't quail sat phep chie'u ph6i canh(xuyen tam) trang hlnh 2.1, ta thffy di€m anh du'<;Jctc;!ora mQt cach tv nhien trenm~t ph~ng anh

M l

11"0

IDnh 2.1 Phep bie'n d6i ph6i canh xuyen tam

Dfnh nghia 2.1 Phep chie'u ph6i canh xuyen tam la anh xC;!cua di€m M

tren m~t ph~ng (d6i tu'<;Jng)1I"0,leu di€m m tren m~t ph~ng (anh) 1I"i'm chinh

Ia giao di€m cua du'ong th~ng qua tam chie'u E va M voi m~t ph~ng anh 1I"i

MQt s6 Hnh cha"t trong phep chie'u ph6i canh.

Tat ca nhil'ng di€m lIen m~t ph~ng 1fo anh x~ leu nhil'ng di€m lIen m~t

ph~ng 1fi trlt nhil'ng di€m lIen du'ong th~ng l, voi l Ia giao tuye'n cua 1fo voi m~t ph~ng qua E va song song voi 1fi.

Tat ca nhil'ng di€m lIen m~t ph~ng 1fi la anh cua nhil'ng di~m lIen m~t

ph~ng 1f0 trlt nhil'ng di€m lIen du'ong th~ng h (du'ong chan troi), voi h Ia giao tuye'n cua 1fi voi m~t ph~ng qua E va song song vOi 1fo.

Nhil'ng du'ong th~ng trong m~t ph~ng 1fo du'Qcanh x~ leu nhil'ng du'ongth~ng lIen m~t ph~ng 1fi' A.nh cua nhil'ng du'ong th~ng song song giao nhau t~i

mQt di€m lIen du'ong chan troi h, nhu' du'ong th~ng l1 va l2 trong hlnh 2.1.

Khi di chuy€n di€m E ra gfin vo cung thl phep chie'u ph6i canh trd thanh

phep chie'u song song

Nh!;1nxet.

Ne'u dang nhat m~t ph~ng 1fo va 1fi voi 1R2, dung mQt h~ tQa dQ f)~ cacchuftn Oele2 lfin Iu'QtlIen 1fo va 1fi' thl phep bie'n d6i ph6i canh g~n nhli phepbi€n d6i song anh giil'a 1fo va 1fi' nghla la tlt 1R2vao 1R2

Ne'u lo~i bo du'ong th~ng l E 1fo va h E 1fi thl ta se co mQt phep bie'n

d6i song anh tlt [J~2\l vao IR.2\ h .

Tuy nhien, ne'u ta md rQng m6i 1R2b~ng cach them du'ong th~ng gia l?p l'

vao m6i m~t ph~ng khi ay se co mQt phep bie'n d6i ph6i canh song anh tu(IR2 + l') vao (IR2 + l'), trong do l' du'<;1Cxac dinh tu anh cua nhil'ng di€m lIen

h va nhil'ng di€m do anh x~ vao l (duy trl tinh lien tl;lC).Nhil'ng du'ong th~ng md

rQng m~c nhien tu'ong ling voi nhil'ng phu'ong lIen m~t ph~ng kia Ch~ng h~n anh

cua duong thdng ~ va l2 giao t~i mQt di€m tren h cung phuong voi ~ va ~

Giao di€m tren h co th€ duqc nhln tha'yb~ngcach giOih~n nhung di€m anh cua

mQt di€m trem ~khi no di chuy€n ra vo cung Tu nhung nh~n xet tren ta co dinhnghia sau:

Djnh nghia 2.2 T~P L g6m nhung duong thdng song song voi duong thdng

l trong [R2 se giao nhau t~i mQt di€m d vo cung, ky hi~u moo' di€m nay xem nhu duqc gall vao m6i t~p L nhutrong hlnh 2.2.

moo CD

~

ey

IDnh 2.2 Di€m t~i vo cung tuong ung voi t~p duong thdng L

2.1.2 Khong gian x~ anh

Djnh nghia 2.3 Khong gian x~ anh 2-chi€u duqc gQi la m~t phdng x~ anh

hay m~t phdng anh duqc dinh nghia bdi: p2 =[R2 U {nhii'ng di~m vo cung}

Djnh nghia 2.4 Duong thdng t~i vo cung trong p2 la t~p nhung di€m t~i vo

cung, ky hi~u loo ={nhii'ng di~m vo cung}

Thi dQ Duong thdng l duqc xac dinh bdi di€m blnh thuong va di€m vo cung Khi do l di qua di€m thuong co phuong duqc cho bdi di€m m= Nhu v~y,

duang th~ng x~ anh chua mQt di€m d vo cung, ky hi~u pI =[RI U{moo}

r:r D~ dinh nghla khong gian X';lanh 3-chi~u, tu'ong tl,l'ta xet tren 1R3va gallrnQtdi~rn t';liva cling vao rn6i t~p du'ong th~ng song song.

Dfnh nghla 2.5 Khong gian X';lanh 3-chi~u p3 du'<;5cdinh nghla nhu' sau:

p3 =1R3 U{nhung di~m {jvo cimg}

Nh~n xet Nhung di~rn ideal trong p3 t';lOthanh mQt da t';lP2-chi~u Tlt do

ta co dinh nghla sau

Dfnh nghla 2.6 Nhung di~rn d va cling trong p3 t';lOnen rn~t ph~ng du'<;5c

gQila m~t ph~ng t';liva cling va chua du'ong th~ng t';liva cling

2.1.3 H~ to~ dQ thuftn nha't

khong gian X';lanh Xet h~ tQadQD~ cac Oexey va duang th~ngl: y = 1 trong

1R2. Quan sat hlnh 2.3 ta co nh~n xet don gian sau:

B6 d~ 2.1 Nhung vectO (XUx2) va (Yl'Y2) xac dinh cling rnQtdu'ong th~ng qua g6c tQa dQ khi va chI khi (Xl,X2) =A(Yl'Y2)' A 7: 0

M~nh d~ 2.1 MQi du'ong th~ng lm =(xu X2)t, t E IR qua g6c tQa dQ (trlt tn;tc x) d~u ca:t du'ong th~ng l t';li di~m m.

Bjnh nghia 2.7 C~p ghi tri (Xl' X2) va (YI' Y2) du'<JcgQila tu'dngtu'dngne'u

(Xl' X2) =A(YI' Y2)' A 7: 0 hay vie't l<:lid<:lng (xu X2) rv (YI' Y2)' ky hi~urv la quail h~ tu'dng du'dng

Nh~n xet d day co stj tu'dng ling 1-1 giii'a nhii'ng du'ong th~ng di qua g6c

tQa dQ voi nhii'ng di~m tren du'ong th~ng l va mQt di~m ma rQng~£)i~m nay tu'dng ling vOi du'ong th~ng Y= 0, nghia Ia theo phu'dng(1,0), day l~ di~m a vo

cling ky hi~u moo B~ng each d6ng nha't du'ong th~ng l va di~m moo voi pI ta

co djnh nghia sau:

Bjnh nghia 2.8 Khong gian X<:lanh l-chi€u pI baa g6m nhii'ng c~p

(Xu X2) *(0,0) thoa rv nhu' trong djnh nghia 2.7 C~p (xl' X2) du'<JCgQi la tQa dQ

thu§n nha't cua di~m trong pl Khi do khong gian X<:lanh pI du'<JCvie't l<:lid<:lngt~p h<Jpnhu'sau pI ={(Xl' X2) E 1R2\ (O,O)}.

Bjnh ly 2.1 Khong gian X<:lanh pI du'<JCchia thanh hai t~p con roi nhau

pI = {(Xl' 1) E pI } U {(4' 0) E pI },

tu'dng ling vOinhii'ng di~m blnh thu'ong va nhii'ngdi~m a vo cling.

r:r Tu'dng ttj nhu' trong pI ta dling ba ho~c b6n tQa dQ thl se co bi~u di€n

thu§n nha't tu'dng ling cho p2 va p3 Thtjc v~y, trong tru'ong h<Jp p2 ta xet h~ tQa dQ B€ cae Oexeyez trong 1R3va m~t ph~ng 1C:Z =1 nhu' hlnh 2.4

B6 d~ 2.2 Nhii'ng vectd (xl' X2'X3) va (YI' Y2' Y3) xac djnh cling mQt du'ong th~ng qua g6c tQa dQ khi va em khi (xUx2,x3) =A(YI'Y2'Y3)' A 7: 0

M~nh d~ 2.2 MQi du'ong th~ng lm qua g6c tQa dQ (trit nhii'ng du'ong th~ng tren m~t xOy) giao voi m~t ph~ng 1Ct<:limQt di~m m.

ey

lm : (xl' x2, x3)t, t E IR

Hlnh 2.4 Xay dvng tQa dQ thuffn nha't trong rp2

Nh!;1nxet MQt Iffn nfi'a ta tha'y co sV tu'ong ling 1-1 gifi'a nhfi'ng du'ongth£ng qua g6c tQa dQ voi nhfi'ngdi€m tren m~t ph£ng 7r va mQt du'ong th£ng ma

rQng Du'ong th£ng nay tu'ong ling voi nhfi'ng du'ong tren m~t z = 0, nghla la

du'ong th£ng vo cling l= Bay giGta d6ng nha't m~t ph£ng 7r va l= vOi rp2 ta co

dinh nghla sau:

Dfnh nghi'a 2.9 C~p (xu x2' X3) va (Yu Y2' Y3) du'QCgQila tu'ongtu'ong ne"u

(XUX2,X3) =) (YI'Y2'Y3)' ) 7 0

hay (xl' X2' X3) rv (YI' Y2' Y3) , ky hi~u rv la quan h~ tu'ong du'ong.

Dfnh nghi'a 2.10 Khong gian x~ anh rp2 baa g6m ta't ca nhfi'ng bQ ba (xu X2'X3) "#-(0, 0, 0) voi quail h~ tu'ong du'ong nhu' dinh nghi'a 2.9 BQ ba (Xl' X2' X3) du'QCgQi la bi€u di~n thuffn nha't cua di€m trong rp2 Khi do rp2 du'Qc vie"t l~i theo d~ng t~p hQp rp2 ={(xu X2' X3) E 1R3\ (O,O,O)}.

Dfnh ly 2.2 Khong gian x~ anh rp2 du'Qcchia thanh hai t~p con roi nhau

rp2 ={(xu x2' 1) E rp2} U {(xu X2'0) E rp2},

tu'ong ling vOi nhfi'ng di€m blnh thu'ong va nhfi'ng di€m avo cling

Hai du'ong th&ng l = (a, b,e f, l' = (a', b', e')T giao t~i mQt di€m

m = l Xl' = (be' - eb',ea' - ae',ab' - ba')T.

Hai du'ong th&ngsong song c~t nhau t~i di€m ava cling (xu X2'0).

- Di€m m n~m tren du'ong th&ng l khi va chI khi mTl =0

Du'ong th&ng t~i va cling loo, c6 tQa dQ thuffn nha't (0,0, Ih la t~p hQp

nhii'ng di€m t~i va cling

(ir Tu'dng tv ta c6 th€ xay dvng cho traCinghQp rp3 (ngay ca cho rpn VOl

n E ~) nhu'ng se g~P kh6 khan khi th€ hi~nynghIa hlnh hQc

Dinh nghla 2.11 Khong gian x~ anh 3-chi€u rp3 du'Qcdinh nghla bai t~p

nhii'ng khong gian con tuy€n tinh l-chi€u trong khong gian vectd 4-chi€u 1R4.Nhii'ng di€m trong rp3 du'Qc bi€u di€n thuffn nha't bai cac vectd

chung sat khac mQth~ng s6 d l~ Khi d6 rp3 du'Qcvi€t l~i nhu'sau:

Nhi)n xet Khong gian xC;!anh 3-chi€u chinh la khong gian thu'ong cua cae

vectd khac 0 trong 1R4theo quail h~ tu'ong du'ong t' J.Ta co th€ ky hi~u khong

gian xC;!anh 3-chi€u: p3 = p(1R4) =(1R4\ 0) / t' J.

Djnh ly 2.3 Khong gian p3 du'<;5Cphan thanh hai t~p con roi nhau

p3 ={(Xl' X2'x3' 1) E p3} U {(xl' X2'X3'0) E p~} ,Iftn lu'<;5tla nhung di€m blnh thu'ong va nhung di€m d va clIng

H~ qua 2.3

(Xl' X2' X3' X4)T t' J(Xl / X4' X2/ X4' X3 / X4' l)T la cling bi€u di€n thuftn

nhf(t cho di€m M trong p3 va (X, Y, Z) =(Xl / X4' X2 / X4' X3 / X4)T, X4 ~ 0 la

bi€u di€n cua di€m M tu'ongling trong 1R3,xem hlnh 2.6

(Xl' X2' X3' O)T, X4 = 0 la bi€u di€n thuftn nhf(t cua di€m d vo clIng

- MQt di€m trong the' giOi thlfc 3-chi€u co tQa dQ (X, Y, Z)T trong 1R3se

du'<;5cbi€u di€n thuftn nhf(t bdi (X, Y, Z, l)T

(a, b, c, df la bi€u di€n thuftn nhf(t cua IT: aX + bY + cZ + d =O

(O,O,O,l)Tla bi€u di€n thuftnnhf(tcua m~tph£ng d va clIng.

H~ qua 2.4 Dol ngdu gifi'a di~m - du'ong thiing - m~t phiing trong p3

Qua ba di€m khong th£ng hang MI, M2 , M3 ta xtiy dlfng du'<;5cmQt m~tph£ng 7f va du'<;5cxac dinh tu 7fTMi =0, i =1,3

- Bi€m M n~m tren m~t ph£ng 7f khi va chi khi 7fTM = o.

- Ba m~t ph£ng khac nhau 7fI' 7f2' 7f3 giao nhau tC;!imQt di€m M duy nhf(t

va du'<;5cxac dinh bdi h~ phu'ongtrlnh IT; M = 0, i = 1,3

- Qua hai di€m M} va M2 trong p3 ta xac dinh du'<Jc du'ong th~ng

l = {M = (Xl' X2' X3' X4) E p3 I M =~MI + t2M2, (~, t2) E pI}, con gQi

la d~ng tham s6 va (~, t2) du'<Jcxem la bi€u di~n thu§n nha't cua du'ong

Nh~n xet V€ m~t hlnh hQc thl ME IRn+1\ {O} d~i di~n di€m trong kh6ng

gian, p( M) la tia xuyen tam di qua di€m M va nh~n no lam vectd chi phu'dng.

Djnh nghla 2.13 Anh X£;lI : p(lRnH) + p(lRk+l) du'Qc gQi la ant X£;lX£;l

ant neu ~I E L(lRnH, IRkH) thoa lop = p '0 Ivai p va p' la hai phep

chieu chinh t~c tu IRnH\ {O} +p(lRnH) va tu IRkH\ {O} +p(lRkH).

Tinh cha't cua anh X~

I la ant X£;l tuyen tint 10 p(AM) = AI 0 p(M) da p tuyen tint.

Khi I la sang ant thl f con du'QcgQila d&ngcfiu X£;lant

2.1.4.2 Cd si'ix~ anh

GQi c = {El"",cnH} la cd sa cua kh6ng gian vectd IRn+l va xet kh6ng

gian X£;lant pn tu'dng ling ChQn t~p di~m mu , mnH' mn+2 E pn saD cha:

{

mi = p(Ei)' i = 1, , n + 1 mn+2 = p(El + E2+ + EnH)

(2.1)

Khi d6 t~p n + 2 di~m ml' , mn+u mn+2 du'QcgQi la cd sa X£;lant cua

pn tu'dng ling voi cd sa cha tru'oc cua kh6ng gian vectd IRnH Ngaai fa, di~m mn+2 du'QCxac dint dlfa tren mu , mn+l

Djnh nghla 2.14 Cd sa X£;lant cua pn la t~p n + 2 di~m du'Qcxay dlfng nhu' (2.1) trong d6 bfit ky n + 1 di~m naa clIng dQc l~p tuyen tint, nghIa la kh6ng

cling n~m tren sieu ph&ng

Djnh ly 2.4 Lien h~ giua cd sa X£;lant cua p(lRnH) va cd sa cua IRn+1:

- Cac cd sa tll~ trong kh6ng gian vectd IRnH xac dint duy nhfit mQt cd saX£;lant cua kh6ng gian x£;lant p(lRnH).

- Cha tru'oc cd sa X£;lant {ml"'.' mnH' mn+2} cua kh6ng gian x£;lant p(lRnH) ta c6 th~ tlm du'Qcduy nhfit mQt lOpcd sa tll~ nhau trong IRn+1nh~n

{Tnt, , mn+l' mn+2} lam co sa tu'ongling.

2.1.4.3 Cd sd x~ anh ehinh tile

Dinh nghia 2.15 T~p veeto e ={el =(1,O, ,O)T,e2 = (O,I, ,O)T,

,en+! = (0,0, ,I)T,en+2 = (I,I, ,I)T}, trong do tQa dQ thli i eua ei co ghi

Thi d\l Co sa x~ anh ehinh tile eua p2 va p3.

p2: e = {(I, 0, of, (0,1,of, (0, 0, I)T, (1,1,I)T} (2.2)

p3: E = {(I, 0, 0, O)T, (0,1,0, O)T, (0, 0, 1, O)T, (0, 0, 0, I)T, (1, 1, 1, I)T} (2.3)

2.1.5 Phep bie'n d6i x~ anh

Phep bien d6i ph6i eanh a hlnh 2.1 Ia mQt thi d\l eua phep bien d6i x~ anh

Trong ph§n nay ehu yeu trlnh bay v~ phep bien d6i x~ anh tu p2 -+ p2 va tu p3 -+ p3, con phep bien d6i x~ anh tu p3 -+ p2 se du'<Jetrlnh bay trong 2.2.3,

tru'oe het ta dinh nghia t6ng quat v~ phep bien d6i x~ anh

Dinh nghia 2.16 Phep bien d6i x~ anh tU m E pn vao m' E pk du'<Je

dinh nghia nhu' phep bien d6i tuyen tinh trong hc$tQa dQ thu§n nhfft, nghia Ia

x' r- JHx trong do x va x' bi~u di€n tQa dQthu§n nhfft eua hai di~m m va m',

H la ma tr~n khong suy bien effp (k + 1) x (n + 1)

2.1.5.1 Phep d6ng anh trong rp2

Dfnh nghia 2.17 Phep d6ng anh trong rp2 hay phep di6n d6i ph~ng (phep cQng tuye'n) la mN anh X'.lkha nghich h tu rp2 vao chinh no, nghIa la ba di6m

ml ' m2' m3 n~m lIen mQt du'ong th~ng khi va chi khi h( ml) , h( m2)' h( m3)

cling n~m lIen mQt du'ong th~ng

Dfnh Iy 2.5 Anh X'.lh : rp2 -+ rp2 la mQt phep bie'n d6i X'.lanh ne'u va chi ne'u t6n t'.li mQt ma tr~n H3x3 kh6ng suy bie'n sac cho voi ba"tky di6m m nao trong rp2 thl h( m) = Hm.

Chung minh

Gia sa ml' m2' m3 n~m lIen du'ong th~ng l thl IT mi =0, i =1,3

GQi H la ma tr~n ca"p 3x3 kh6ng suy bie'n, khi a"y H thoa:

ITH-I Hmi = 0, i = 1, , 3 Do do ta"tca cac di6m Hmi n~m lIen du'ongth~ng

H-Tl va tinh cQngtuye'n baa loan qua phep bie'n d6i

X2 (Xl / X2' Xl / X3) m

m'

(X~ / X;, X~/ X~)

Hinh 2.8 Phep d6ng anh trong rp2

Phep bie"nd6i nay con duQc gQi la phep d6ng anh trong rp2, hlnh 2.8, va

ma tr~n H la ma tr~n thuffn nha't co 9 phfin tu, nhung chung sai khac mQt h~ng

s6 d l~ nen co 8 bi;ictQ'do H va AH, A 7: 0 , cling bi€u di€n phep bie"nd6i.

Vie"tl~i d~ng ma tr~n:

(2.4 )

Do do, cffn it nha't 4 c~p diem tuong ling lIen hai anh d€ xac dinh phep d6ng

anh H (xem phV Ivc B).

2.1.5.2 Phep d6ng anh trong rp3.

Phep d6ng anh trong khang gian x~ anh 3-chi€u duQc ma ta nhu x~ tuye"n

tinh tu rp3 + rp3 va no duQc bi€u di€n boi ma tr~n H4x4 khang suy bie"n.Ma

tr~n H va AH, A 7: 0 , cling bi€u di€n phep bie"nd6i Ma tr~n thuffn nha't H co

16 phfin td'nhung chung sai khac nhau mQt h~ng s6 d l~ nen chI co 15 bi;ic tQ' do.

I

X3

Bi€u di€n d'.lng ma tr~n M' =HM, trong d6 M =(xl' X2' X3' X4)T va

M '

( ' , , ,

)T tn3

2.2 Mo hinh Camera va rang buQc epipolar

Qua Camera mQt di€m trong the' giOi thlfc 3-chi€u ta thu duqc mQt di€m anhtren m(Ltph~ng anh 2-chi€u Trong phftn nay se trlnh bay ma hlnh Camera co bantrong thi giac may tinh Phan tich val trc>,y nghIa hlnh h9Ccua ma tr~n Camera

X'.lanh va quail h~ giua hat Camera bai rang buQc epipolar

2.2.1 Mo hinh Pin-hole Camera

Day la h~ th6ng thi giac don gian nhfft dung d€ ma hlnh h6a Camera duqcg9i la Pin-hole Camera N6 duqc ma ta nhu mQt Cat hQp VOlmQt 16 nho (Pin-hole) a m(Ltbell va mQt tffm kinh ch\lp anh a m(Ltd6i di~n, nhu hlnh 2.10, trong

d6 g6c t9a dQ d(Ltt'.li tam chitu C duqc g9i la tieu di€m va tr\lc z trung VOl tr\lc thi giac Khoang cach tITtieu di€m de'n anh g9i la tieu clf ky hi~u Ia f

IDnh 2.10 Ma hlnh Pin-hole Camera vOlh~ t9a dQ dclit

D€ ti~n trong cach bi€u di€n ta d(Ltm(Ltph~ng anh len tru'oc tam Camera C

khi d6 ma hlnh Pin-hole Camera trong hlnh 2.10 duqc bi€u di€n tu'ong ling nhu'

hlnh 2.11, b~ng cach d(Lttam chie'u C t'.li g6c cua h~ t9a dQ dclit va m(Ltph~ng

ant Z =f R6 rang day la phep chie'u ph6i cant xuyen tam (nhu'trong 2.1.1) cua

mQtdi€m trongkhong gian len m~t ph~ngant.

Camera mijt phiing anh

ffinh 2.11 D';lnghint hQccua Pin-hole Camera

Qua mo hint Pin-hole Camera se bie'n di€m M trong khong gian co tQa dQ (X, Y, Z)T len di€m m co tQa dQ (x, y)T tren m~t ph~ng ant, m la giao di€m cua du'ong th~ng di qua di€m M va tam chie'u C voi m~t ph~ng ant Xet

trong do A=Z la chi€u sau cua di€m Cong thuc (2.5) la bi€u di~n phep chie'u

xuyen tam dung h~ tQadQthu~nnha't.Va Camera du'Qcxac dint nhu'sau:

- Tam chie'u C la tam cua Camera hay con gQila tieu di€m.

M<}tph~ng qua Him Camera song song vdi m<}tph~ng anh IT gQi la m<}tph~ng chinh cua Camera.

Duong th~ng tit Him C tn;(cgiao vdi m<}tph~ng anh gQiIa tr\lc chlnh Giao cua tr\lCchlnh va m<}tph~ng anh gQiIa di€m chinh, kYhi~u la p.

2.2.2 Mo hlnh CCD Camera

Trong ma hlnh Pin-hole Camera, tQa dQ anh gia sa duQCdo trong h~ tQa dQ

dclit vdi cac khoang chia don vi tren hai tr\lc b~ng

nhau Tuy nhien, trong th1!cte cac Camera ky thu~t

s6 hay may quay phim gQi chung la CCD Camera sad\lng thanh phffn cam bien d€ t~o nen di€m anh TQa

dQ anh duQc tinh thee don vi pixel nhung tren moitr\lc t11~ d6 khang gi6ng nhau do nhii'ng di~m anh bi bien d~ng (khang vuong)

Do d6, phai chuy€n tQa dQaOOtit tQa dQ dclit sang tQa dQ tinh thee pixel

Hlnh 2.12 H~ tQa anh va di~m anh (pixel)

GQi Px va Py la chi~u rQng va chi~u cao cua pixel thee phuong x va y tuong ling p = (xo, Yo, l)T Ia tQa dQ thuffn nha't cua di€m chinh duQc do trong

tQa dQ pixel (c6 th€ khac Himcua m<}tph~ng anh) a: la g6c l~ch (moo 2.12) ph\l