các bài toán biên phí tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng( vật lý. hóa học, cơ học, kỹ thuật...) rất phong phú và đa dạng. đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu
Trang 1Chương 1 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
) , , , ,
, ) , , , ,
f u
), ( ) , 1 ( ) , 1 ( (t), )
, 0 ( )
~ ) 0 , ( (x),
~ )
0
,
với h0, h1 là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f cũng là hàm
cho trước thuộc lớp C1([ 0 , 1 ] × [ 0 , ∞ ) ×IR3).
Chương nầy gồm hai phần Để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần
một từ mục 1.1 đến mục 1.5 và phần hai bắt đầu từ mục 1.6 trở đi Trong phần
một, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (1.1.1) – (1.1.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương
pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Các kết quả của chương nầy tổng
quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2] Ta cũng
lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được
cho [13, 14, 21, 22] Phần 2 sẽ đề cập đến bài toán khai triển tiệm cận theo một
tham số bé ε mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương nầy
1.2 Các ký hiệu và giả thiết
Ta thành lập các giả thiết sau
Trang 21 ( [ ) , (
1 0 1 0
1 0
0 1 1
h h h h
t g x h t g h x
h t x
+ +
+ + +
=
−
=
0
), , 1 ( ) , 1 (
), , 0 ( ) , 0 ( 1 1
0 0
T t t
v h t v v B
t v h t v v B
x
Khi đó, với phép đổi biến
, 0
) , ( ) , ( ) ,
thì w thỏa mãn phương trình
, 0
, ), , , , , (
~
T t x
w w w t x f w
, 0
, 0 1
0
T t w
B
w B
(1.2.5) và điều kiện đầu
, ), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
+
=
), 0 , ( ) (
~ ) (
~ ) 0 , ( ) (
~ ) (
~
), , ( ) ,
, , , ( ) , , , , (
~
1 1
0
w
t x w
w w t x f w w w t x f
t
tt t t x x t
x
ϕϕ
ϕϕϕ
1 2 0 3 1
H w H w IR C
Trang 3Như vậy từ bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất (1.1.1)-(1.1.3) với
phép biến đổi (1.2.3) sẽ tương đương với bài toán biên hỗn hợp thuần nhất
(1.2.4)-(1.2.6) Do đó, không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng
( ) 0 (
2 1
0
2 / 2
), 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( )
( ) ( ) ,
1 0
1
0
/ / x v x dx h u v h u v u v H u
v u
Khi đó ta có các bổ đề sau
Bổ đề 1.1 Phép nhúng H1↪ 0( )Ω
Bổ đề 1.1 là một kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó có thể tìm thấy trong
nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [3, 4].
Bổ đề 1.2 Với giả thiết (H1), dạng song tuyến tính đối xứng xác định bởi
(1.2.10) liên tục, cưỡng bức trên H1×H1, nghĩa là:
1 u 1 v 1 u v H C
v u
u u
a
≥
với C0 = min{ }1 ,h0 , C1 = max{1 ,h0, 2h1}.
Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Schwartz và bổ đề 1.1 ta có (i) đúng
Chứng minh (ii) thì dễ dàng nên ta bỏ qua.
Bổ đề 1.3 Tồn tại một cơ sở Hilbert trực chuẩn {w j} của 2
wj ứng với trị riêng λj sao cho
Trang 4(w v = 〈w v〉
với tích vô hướng a(,⋅)
j j
0 ) 1 ( )
1 ( ) 0 ( )
0
C w w
h w w
0 K M T f f x t u v w
sup ) , ,
), , , 0 ( ),
; , 0 ( :
)
; , 0 ( { ) ,
(
)
; , 0 ( )
; , 0 ( )
; , 0 (
2 1
2
2 1
v
L T L v H T L v H T L v T
M
W
L T L tt H
T L t H
T L
tt t
1 3 Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến
Trong phần này, với sự chọn lựa M và T thích hợp, ta xây dựng một dãy
}
{u m trong W(M,T) bằng qui nạp Dãy {u m} sẽ được chứng minh hội tụ về
nghiệm của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với g0 = g1 = 0
Chọn số hạng ban đầu u0∈W(M,T). Giả sử rằng
Trang 5Ta liên kết bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với g0 = g1 = 0 với bài toán biến
phân tuyến tính sau:
Tìm u m∈W(M,T) thỏa
, , ) , (
〈u&&m v a u m v F m v với mọi v∈H1, (1.3.2)
,
~ ) 0 ( ,
~ ) 0
Sự tồn tại của u m cho bởi định lý dưới đây
Định lý 1.1 Giả sử (H1) − (H3), (H5) đúng Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và
0
>
tính {u m} ⊂W(M,T) xác định bởi (1.3.2)-(1.3.4)
Chứng minh Chứng minh bao gồm nhiều bước
Gọi { } wj là cơ sở trực chuẩn của 1
H như trong bổ đề 1.3 ( wj =wj λj) Dùng phương pháp Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ u m(k)(t) của (1.3.2)-(1.3.4)
theo dạng
, ) ( )
( 1
) )
trong đó c mj(k)(t) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:
, 1
, ), ( ) ), ( ( ),
) (
k j w
t F w t u a w t
u m k j〉 + m k j = 〈 m j〉 ≤ ≤
,
~)0( ,
~)0
) (
k k
m k k
=
Trang 6( ) ~ trong .
1 1
Chú thích 1.1 Nghiệm của hệ (1.3.6) – (1.3.9) được tính như sau Trước hết hệ
phương trình vi phân tuyến tính (1.3.6) – (1.3.9) tương đương với hệ sau:
, 1
, ), ( 1
) ( )
)
w t c t
j
k mj j k
( )(0) ( ), c( )(0) ( )k .
j k
mj k j k
, ), ( )) ( sin(
1
) sin(
) cos(
) (
0
w
t t
t c
t
j m j
j
j
j
j k
j j k
j k
λ
λβ
λα
Các đánh giá sau đây trong bước 2 cho phép ta lấy T( )k T,
m = với mọi k và với mọi m
Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm
Trong (1.3.6) thay w j bởi u&m(k)(t) ta có
.)(),())
(),((2
1)(2
u
dt
m m k
m k m k
&
Sau đó tích phân theo t ta được
,)(),(2)0()
(
0
) ( )
( )
m k
)
(
t u t u a t u t
Trang 7Trong (1.3.6) thay w j bởi 1 j,
( )
), (
(
0
) ( )
( )
m k
với
) ( ))
( ), ( ( )
)
(
t u t
u t u a t
q m k = &m k &m k + Δ m k
Đạo hàm (1.3.6) theo t, sau đó thay w j bởi u&&m(k)(t) ta có
) ( ), ( ))
( ), ( ( 2
1 ) ( 2
d t
u
dt
m m k
m k m k
&&
Tích phân hai vế theo t
, ) ( ), ( 2
) 0 ( )
(
0
) ( )
( )
∂
∂
〈 +
m m k
m k
t r
)
(
t u t u a t u t
r m k = &&m k + &m k &m k
Từ (1.3.13), (1.3.15) và (1.3.16), dẫn đến
) ( ), ( 2
)) ( ), ( ( 2 ) ( ), ( 2 ) 0 (
) ( )) ( ) ( )
(
0
) (
0
) (
0
) ( )
(
) ( )
( ) ( )
+
〉
〈 +
=
+ +
=
t
k m m
t
k m m
t
k m m k
m
k m k
m k
m k
m
d u
F t
d u
F a d
u F s
t r t q t p t
s
τττ
τττ
τττ
Trang 8Từ (1.2.15) và (1.3.1) ta có
) ( 2
) ( ) ( 2 )
( ), ( 2
0
) ( 0 0
)
0
) (
t
k m m
t
k m m
d p
K
d u
F d
u F
ττ
τττ
ττ
( 2
)) ( ), ( ( 2
0
) ( H 1
0
) (
1 1
∫
H
k m m
t
k m
2
K t
+
∇ +
≤
∇ + Δ +
∇ +
1 2
1 2
1
1
0
2 1 / 1 / 1 / / 2
1 4
dx u
f u f u f f F
x
m m
m
m u m u m u x m
1 4
2 2
1
2 1 2
1 2
M K
u u
K m H m H
+
≤
+ +
(1.3.21) Suy ra từ (1.3.20), (1.3.21) rằng
4 ) , 0
2
2 2
( ), ( (
2
0
) ( 0 2 1
0 1
C
C d
u F
Ta có
) ( ) ( 2
) ( ), ( 2
0
)
0
) (
t
k m
t d
u F
Trang 9Từ (1.2.16) và (1.3.1) ta thu được
(1 3 ) 4
1 4
2 2
1
2 1 2 1 2
1 2
1
1
0
2 1 / 1 / 1 / / 2
M K
u u
u K
dx u
f u f u f f F
t
m m
m
m u m u m u t m
+
≤
+
∇ + +
≤
+
∇ + +
1 4 )
( ), ( 2
0
) ( 2 1
0 (
) ( 2
) 0 ( ) (
0
) ( )
(
0
) ( )
( ) (
∫
∫
+ +
≤
+
≤
t k m k
m
t k m k
m k
m
d s K TK s
d s K s
t s
ττ
ττ
(1.3.27)
trong đó
) , ,
~ (
~
~ )
~ ,
~ ( 2 ) 0 ( )
k k k k
m k
Trong (1.3.6), thay w j bởi u&&m(k)(t), sau đó lấy t=0, ta được
) 0 ( ),
~ ,
~ ,
~ , 0 , ( ) 0 ( ,
~ )
0
1 0 0 )
( 0
2 )
m k
m k k
Từ đây suy ra
)
~ ,
~ ,
~ , 0 , (
~ ) 0
) (
u u u x f u
Ta suy từ (1.3.8), (1.3.9), (1.3.29), (1.3.30) rằng tồn tại một số M > 0 độc lập với
k và m sao cho
, 4 )
0
) (
M
s m k ≤ với mọi k và m. (1.3.31)
Trang 10Ta lưu ý, với giả thiết (H3), suy ra từ (1.2.15), (1.2.16) rằng
1 , 0 , 0 ) , , ( lim
) , , ( 4
2 2
M f T M TK f
T M TK M
1 1 ) 2 1 (
, ) ( )
)
m
t k m k
Aùp dụng bổ đề Gronwall ta có
, ) exp(
) exp(
)
) (
M tK TK
M t
Từ đây ta có T m(k) =T, với mọi m và k và ta suy ra từ đây rằng
).
, ( ) (
T M W
Bước 3: Qua giới hạn
Từ (1.3.37), tồn tại một dãy con { (k j)}
m
u của {u(m k)} và tồn tại u m sao cho
yếu*, )
; , 0 ( trong
) (
H T L u
yếu*, )
; , 0 ( trong
) (
H T L u
yếu*, )
; , 0 ( trong
) (
L T L u
).
, (M T W
Từ (1.3.38) - (1.3.41) qua giới hạn trong (1.3.6), (1.3.7) ta có thể kiểm tra dễ dàng
rằng u m thỏa mãn (1.3.2), (1.3.3) trong L∞( T0 , ) yếu *
Định lý 1.1 chứng minh hoàn tất.■
Trang 11Chú thích 1.2 Trong [9] chúng tôi thu được một đánh giá tương tự như (1.3.36)
nhờ một nghiệm cực đại địa phương của một bất phương trình tích phân Voltera
phi tuyến liên kết với một nhân không giảm [20] Tuy nhiên trong luận án này
chúng tôi chỉ cần đưa về đánh giá (1.3.35), từ đó nhận được (1.3.36) nhờ bổ đề
Gronwall Cách làm này theo chúng tôi đánh giá thì đơn giản hơn [9]
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất
Định lý 1.2 Giả sử (H1) − (H3), (H5) đúng Khi đó tồn tại M > 0 ,T > 0 sao cho
bài toán (1.1.1)-(1.1.3) có duy nhất một nghiệm yếu u∈W(M,T).
)}.
; , 0 ( :
)
; , 0 ( {
; , 0
m T L
T L m H
T L
u − ∞ + & − & ∞ ≤ với mọi m, (1.4.2)
trong đó 0 <k T < 1 xác định bởi (1.3.34) và C là hằng số chỉ phụ thuộc T,u0,u1
và k T.
Chứng minh
a/ Sự tồn tại nghiệm
Trước hết ta lưu ý rằng W1(T) là không gian Banach đối với chuẩn (xem [18])
)
; , 0 ( )
; , 0 ( )
Ta sẽ chứng minh rằng {u m} là dãy Cauchy trong W1(T).
Đặt v m =u m+1−u m. Khi đó v m thỏa mãn bài toán biến phân sau:
〉
0 ) 0 ( ) 0 (
, ,
) , (
m m
m m m
m
v v
H v v F F v v a v v
&
Lấy v=v&m trong (1.4.4) ta có
Trang 12, ))
( ), ( ( 2
1 ) ( 2
1
1 2
v dt
, 2
) , (
0
1 1
1
0 1 2
t
m H m m
t
m m m m
m m
d v v
v K
d v F F v
v a v
2 1 ( 2
1 1
2 0 2
T W m T W m H
1
T
m T T W T
W m p m
k
k u
u u
Bằng cách áp dụng một lý luận tương tự mà chúng ta đã sử dụng trong định lý
(1.1), ta có thể lấy ra một dãy con { }
Trang 13, ) , ( a.e.
; , 0 ( 2 K
F
L T L
; , 0 ( trongL T L2
F F
) , , , , ( ) , (x t f x t u u x u t (x,t) Q T
Vậy
)
; , 0 ( trong ) , , , ,
Qua giới hạn (1.3.2), (1.3.3), bằng sự kết hợp với (1.4.10), (1.4.12), (1.4.21), ta thu
được u thỏa bài toán biến phân sau:
〉
〈
,
~ ) 0 ( ,
~ ) 0 (
, ,
), , , , , ( ) , ( ,
1 0
1
u u u u
H v v u u u t x f v u a v
&
trong L∞( T0 , ) yếu*
b/ Sự duy nhất nghiệm
Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (1.1.1)-(1.1.3), thỏa
〉
〈
, 0 ) 0 ( ) 0 (
, ,
) , (
u u
H v v F F v u a v u
&
Trang 14trong đó
2 , 1 , ) , , , , ( ) , (x t = f x t u ∇u u i=
(
0 1
0
2 1
t
t m
d u u
u u
K
d u F F
t u t u a t
u
τττ
ττ
ττττ
Khi đó, ta suy từ (1.4.25) rằng
) (
2 2 2 ) (
0 0
C K
t
Sử dụng bổ đề Gronwall ta suy ra
hay
, 0 )
Đánh giá sai số (1.4.2) được suy từ (1.4.8), (1.4.9) bằng cách cho p→∞
Vậy ta đã chứng minh xong định lý 1.2.■
1.5 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên không thuần
nhất
Giả sử (H1) − (H4) thỏa mãn Với phép đổi biến (1.2.3) như đã nói ở phần
đầu, bài toán không thuần nhất (1.1.1) – (1.1.3) đưa về bài toán thuần nhất (1.2.4)
– (1.2.7), trong đó các dữ kiện g0, g1,u~0,u~1, f trong bài toán (1.1.1) – (1.1.3) sẽ
lần lượt thay bởi 0 , 0 , w~0, w~1, ~f.
Chúng ta cũng làm các bước xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.1.1) – (1.1.3)
theo sơ đồ sau
, 0
) , ( ) , ( ) ,
với
Trang 15) ( ) 1 ( ) ( )]
1 ( [ ) , (
1 0 1 0
1 0
0 1 1
h h h h
t g x h t g h x
h t x
+ +
+ + +
, ,
~ ) , (
w m 〉 + m = 〈 m 〉 ∈ Ω < <
, ), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
trong đó
), , ( ) ,
, ,
, (
) , , , , (
~ ) , (
~
1 1
1
1 1 1
t x w
w w
t x f
w w w t x f t x F
m m
m
m m m m
ϕϕϕ
ϕ & & &&
&
− +
∇ +
∇ +
~ ) (
~ ) 0 , ( ) (
~ ) (
~
1 1
0
Sự tồn tại một dãy quy nạp {u m} xác định bởi (1.5.1) cho bởi định lý sau
Định lý 1.3 Giả sử các giả thiết (H1) − (H4) được thỏa mãn Khi đó tồn tại các
hằng số M > 0 ,T > 0 sao cho với mọi w0∈W(M,T), tồn tại một dãy quy nạp
tuyến tính {w m} ⊂W(M,T) xác định bởi (1.5.2)- (1.5.7).■
Định lý 1.4 Giả sử các giả thiết (H1) − (H4) được thỏa mãn Khi đó tồn tại các
).
,
(M T
W
(1.5.2) – (1.5.7) hội tụ mạnh về nghiệm yếu w trong không gian W1(T). Do đó bài
Chú thích 1.3 Về tính duy nhất nghiệm yếu của bài toán có điều kiện biên không
thuần nhất (1.1.1)-(1.1.3) Giả sử bài toán (1.1.1) – (1.1.3) có hai nghiệm yếu
T thích hợp Khi đó u=u1−u2 là nghiệm yếu của bài toán có điều kiện biên
thuần nhất (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với
Trang 16, 0 1
0 = g =
g u~0 = u~1 = 0 , f = f(x,t,u1, ∇u1,u&1) − f(x,t,u2, ∇u2,u&2). (1.5.8) Với cách làm tương tự cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất ta thu được
0
Trang 171.6 Về bài toán khai triển tiệm cận
Trong phần này chúng tôi khảo sát khai triển tiệm cận theo tham số bé ε
cho nghiệm cho bài toán giá trị biên và ban đầu sau đây:
∈
=
−
) , , , , ( ) , , , , ( ) , , , , (
), (
~ ) 0 , ( ) (
~ ) 0 , (
), ( ) , 1 ( ) , 1 ( ), ( ) , 0 ( ) , 0 (
, 0
) 1 , 0 ( ,
) , , , , (
1 0
1 1
0 0
t x t
x t
x t
x x
t x xx
tt
u u u t x g u u u t x f u u u t x F
x u x u x u x u
t g t u h t u t g t u h t u
T t x
u u u t x F u u
), ( 21
u = + +theo nghĩa
, 2 )
; , 0 ( 1 0 )
; , 0 ( 1
u
L T L H
T
−
với C là một hằng số độc lập với ε. Sau đó kết quả này được mở rộng trong [D2] với trường hợp g0,g1 ≠ 0 Với f ∈C N+1( Ω × [ 0 , ∞ ) ×IR3),
) ) , 0
N
i i
uε ε ε
theo nghĩa
, 1
)
; , 0 ( 0
)
; , 0 (
i i i H
T L N
i i i
C u
u u
Trang 18) , 0 [ ( ,
)
(H3′ f g∈C1 Ω × ∞ ×IR3
Trong phần một ta đã khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (P0) ứng với ε = 0 Bằng cách tương tự, với giả thiết (H ′3), bài toán (Pε)
cũng được chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm yếu khi thay f bởi Fε, f~ bởi F~ε
với
).
, ( ) ,
, , , (
) ,
, , , ( ) , , , , (
~
t x w
w w t x g
w w
w t x f w w w t x F
tt t t x x
t t x x t
x
ϕϕϕ
ϕε
ϕϕ
ϕ
ε
− + +
+ +
+ +
+
Ta cũng nhắc lại, với
, ) ( ) 1 ( ) ( )]
1 ( [ ) , (
1 0 1 0
1 0
0 1 1
h h h h
t g x h t g h x
h t x
+ +
+ + +
) , ( ) , ( ) ,
), , , , , (
~
T t x
w w w t x F w
, 0 ) , 1 ( ) , 1 ( ) , 0 ( ) , 0 ( t −h0w t =w t +h1w t =
),
(
~ ) 0 , ( ) (
~ ) 0 , (
), (
~ ) 0 , ( ) (
~ ) 0 , (
1 1
0 0
u x w
x w x x u x w
w( )k W(M,T),
trong đó M , T là các hằng số độc lập với m, k vàε. Thật vậy, trong quá trình
chứng minh, ta chọn các hằng số dương M và T như trong (1.2.15), (1.2.16),
(1.3.28), (1.3.29), (1.3.31), (1.3.33), (1.3.34), trong đó f(x,0,u~0,∇u~0,u~1) và
Trang 19Khi đó ta có thể chứng minh một cách tương tự như trong chứng minh của định lý
1.2, của phần 1, rằng giới hạn w0 trong các không gian hàm thích hợp của họ
0 W M T
Do đó, uε = wε +ϕ (tương ứng với u0 =w0 +ϕ) là nghiệm yếu duy nhất của bài
toán (Pε ) ( tương ứng với ε = 0)
1.7 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé ε đến cấp một
Định lý 1.5 Với các giả thiết (H1), (H2), (H3′ ), (H4) tồn tại các hằng số
; , 0 ( 0 )
; , 0 (
〉
〈
= +
〉
〈
, 0 ) 0 ( ) 0 (
, ,
, ,
) , (
v v
H w w
g w
G w v a w v
&
Trang 20∇ +
=
+
∇ +
∇ +
−
+
∇ +
∇ +
=
).
, ,
, , (
), ,
, ,
, (
) ,
, ,
, (
0 0
0
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ε ε
ε
ε ε
w t x g g
w w
w t x f
w w
w t x f G
Lấy w=v& trong (1.7.2), ta có
, ) ( ), ( )
( ), ( )) ( ), ( ( 2
1 ) ( 2
〉
〈 +
v dt
0 0
Ta đánh giá các tích phân ở vế phải của (1.7.3)
(4 ( ) 3 ( ) ) , )
, , ( 2 1
) ( ) ( )
( )
( 2 ) , , (
) ( , ) ( ) ( )
( 2 ) , , (
) ( , ) ( ) ( ) ( ) , , ( )
( ),
(
0
2 2
1
0 1
0 1
0 1
0
1
1 1
≤
〉 +
∇ +
〈
≤
〉 +
∇ +
t
H
t t
ds s v s
v f
T M K
ds s v s v s
v s
v f
T M K
ds s v s v s v s
v f
T M K
ds s v s v s v s v f T M K ds s v s
( )
( ),
0 2
0
g T M K ds s v ds s v s
g
t t
)) ( ), ( ( ) ( ) , , ( ) 3 4 ( )) ( ), ( ( )
(
2 0 2
0
2
0
2 1
0 2
g T M TK ds
s v s v a s v
ds s v s v a s v f T M K C t
v t v a t
+
+ +
≤ +
3 4 ( 1 exp ) , , ( ))
( ), ( ( )
0
2 0 2 2
×
≤
C g
T M TK t
v t v a t
Do đó
Trang 21, )
; , 0 ( )
; , 0
v
L T L H T
trong đó C là hằng số chỉ phụ thuộc vào h0,h1,K0(M,T,g),K1(M,T,f).
Vậy định lý 1.5 đã được chứng minh.
1.8 Khai triển tiệm cận theo tham số bé ε đến cấp N+1
Trong phần này, chúng tôi khảo sát khai triển tiệm cận nghiệm yếu uε
đến cấp N + 1 theo ε với ε đủ nhỏ
Ta định nghĩa một số ký hiệu sau:
N ∈Z+
= (α1, ,α )
α và x= (x1, ,x N) ∈IR N, ta đặt
.
, ) ( )
1 ( ) (
, )
1
1 2 1
1 1
N N
x x x
i i
α α α
ααηαα
η
αα
η
ααααα
p p
k
k N
i
i i
(
, ,
3 2 1
1 1
1
3 2 1
3 2 1
3 2
p k
N
i i i k N
i i i k N
i
i i
z y x k k k z
y
γβαε
ε
ε
γ β α
γ β α
Trang 22, ,
3 2 1
1 1
p
k k
k
k
k N
i i i k N
i i i k N
i
i i
j j
j
j
z y x k k k
z y
x i
εγ
βα
εε
ε
γ β α
γ β α
1 1
3 2 1
1
1 1 , ,
3 2 1
p
p N
k k k
N
p
p p
k k k
i i i k N
i i i k N
i i i
j j
j j
j
j
z y x k k k
z y x k k k
z y
x i
εγ
βα
εγ
βα
εε
ε
γ β α
γ β α
γ β α
γ β α
γ β
Chứng minh bổ đề 1.4 Các đẳng thức (i)-(4i) được nghiệm lại từ các phép tính
đại số thông thường nên chúng ta bỏ qua chứng minh chúng Ta chỉ nghiệm lại
(5i):
Nghiệm lại (5i): Trước hết, với mọi ε,c kp∈IR 1 ≤k≤N − 1 1 ≤ p≤ N(N− 1 ), ta có
) 1
1 1
1 1 1
k
p kp N
p p
k
p kp N
1
1 1
1 1 , 2
1 2 1
1 1 1
+ +
k N
k p kp N
k N k k
k k
k N