các hệ động lực tuyến tính bị động và đơn nguyên 7

dùng lý thuyết mô hình toán tử để nghiên cứu một số tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính trong không gian Hilbert trong quá trình kiên kết các hệ con hoặc khai triển cho trước thành các hệ con

CHUONG 4

HE BI DONG VA TINH TOI UU

Cho hệ œ = ( X, U, V, A, B, C, D) Hé duige gọi là bị động nếu toán tử

A B

Cc D

là toán tử co Ta có hàm truyền 9(z) của hệ bi động thuộc về lớp ZU,V) , và ngược lại với mỗi hàm 0) Z(U,V) đều tổn tại một hệ bị động có hàm truyền là 0(2) Ta có kết quả là nếu œ là hệ bị động , thì tổn tại các toán tử M:X>W,N:U>W,Q: W, >X,R: W,>Vsao cho

I- A*A -C*C =M*M, - A*B -C*D = MPN, I-B*B -D*D=N*N, (4.1)

I-A A*-B B* = QQ*, — AC* — BD*= QR*, I-CC* -DD* =RR* (4.2) Gia st’ y.(z) =N+zM(I-z A)'B, K,(z) = (1-z A)'B,

Ws„(2 =R+zCŒ—zAJ}'Q, H/()=C(T—zA}T,

ta có các đẳng thức sau

I~ 9(2)*6(2) = w.(2)*Ua(Z) + (1~ ZZ)K„(2)*Ku), (4.3) I- 0(2)6(Z)*= Vs„(2) Ws„(Z)* +(1~zZ)H¿(2) Hạ(2)*%, — (44)

trong đó z, z' thuộc dĩa tròn đơn vị 2 Trong trưởng hợp œ là hệ đơn nguyên, các toán tử M, N, Q, R bằng 0 nên ta có

Hé bi déng a =(X, U, V, A, B, C, D ) được gọi là tối du (tương ứng déi-téi wu) nếu với mọi hệ bị động a'= ( X', U, V, A’, B', C', D') cd cùng

ham truyén vdi hé a, ta cd

k=0 SA‘Bu, < SA k=0 Bu¿l;VneN, Vu¿eU;

n ( Tương ứng, SA‘Bu, >ISA* Blu, ; Vne N, Vue U)

Hệ bị động œ được gọi là *- tối ưu (tương ứng, *-đối tối ưu ) nếu với mọi

hệ bị động œ' với Ø„.(z) = Ô„(Z), ta có

Bator, < zattory, ,VneN,VweV; (47)

( tương ứng, YA* C*vyl> XA tơ, , VanelN,Vv,eV)

Hién nhién ta cé néu a = (X, U,V,A,B,C,D) 1a tdi uu ( tương ứng, đối- tdi uu) thi hé déi ngdu o = (X, U,V,A*, C*,B*,D* ) 1 *- tối tu (tương ứng,

*- đối tối ưu)

Người ta chứng minh được rằng ( [1] , [2]) một hệ bị động tối ưu và tối thiểu (hệ bị động đối- tối ưu và tối thiểu) thì được xác định duy nhất bởi hàm

truyển sai khác một phép biến đổi đơn nguyên; và với mỗi hàm Ô(z) e Z%U,V), đều tổn tại một hệ bị động tối ưu và tối thiểu có hàm truyền là 9(2)

Giả sử 9(z) = 3] :U > V@F, trong dé e(z) 1a ham non tét nhất của

oz

(1) Trong bai [1], Arov ding thudt ngit" *- t6i uu" thay vi "d6i t6i uu”

ham I — @(z)*0(z) Hién nhiên ta có hàm 8(z) co vì ọ(z)*o(z) <

I- 6)*6(z) Giả sử œ =( X,U, V@F, A, B, C, D) la hệ đơn giản, đơn nguyên có ham truyền là 6 (z) Đặt

trong dé Py 1a phép chiếu vuông góc tử V@F lên V Khi đó ta có ([1]) hệ

o 0

œ=(X,U, V, A, B, C, D) là hệ bị động tối ưu, có hàm truyền là

9, (2) = Ô) ; và

N=P;D, M=P,C, w, (z)=N+zM(I-zA)'B=@(2) (4.9)

œ

4.1 Điều kiện tối ưu và đối-tối ứu cửa hệ bị động

Giả sử œ=(X,U, V, A, B, C, D) là hệ bị động Do (4.3), ta có

WalZ)*W a(Z) < I— 0(2)*00)

Từ định nghĩa của hàm ọ(2), ta suy ra

a()*V¿(2)< 0(2)*@0)

Trong phần sau ta sẽ chứng minh rằng nếu hệ œ là tối ưu thì WelZ)* YW (2) sẽ đạt cận trên, nghĩa là ta có \/„(Z)*W o(z) = @(z)*@(2); và nếu hệ œ là đối- tối

uu thi y.(z)* (z) sé dat can dudi,nghia 1a y.(z) = 0

Dinh ly 4.1

Hệ bị động œ =(X,U,V,A,B,C,D) là đối-tối ưu nếu và chỉ nếu W⁄4(2)= 0

ham I - 6(z)*9(z) Hién nhién ta cd ham 6(z) co vi @(z)*9(z) <

I- 9(2)*9(2) Gia st & =(X, U, VOF, A, B, C, D) là hệ đơn giản, đơn nguyên có hàm truyền là 9 (2z) Đặt

A =A, B=B, C=P,C , D=P,D, oO (4.8) trong dé Py 1a phép chiếu vuông góc tit V@F lén V Khi dé ta co ([1]) hé

o 0

œ=(X,U,V, A, B,C, D) là hệ bị động tối ưu, có hàm truyền là

9,(2) = 00) ; và

N=P,D, M=P,C, w,(z)= N+zM(I-zA)'B=(z) (49)

a

4.1 Điều kiện tối tu và đối-tối tu cửa hệ bị động

Giả sử œ =(X,U, V, A, B, C, D) là hệ bị động Do (4.3), ta có

WalZ)*W a(Z) < I - 0(z)*0(Z)

Từ định nghĩa của hàm ọ(2), ta suy ra

WalZ)*W a(Z) < 0(2)*o@Œ)

Trong phân sau ta sẽ chứng minh rằng nếu hệ ơ là tối ưu thì \„(z)* „(2) sẽ đạt cận trên, nghĩa là ta có we(z)*w „(z) = @(z)*@(2); và nếu hệ œ là đối- tối

uu thi y.(z)*w (z) sẽ đạt cận dưới,nghĩa là y.(z) = 0

Định lý 4.1

Hệ bị động œ =(X,U,V,A,B,C,D) là đối-tối ưu nếu và chỉ nếu Wa(Z)= 0

Chứng minh

Giả sử œ là hệ đối-tối ưu Gọi œ' là hệ đơn nguyên có cùng hàm truyền là 9(2) Vì œ' cũng là hệ bị động nên ta có với mọi zeØ và ueU,

Jd=zA)””Bu |Ý > JŒ—zA)ˆ'Bu Jƒ

=_ (K¿(2)*K¿()u,u)> (K¿.(2)*K,.(2u,u)

Từ (4.3) và (4.5), ta suy ra

{(~ 9(2)*9(2) - a(2)*a(2))u, u ) > ¢ (I — 6(2)*6() )u, u);

điều này dẫn đến ( w„(2)*u„(2)u, u )= 0, và do đó \„(2) = 0

Ngược lại, nếu w„(2) = 0, từ (4.3) ta có

I- 0(z)*0(z') = (1 — Zz')K,(z)*K,(z') ; z, zie D

Giả sử a’ = (X', U, V, A’, B!, C!, D' ) là hệ bị động có cùng hàm truyền là

(z2) ta có

[3 0-zA)=!B! úy P= | E Kale) % IP?

II

(1-252)! ((1- 0@)*0@) ~ Vo: (2) *Wa(Z) Jus, U5 )

Ms Mes

€ KzŒ)*Ka(Zju, , 0) — >šú- Zi) Wa (Z)* War (Z)U;, tị )

i=l j=l

=] 2a 2A)" "Buy, |?- i=l j=l > (1-2; j2) | War (Z)*Watzu;u;) (4.10)

với mọi 1x]= Dva fu}, cU

Giả sử w„.(2): U—> W' Đặt h(@= ¥ (E-z%) uy, y EU Ta cd

k=1

hŒ) < L2(U), P vuWạh= Ð (G- 24) Wer(Zy LẠ(W) Pas uy va

I FscwyW och Pow = I (§ = 24) Wor (2 Uy Po cwy

i=l j=l

= EE (1-742) yoelZi)U;e Var U4 ) ws

Nhu vay tu (4.10) ta suy ra

Vu, e U

Do đó œ là hệ đối-tối ưu và định lý được chứng minh

Dinh lý 42

Giả sử a = (X, U, V, A, B, C, D) là hệ bị động có e(z) là hàm non tốt nhất ứng với hàm truyền 6(z) Nếu hệ œ là tối ưu thì W⁄4(2)*Us(2) = 0(2)*o() Khi đó tổn tại một hàm trong b(2) sao cho t„(z) = b(2)0(2)

Chứng minh

Giả sử œ là hệ bị động tối ưu được mô tả ở trên Đối với hệ œ, ta có

I- 9(2)*9(2) = oŒ@)*o(z)+ (1- Zz)K,(2*K,(2); z, Ze @

a a

Vì œ và œ là các hệ tôi wu cd cling hàm truyền là 0(z), nên ta có với mọi

zeDvauew:

2

lu _zA)” Bul = k —zA)"'Bu

2

= (K,(z)*K,(z)u,u) = (kK, @*K,()u)

=_ (1~|ZƑ'X(1- 9()*6)- wa(2)*wa(2)})u, u) =

C1~|z X(1- 92)*9) - 0(2)*0(2) Ju, u)

=_ ((0*9()~Wa(2)*wa())u,u)=0

Suy ra

0(2)0(2) = Wa(2)“a(2)

Vì 0(2) là hàm ngoài nên theo mệnh đẻ 4.1 ( [31]), tổn tại một hàm trong b(z): F — W sao cho (2) = b(z)0(2) Định lý được chứng minh

Giả sử 9.(z)=(9Œ) 9.(z)): U @ F' > V, trong đó ọ (z) là *-hàm non

tốt nhất của hàm I - 6(z)0 (z)* và œ„ là hệ bị động tối ưu được định nghĩa như

ð(z)

Gath tay 00) On a.0)-|

@+(Z) } V > U © F’ Bing cach 4p dung

chứng minh của định lý 4.1 và định lý 4.2 cho hệ œ.=(X,V,U,A*,C*,B*,D*)

đối ngẫu của hệ œ = ( X, U, V, A, B, C, D ), và bằng cách sử dụng hệ mô

hình bị động và tối ưu œ, và đẳng thức (4.4) ; ta được các kết quả đối ngẫu

của định lý 4.1 và định lý 4.2

Định lý 4.3

Hệ bị động œ là *- đối tối ưu nếu và chỉ nếu tự„„(z)= 0

Định lý 4.4

Giả sử œ là hệ bị động có ọ.(z) là *-hàm non tốt nhất tương úng với hàm truyền 9(2) của hệ Để hệ œ là *tối ưu, điều kiện cần là

Weo(Z) Waa (Z) *=@-(Z) @-(2) *

Hệ quả 4.1

Một hệ đơn nguyên là hệ bị động đối-tối ưu và *- đối tối tu

Chúng minh

Hiển nhiên một hệ đơn nguyên œ là hệ bị động Hơn nữa nếu œ là đơn

nguyên thì các toán tử M, N, Q và R bằng 0; do đó „(2)= 0 và „(z)=0

Theo định lý 4.1 và định lý 4.3, ta có hệ œ là đối-tối ưu và *- đối- tối ưu

Hệ quả 4.2

Nếu hệ bị động điều khiển được (t.ư quan sát được) œ = ( X, U, V, A,

B,C, D) là đôi-tối ưu (t.ư *-đối tối ưu) thì toán tử T = (? 0) Xe@U-

* *

X@V (tu Ăn, 6, } X@V>X@ U) ng

Chứng minh

Thật vậy, vì hệ œ là đối-tối ưu nên ta có \„(z) = 0 Từ dây dẫn đến

Wo(0) =N=0 va do dé ZM(I-zA)7'B= Š ZIMA‘B = 0 Suy ra MAB = 0,

K=0

Vk € N Do hé œ là điều khiển được nên M = 0 Vậy

I- A*A - C*C =0,I- B*B - D*D =0, A*B +C*D =0,

và T là đẳng cự

Phần của hệ quả liên quan đến tính quan sát được và *- đối tối ưu cũng đúng vì ta có hê bị động œ là quan sát được và *- đối tối ưu nếu và chỉ nếu hệ

œ là diều khiển được và đối tối ưu

Từ hệ quả 4.1 và hệ qua -4.2, ta thu được điều kiện để một hệ bị động

là đơn nguyên

Hệ quả 4.3

Giả sử hệ bị động œ là tối thiểu Khi đó hệ œ là đơn nguyên nếu và chỉ nếu hệ œ là d6i-téi wu và *-đối tối ưu

4.2 Hệ bị động và hàm non tốt nhất ứng với hàm truyền cửa hệ

Cho o(2) là hàm non tốt nhất của hàm I — 9(z)*9(2), ta có

0< o(2)*o(z) <1- 6)*9(2)

Trong phan này ta sẽ xét tính chất của hệ bị động œ trong trưởng hợp biểu thức o(z)*o(z) của hàm non tốt nhất ứng với hàm truyền 6(z) của hệ đạt được cận trên, nghĩa là @(z)*@(2) = I— 0(z)*9(2) ; và xét trong trường hợp biểu thức

đó đạt cận dưới, nghĩa là @(z) = 0

Tương tự, ta cũng xét cho trưởng hợp * - hàm non tốt nhất ọ.(z) ứng với hàm

truyền 0(z) của hệ a

4.2.1 Trước hết ta phát biểu kết quả cho trưởng hợp o(z)*@(z) = I— 9(z)*0(2)

và 0@‹(Z)@‹(z)* = I— 9(z)0(2)*

Định lý 4.5

Cho ơœ là hệ bị động tối ưu ( t.ư *-tối ưu) có hàm truyền là 6(z) Khi đó

hệ œ hoàn toàn không điều khiển được ( t.ư hoàn toàn không quan sát được)

nếu và chỉ nếu 0(Z)*@(2) = I— 9()*9(2) ( t.ư 0.(z)@‹(z)* = I— 6(2)6(2)* )

(Bởi định nghĩa, hệ œ được gọi là hoàn toàn không điều khiển được nếu

X£=(0} ,và được gọi là hoàn toàn không quan sát được nếu Xess {0}) Chúng minh

Giả sử hệ œ hoàn toàn không điều khiển được Với mọi zeØ và ueU, ta

có

(K„¿@)*K¿(2)u, 0) = JKa(2)u] = [(T— zA )- 'Bu |? =0

Từ (4.3), ta có

( (1 6(2)?9) — wa(2)*Vø(2) )u, u ) = 0

Suy ra wa(z)*y (z) = I - 0(z)*0(z) Vi hé œ là tối ưu, do định lý 4.2 ta có

WalZ)*W alZ) = 9(Z)*@(z) và do đó @(2)*@(2) = I~ 6(z)*0(2)

Ngược lại, giả sử o(z)*e(z) = I— 0(z)*0(z) Áp dụng hệ thức (4.3) cho

hệ bị động œ, ta có

1~ 9(2)*9) = Walz)*W o(z) + (1 —| zP )Ku(z)*Ku(2) (4.11) đúng với mọi zeØ Vì hệ œ là tối ưu nên

Từ (4.11) và (4.12), ta suy ra

(1- zA } 'Bu |?= ( K¿(2)*K¿(2)u, u) =0

với mọi zeZ và ueU Điều này dẫn đến X€= {0} và do đó œ hoàn toàn không điều khiển được

Để chứng minh phân liên quan đến tính hoàn toàn không quan sát được,

ta áp dụng phan chứng mỉnh này cho hệ đối ngẫu œ của hệ œ Định lý được chứng minh

Từ định lý này, ta thấy nếu hàm I-0(z)*9(z) nhân tử hoá được ( t.ư

I-9(2)6(z)*) nhân tử hóa được) nghĩa là phương trình I- 0(z)*0(z) = y(2)*y(2)

(tư I- 9)9)*=yŒ)yŒ)* ) có nghiệm, thì không thể tổn tại một hệ bị

động œ tối ưu ( *- tối ưu) có không gian điều khiển được ( t.ư không gian quan sát được) khác {0}

4.2.2 Trong phần này, ta xét trưởng hợp hệ bị động với ham truyền có hàm

non tốt nhất bằng 0

Ménh dé 4.1

Gia st 6(z) : U > V 1a ham truyén cua hé bi déng a va o(z) = 0 1a ham non tốt nhất của hàm I ~ 6(z)*9 (2) ( t.ư @-(z) = 0 là *- hàm non tốt nhất của

hàm I - 0(z)0 (z)* ) Khi đó hệ ơ là tối ưu và đối-tối ưu ( tư *-tối ưu và

*-đối-tối tru )

Chúng minh

Do w.(z)* 4(z) < I 6(2)*9(2) và giả thiết (p(z)= 0, ta suy Ta We (Z) = 0

Đối với hệ œ, từ hệ thức (4.3) ta dược

Giả sử œ' là hệ bị động có hàm truyền là 0(2), ta cũng có w„ (z)*„(z) <

o(2)*o(z) Điều này dẫn đến w/„(z) =0 và

1~0()*0(2)=(1- zz')K„.(z)*K„.(2) ; V zz'e Ø, (4.14)

Từ (4.13 ) và (4.14), ta có với mọi n = 1, 2, {zh Dva fu Hey e U,

|S (1- 2A) Bu, f= | E Kal 2% Jay IP

de i Ms T (Ka-(% )* Ke (Zu; , u; )

=| ¥(1-z,A')' Blu, |

k=l

Từ đẳng thức này, ta kết luận œ là hệ tối ưu và đối-tối ưu

Phần liên quan đến trưởng hợp ọ.(z) = 0 được chúng mỉnh bằng cách dùng

Hệ quả 4.4

Giả sử ọ(z) = 0 là hàm non tốt nhất của hàm I— 9(2)*9 (2) ( t.ư @.(z) = 0

là *-hàm non tốt nhất của hàm I — 9(z)9 (z)* ) Khi đó hệ bị động, điều khiển được (t.ư quan sát được ) được xác định duy nhất bởi hàm truyền 9 (2)

Chứng minh

Từ mệnh 4.1, hệ œ là tối ưu Ta dễ dàng thấy một hệ bị động, tối ưu, điều khiển được, là tối thiểu, nên hệ œ được xác định duy nhất bởi hàm truyền 9z)

Phân còn lại của hệ quả được chứng minh tương tự

Mệnh đề 4.2

Giả sử œ là hệ bị động có @(2) = 0 là hàm non tốt nhất ( t.ư (ọ.(z)=0 là

*-hàm non tốt nhất ) ứng với hàm truyền 9 (z) Nếu hệ œ điều khiển được (tư

A B

át được ) thì toán tử T =

:X®V>XOU )la dang cu

Chứng minh

Theo mệnh đề 4.1, hệ œ là đối-tối ưu Do hệ quả 4.2, ta kết luận toán tử

T là đẳng cự

Bởi đối ngẫu, ta có kết quả cho trường hợp @.(2) = 0

Tử mệnh để 4.2, ta có một điều kiện đủ để một hệ bị động œ là một hệ

đơn nguyên

Hệ quả 4.5

Nếu hệ bị động tối thiểu œ có các hàm non tốt nhất và *-hàm non tốt

nhất úng với hàm truyền 9 (z) đều bằng 0, thì œ là hệ đơn nguyên

4.3 Mối liên hệ giữa các hệ bị động tối ưu ( *-tối tu )

Trong luận án này, ta gọi một hệ tuyến tính œ = ( X,U,V,A,B,C,D ) là một nói rộng bên trái của hệ tuyến tính œ' = ( X',U,V,A',B',C'!,D' ) nếu tổn tại một không gian con G sao cho

X=G.®X,

A*G c G , B*G, ={0}, A’ =Aly ,B=B,C= Cl ,D=D

Tương tự, một hệ tuyến tinh a = ( X,U;V,A,B,C,D ) là một nói rộng bên phải của hệ tuyến tính œ' = ( X',U,V,A',B',C!,D' ) nếu tôn tại một không gian con G sao cho

X=X'OG,

AG cG,CG= {0}, A*=A* x ,B*=B* xe.» SẾt, D^SD*,

Ta dễ dàng kiểm tra được nếu hệ ơ là một nói rộng bên trái hoặc bên phải của

hệ œ', thì hàm truyền của các hệ œ và œ' bằng nhau trong một lân cận nào đó của 0 Ngoài ra, nếu œ là một nói rộng bên trái của œ thì hệ đối ngẫu œ là một nói rộng bên phải của œ,