các hệ động lực tuyến tính bị động và đơn nguyên 6

dùng lý thuyết mô hình toán tử để nghiên cứu một số tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính trong không gian Hilbert trong quá trình kiên kết các hệ con hoặc khai triển cho trước thành các hệ con

CHƯƠNG 3 HAM NON TOT NHAT CUA TICH

CAC HAM TOAN TU CO GIAI TICH TREN DIA TRON

DON VI

Cho 0(z) € BU,V), 0,(2) ¢ BU,,V,), k=1, 2, U= U, Vi= U;, Vạ= V Gia sử 0) = ;(z)9,(z) Trong chương này chúng tôi xây dựng hàm non tốt nhất của hàm 6(Z) tử các hàm non tốt nhất của các hàm 0,(z), 0;(z) Sau đó

chúng tôi tìm điều kiện cần và đủ để hàm non tốt nhất của 0(z) có biểu thức

đơn giản nhất

Ở đây, chúng tôi sử dụng một số khái niệm sau

Giả sử © là không gian con của không gian Hilbert H và Ú(: H-> H là một đẳng cự sao cho UP Q L %© với mọi số nguyên không âm Pp q (pzq),

dit M(Q)= 6 UWA

0 Một đăng cự ( : H -> H được gọi là một dịch chuyển một bên nếu tồn tại một không gian con © của H sao cho H = M,(Q)

Dat 6° : M,(Q) > HQ)

(0® Ÿ UWayAay=¥ Ma; (qjeQ; ¥ fayf?<+00; lal<1,

ta có 6° 1a ton ti đơn nguyên và được gọi là biểu diễn Fourier cia M.(Q)

Trong phần này, chúng tôi có sử dụng đến kết quả sau ([31])

Mệnh đề 3.1

Giả sử U và UL` là hai phép dịch chuyển một bên trên các không gian

Hilbert khả tách tương ứng R = @PO và R'= BU "Q', Q là toán tử co tử

R vào R' sao cho

QU=U'A

Khi đó tồn tại một hàm giải tích các toán ttt co A(z) : Q > Q’ sao cho

0Q = 40"

Ham A(z) la

a) hàm ngoài nếu và chỉ nếu Q@R.= R'

b) hằng số đơn nguyên nếu và chỉ nếu @' là toán tử đơn nguyên tử R lên R'

3.1 Hàm non tốt nhất cửa tích các hàm toán tử co giải tích trên Z

Cho 9(z) = 6;(z)0,(z) là nhân tử hóa cửa hàm 9(2) e Z2(U,V), trong đó 6,(z) < BU,,V,), k=1, 2, U=U, V\= Uy, V;= V

Việc xây dựng hàm non tốt nhất của tích các hàm toán tử co giải tích trên dia tron don vị đã được Ð.C.Khanh khảo sát trong trường hợp đặc biệt khi hàm 9(2) có nhân tử hóa (+)chính quy Trong định lý 3.1 dưới đây, chúng tôi xây dựng cho trường hợp tổng quát

*

Định lý 3.1

Giả sử @¿(2) là hàm non tốt nhất của I-9;(z) *9¿(z) (k=1,2), khi đó

0;(2)8;(2)

hàm non tốt nhất của I - 9(z)*9(z) có dạng

@¡(2)

@u(z)

;(2)Ô) (z)) Ngoài ra ta có

oz) ) @®u(2) = Eo(z), trong đó E= Z:p là toán

tử đơn nguyên từ F lên Z,F, u(2) :U—> Z,EK,

K=(ñ u)A;H?(U;)® n U? A,H?(U,) OZ QU} AH*(U)),

n20

F=AH?(U) © U,AH?(U),

Z,: Ah 4% A,O,h@A,h, heHf(U) là toán tử từ AH?(U) vào A,H?(U,)®

ArH?(U;), Ú, (k=1,2) là phép nhân với e" trên L„(U,)

Chứng minh

Vì A giao hoán với Ú, và H2(U) là bất biến đối với I(,, không gian con

AH?(U) của L„(U) cũng bất biến đối với U, Do dé U, la mét dang cv trén

AH?(U)

Giả sử

AH?(U)=M,Œ)®N

là sự phân tích Wold của không gian AH2(U) đối với đẳng cự này Khi đó

F= AH?(U) 6 U,AH?(U), 3.1)

M.Œ) =@ UƒF, N =íf\ ƑAH?(U), U,|y là toán tử đơn nguyên và

u, | M„ œ) là phép dịch chuyển một bên

Gọi ? là phép chiếu vuông góc tử không gian AH?(U) lên không gian con M,Œ), khi đó tổn tại một hàm ngoài o(2) : U —> F sao cho

o PAv=ov với mọi v thuộc H”(U), và (z) chính là hàm non tốt nhất của I — 9(z)*0(z)

Tương tự, với k=1,2, ta có

AyHŸ(U,) =M,Œ,) ® Nụ,

trong đó

E= A,H?{(U,)© W/A,H?(U¿),N= f W}AyH?(U/),

n20

M.Œ,)= @ URF, va 6% PA, = Ov voi mọi veEH?(U,), @,(z): U,> F, 1a

n20

hàm non tốt nhat ctia ham I - 6,(z)*6,(z)

Dat

là toán tử tử không gian AH?(U) vao khéng gian A,H?(U,)@ A,H?(U,);

thi Z.14 don nguyén từ AH?(U) lên (A;ð, ®A¡)H?(U) và ta có

Z.AH?(U)=Z,(M.Œ) @N)= Z.M.Œ)®Z.,N=@ Z, U2F® ZN 3.3)

n>0

Vì Ai, A; và 0, giao hoán với phép nhân với e" trên các không gian tương ứng nên ta có Z,U= UZ., trong đó U= (U;, U(,) là phép nhân với e" trên

L(U;®U,) Từ (3.3), dẫn đến

Z.AH?(U)=M.(Z,F) ® Z,N

và

| Phil = ||@ Z,hll, vh e AH?(U) (3.4)

trong đó @ là phép chiếu vuông góc tử Z.AH?(U) lên không gian con

M,(Z,F)

Nhận xét rằng

Z.N=Z.(ñ 1?AH?(U))= ñ Z.,AH?(U) c

eM UAH? (U2) @A,H7(U,)) = ñ 13 A;H”(U,)© VU? A H*(U))

n20

=N, ON

Vi Z, 1a ding cự nên Z,N là không gian con đóng của không gian N; © N,

Đặt K =(N,®N,)© Z.N, khi đó

Vì không gian AH?(U) bất biến đối với L, nên ta có UN = N, và điều này

dindén Z,N=Z, UN=U Z,N; do dé

Từ (3.5), (3.6) và [31] (định ly 1.1), ta suy ra

Z,F=M.(Z.F) © UM,(Z.F)

=[M,(Z.FnŒ;@F,)) ® M.( Z,F)n K]e [UM.(Z.Fn Œ;@F,)) ® UM,( Z,F) n K]

=[M,ŒZ,n@;@F,) © UM, Z,F n Œ,®EF,)) ]© [ (M.(Z.F) 1K) 6 (UM,( Z.F) 9K) ]

=(Z.Fn Œ,®F,)) ® (Z,F n K)

Vậy Z,AH?(U)=M,( Z.FnŒ,@F,) ® M,(Z.F n K)® ZN

Ký hiệu Q, va Q, là các phép chiếu vuông góc tương úng tử Z, AH?(U)

lên M,( Z.EFA(E,@F,)) va M,( Z.F 0 K);3=A,0,8 A, ; X= Q,8,

Ww=uU ta có X là toán tử co tử không gian H”(U)

M„(Œ,rnk) › = [| 2à ›

vào không gian M,( Z.F ñ K) Ngoài ra nhận xét rằng toán tử U( giao hoán

với ồ, nên ta có

ũX= u@,Š = Q(U

M.(,rnk) )Š = Q,U 8 = Q,8U = XU

Điều này dẫn đến

WX = XU

Từ mệnh đề 3.1, ta suy ra tỒn tại một hàm giải tích các toán tử co

u(2): U —> Z.F ñ K sao cho

OZFNK Xv = wv, Vv € HU) (3.7)

Hơn nữa với mọi v thuộc H(U), ta có

QŠtfŒS®R) @ 8y = ¿Z-FŒ5®5) O (A6, ® A,)v

= 9294 ( P,® P,) (A,0, ® Av

=O" P,A,6,v Oo" Pv

=0;0¡v ® @¡v

Đặt Y= (Q¡®@;)ö = @ö, thì Y' là toán tử co từ Hˆ(U) vào

M.( Z,FnŒ;@F,) ® M,( Z„F n K) =M,( Z„F) và ta có

YH?(U) =Q8H?(U)=Q8H?(U)=QZ, AH?(U) = M.( Z.F) (3.8)

va

) Q bv = o2FNEOR) Q dv ® ¿Z#fñK @,äv

9)

928

Tu (3.8), (3.9) ta kết luận (

1

Jeno U > Z,F là hàm ngoài

928;

1 pas-( ) từ (3.4) và (3.9) ta có với mọi v thuộc Hˆ(U)

I TOwvll= 1lo4¥ Q by |I= [1 Qdv [l= I|@ Z.Av lÍ=

= || Pav Il= Il 6’ PAv [I= Ilevll

Vậy ta có

sk" Fewoenlrar=—(* llovoll dt, vw e HU) G.10)

Đặc biệt hệ thức (3.10) thỏa với v(A) = p(A)c, trong đó c là phan tử thuộc U

và p(2) là một đa thức theo A Vi bất kỳ đa thức lượng giác q(e") nào cũng có

được tử dạng e ”“p(e"), trong đó p(2) là một đa thức theo A, do đó (3.10) thỏa với v(A) = q(^) c Như vậy

=k lace") Pl J @wWelPat = =k" lq(e9l?llo(ell2dt — @.11)

Hệ thức (3.11) vẫn đúng khi ta thay q(e") bằng hàm đương p(1) đo được và bị

chặn trên [0,2m]

Bằng cách chọn p(t) là hàm đặc trưng của khoảng (+, t+e ) và bằng cách cho

e —>0, ta được

IlCƑ ®w)@ell? = |le(Ðell? (3.12)

với mọi t không thuộc tập E, có độ đo không

Vì không gian U là khả tách nên tổn tại một tập E có độ đo không sao cho (3.12) thỏa với mọi t £ E và mọi e e U Vậy ta có

Ợ ®uXĐ*( 7 ®u)(9 = * ot) ae

Vì cả Ƒ@u) và ọ đều là hàm ngoài nên tổn tại một toán tử đơn nguyên

E:F > Z.F sao cho (J ®p) = EQ Điều này dẫn đến (Ƒ ®ụ) là hàm non tốt

nhất của I - 0* Bằng vài tính toán, ta có thể chứng minh được E = Zep

Định lý được chứng minh

Từ định lý 3.1, ta có hệ quả sau

Hệ quả 3.1

Nếu nhân tử hóa hàm truyền 0(z) = 6;(z)6,(z) là (+) chính quy thi

0;(2)9;(2)

| ọ¡(2) là hàm non tốt nhất của hàm I— 6(z)*9(2)

Chứng minh

Từ công thức của sự phân tích Wold cho các không gian

AH?(U) , A,H?(U,) (k=1,2) và từ định nghĩa của (+)chính quy , ta thấy

ngay không gian K trong phát biểu của định lý bằng {0} và đo đó (2) = 0

Từ định nghĩa về hàm non tốt nhất của hàm I - 9(z)*0(2), ta có khái niệm tương tự cho *- hàm non tốt nhất của hàm I — 6(z)0(z)* Ham

*-ngoài (z)e ZŒ',V) được gọi là *- hàm non tốt nhất của hàm I ~ 0(z)0(2)*

nếu

@(e') (e)* < I— 0(e')0 (e)* a.e trên ØZ

và nếu ở, (z) là hàm giải tích các toán tử co sao cho

- (e") bs (e)* < 1- 0(e')0 (e)* a.e thì $-(e') $.(e9* < @‹(e) @(e9* a.e

Nhắc lại rằng hàm ọ (z) được gọi là hàm *- ngoài nếu hàm

ð.(z) e Z (V, F') là hàm ngoài Ta dễ dàng thấy rằng hàm ọ (2) là *- hàm non tốt nhất của hàm I - 0(z)0(z)* nếu và chỉ nếu hàm ÿ.(z) là hàm non tốt

nhất của ham I - ð(z) * ð(z), trong đó ÿ.(z)= (Z)*, ð(z) = 0(Z)*

Tương tự như định lý 3.1 ta có

Định lý 3.2

Gia st ¢.,(z) 1a *- hàm non tốt nhất của hàm I-0,(2)9,(z)*(k=1,2), thì

‹,(2)

*- hàm non tốt nhất của hàm I - 9(2)9(2)* có dạng ( (2)9.,(2)

@v(z) ,

trong đó

v(2):Z.F'n K'~V,F'= AyL3(V) © Uy AgL3(V)

K'=[ 1) UP AwL3(V2)® 1 UP AaL3(V)) 1 © Z-( 2 A,L2(V))

n20

Z_:A,h— A„h@A,z6;h,h © L3(V)

U ', la phép nhan voi e** trén L,(V,), (K=1,2), A„=(1- 99*)12,

se Fin ye

Avs = (1-0,04)!2, k=1,2

9+ (2) Hơn nữa ta có |öek.Đ Jove = E_¢.(z) trong d6 E_= Z_|_,, a :

toán tử đơn nguyên tử không gian F' lén khong gian Z_F’

Hệ quả 3.2

Nếu nhân tử hóa 9(z)=0;(z)0,(2) là (—) chính quy, thì hàm F(z) =

9.,(Z)

8,(29., a) *- hàm non tốt nhất của hàm I — 9(2)0(2)*

0;(2)9;(2)

3.2 Điều kiện cần và đứ để hàm J (2) -(

9, (2)

) là hàm non tốt

nhất cửa hàm I-9(z)*9(7)

Trong mô hình của De Branges-Rovnyak trình bày trong chương 1, ta

B® ={ (0,2)/ (0,g)eB° },

B® = { (£0)/ (£0)<B"}

Khi đó không gian con BỆ là thành phần không quan sát được của hệ đơn nguyên có hàm truyền là (2), còn không gian con BÊ là thành phần không

diều khiển được của hệ Ta có kết quả ([9]) :

Định lý 3.3

Không gian B chính là không gian con

{Gf / fe HF},

trong đó (2) € B (U, F) là hàm non tốt nhất của hàm I - 0(z)*0(z)

Ngoài ra ta có

|(0.ðf)|„e = | £ lec :

Tương tự như định ly 3.3, ta có kết qua cho khéng gian B®

Dinh ly 3.4

Không gian B° có thể biểu diễn như sau

B°= { (ọ.h,0)/h e HŒ)},

trong dé @.(z) ¢ B (F',V) la *- hàm non tốt nhất của hàm I — 9(z)0(2)* Ngoài

ra ta có

|(o-h.0)

|;o = |h lhc:

Trước khi chứng minh kết quả của định lý này, ta hãy xét mô hình của Nagy - Foias ứng với hàm truyền 6(z) e B (U,V):

X?=[12(V)® AL;(U)] © { (6ø, Ao)/eL(U) },

X$=[ L(U)® AzL¿(V)] © {(0*0,A„o)/oeL2(V) },

trong đó A„= (-99*)12,

Ta có toán tử

W ®: (f.g) >(0*f+ Ag, A„f— 0g)

là phép biến đổi đơn nguyên tử XỶ lên XỆ

Giả sử ƒu là toán tử trên Lạ(U) được định nghĩa bởi (ƒu Ð(€') = e“f(e”9

Hiển nhiên Jv là đơn nguyên trên L„(U),, biến không gian L?(U) lên không

gian L2(U) và L2(U) lên L$(U) Mối liên hệ cơ bản giữa X? và B là chúng

tương đương đơn nguyên qua toán tử T ° định nghĩa bởi TÊ(fg) =

(£, fo(0*f+Ag)) vai (Bg) < X°

Chứng minh định lý 3.4

Gọi ° : X®—› BŸ là toán tử đơn nguyên được định nghĩa như trên, khi đó ta có

Be=r? x®

trong đó

X®= { (ø) e X? /0*ft Ag=0}

Với mỗi (f0) e BỀ, tổn tại một phần tử (fg) e XÊ sao cho T®(£g)= (£0)

Dat m= A„f— Ôg, ta có f= A„m và

Nhận xét rằng

W(Ax„La(V)©A¿L2(V))= Ax(e"")Lạ(V)©Az(e ")L2(V) @.14)

Theo [9] (định lý 5), ta có

Az(e"®)Lạ(V)©A„(e *)L(V)=f{e9*L2Œ), — @.15)

trong đó ?{e") : V—> F' là nghiệm của phương trình

@(e= Pe As(e"), (3.16)

v6éi Pre")=0 trén (Ay (e“)V)_ ae va Ple")* là đẳng cự a.e., ð„(z) là hàm

non tốt nhất của ham Az (e") = AR (e™)

Từ kết quả (3.14) và (3.15), ta có

AxLa(V)©A„L2(V)= ƒy Pe9*Lạ(F)= Ø(913Œ) @.17)

Từ (3.13) and (3.17), ta thấy m có dạng

m=Ph, he Li(F)

và điều này dẫn đến

f=A,m= A,Ph=@-h

Hơn nữa ta có

|te-h.0)|,; =|(f.0)J,s =|TŒ,ø)|_, =l(f.ø)l„s =

-fe (fø)|ye =|(0.m)| x0 =|(0.Ph)] x2 -|œ how) -|» ee!

và định lý được chứng minh

Giả sử > là đẳng cự sau ([5])

>: B°! @B®2 + B®, 6=6,0,

(,, ø,) ® (, g;) (G+ Of, 81+ 8g)

Ta ký hiệu

>.,=> BỘ! ep$2 : BỆ @BẼ2 —› BỆ

(0, g¡) ® (0, g) HO, ø¡+ ðg; )

và

: BẺ @B®2 > Be

X_=2) sôi ep92 |

(f,, 0) © (6, 0) + (+ Of, 0)

Nhận xét rằng néu 9,(z) 1a ham non tét nhất của I — 9x(2)*9¿(2)

0;(2)9;(2)

(k=L2 ) thì hàm J(z)=

9 (2) Jane ldp BU, F,@F,) 1a ham non cia

I - 0(z)*6(2), ( O(z) = 9;(z)9;(2) ) Vấn đẻ đặt ra là khi nào hàm J (z) sé la hàm non tốt nhất ? Ta có đỉnh lý sau

Định lý 3.5

Hàm 7 (2) là hàm non tốt nhất của hàm I — 6(z)*0(2z) nếu và chi néu toán

tử E„ là toán tử đơn nguyên từ không gian BỀ! @ BŸ? lên không gian BỀ

Chứng minh

0;(2)6;(2) Giả sử 7 (z) = ih) là hàm non tốt nhất của hàm I - 0(z)*0(z)

Theo định lý 3.3, toán tử Є có dạng

>, : (0,ð,h¡)®(0,ð;h;)—> (0,ð,h¡ + ð/ð;h;)= (0,7),

trong dé h=h,@ hy, h, e HŒ,), k=l,2

Ta có

[(0,6,h,) ©(0,G sh )] 561 p02 = |(0.ð:hị) [2a + |(0/ð2h2)[2e; =

= [1 Bagg, *IReagey “P*Pa spony” KOFI:

Như vậy >„ là đẳng cự Hơn nữa từ giả thiết Ƒ (z) là hàm non tốt nhất của

hàm I — 0(z)*Ô(z), nên không gian con {(0, 7h) /h e HˆŒ;,@F,) } chính là không gian BỀ, do đó toán tử E„ là đơn nguyên

Ngược lại, giả sử E„ là đơn nguyên, khi đó ta có

BỆ= { (0,7h) /h < fŒ,@EF,) }

={(0, 6f)/feH®}

trong đó o(z) e Ø(U,F) là hàm non tốt nhất của hàm I — 9(z)*ô(2)

Như vậy với mỗi phần tử he H?(F,@F,), tén tai mét phan ti feH?(F)

sao cho

Vì (z) là hàm ngoài nên (2) có hạng trù mật với mọi z thuộc 2 và do đó ker ð(z)={0}, z e Z Như vậy, nếu f thuộc H°Œ), phần tử @f thuộc H?(U) sẽ xác định f Do đó ta có thể định nghĩa một toán tử x tử H°Œ;@F,) vào H?Œ)

bởi

với h, f được định nghĩa trong biểu thức (3.18)

Toán tử + hiển nhiên là tuyến tính và toàn ánh Hơn nữa từ định lý 3.3 ta có

2

Hˆ(j@F;) way Th al =|(0.ð¡h¡) 2a, + |(0.ðzh ;)|2o; =

2

Vậy toán tử x là đơn nguyên

Từ (3.18) và (3.19) ta có

I= bY

trong đó ,Z và Ø là toán tử trên không gian H sinh bởi phép nhân tương ứng với ,ƒ (z) và ð(z) Vì ,7 và ð giao hoán với e", nên toán tử y cũng giao hoán với e" Theo mệnh để 3.1, tóan tử + là hằng số đơn nguyên, nén J (z) la

hàm non tốt nhất của hàm I — 9(z)*(z) và ta chứng mỉnh được định lý

Tương tự ta có kết quả sau cho hàm *- hàm non tốt nhất

Định lý 3.6

Giả sử @x¿(2) e B (F'y Vi), K=1,2, 14 *- hàm non tốt nhất của hàm