các hệ động lực tuyến tính bị động và đơn nguyên 4

dùng lý thuyết mô hình toán tử để nghiên cứu một số tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính trong không gian Hilbert trong quá trình kiên kết các hệ con hoặc khai triển cho trước thành các hệ con

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CÁC VẤN ĐỀ ĐẶT RA

TRONG LUAN AN

Giải tích hàm nói chung, và đặc biệt là lý thuyết mô hình toán tử có rất

nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và vật lý Lý thuyết các toán tử kết hợp với mô hình các hệ động lực tuyến tính đã dẫn đến các kết quả thú vị trong việc nghiên cứu các tính chất các hệ tuyến tính vô hạn chiều Nội dung của luận án là nghiên cứu các tính chất của các hệ động lực tuyến tính vô hạn chiều bằng công cụ mô hình toán tử và mô hình hệ tuyến

tính

1 Lý thuyết mô hình toán tử

Nhỏ vào những kết quả nổi tiếng của Hilbert về phổ toán tử, ta đã có

được mô hình của các toán tử tự liên hợp và toán tử đơn nguyên, chúng được

biểu diễn ở dạng tích phân

T = [AdP,

ø()

Ở một hướng khác, ta đã biết các kết quả của Shur về đưa một ma trận

tự liên hợp về đạng đường chéo nhờ phép biến đổi đơn nguyên

Phát triển hai hướng trên, vào đầu những năm 50, các nhà toán học Xô Viết bắt đầu xây dựng lý thuyết mô hình cho các toán tử không tự liên hợp hoặc không đơn nguyên và người đi tiên phong trong lĩnh vực này là

M.S.Livsis Năm 1946, Livsis đã công bố công trình quan trọng [38], trong đó

lần đầu tiên hàm toán tử đặc trưng của toán tử được đưa ra Khái niệm hàm toán tử đặc trưng sau này trổ thành một công cụ quan trong trong nghiên cứu

của rất nhiều nhà toán học Quá trình tiến hóa của lý thuyết hàm toán tử đặc

trưng diễn ra khá đài và khó khăn Ngay tử đầu năm 1946, Livsis [38] đã nêu

công thức hàm toán tử đặc trưng của toán tử có dạng khá phúc tạp như sau 6;(z) = -A sign-AA*)+z|I-AA*Ì!2 đ-zA*ÿ![I-A*A|!2 (1.10)

Dạng hàm đặc trưng như trên khá tiện dụng cho toán tử "gần" đơn nguyên

Đối với toán tử "gân" tự liên hợp, năm 1954, Livsis [39] đưa định nghĩa

sau

W()=I2i (signA) |A;|!2(A*-zp1|A,|!2

i aye

2i

Định nghĩa trên đã được M.S.Brodskii [36] mổ rộng vào năm 1956 ở

dang sau

W@)=L2iK*(A-zD "!KI

trong đó J=J*, Jƒ=l, KJK*=A, với J, K là các toán tử bị chặn liên hệ với

toán tử A bởi các công thức trên

Sự cải tiến hàm đặc trưng dạng (1.1) cho toán tử "gần" đơn nguyên mãi đến năm 1972 mới được khẳng định, đó là hàm toán tử

6,(z)=D+zCŒ-zAy'B

trong dé B, C, D là các toán tử bổ trợ, thỏa điều kiện

I-A*A=C*C, I-AA*=BB*, I-D*D=B*B, I-DD*=CC*, A*B=C*D.

Chia khóa để sử dụng các hàm toán tử đặc trưng ở trên được thể hiện qua

định lý cơ bản sau đây

Định lý Livsis [37] Nếu hai toán tử bị chặn, đơn giản có cùng hàm toán tử

đặc trưng thì tương đương đơn nguyên

Tiếp sau, nhỏ những nghiên cứu sâu sắc về hàm toán tử của Potapov

[32], Ginzburg [18]; Brodski va Livsis [37] đã khai triển hàm toán tử đặc trưng vào dạng

! ul đe(t) ®

0 k=l

iJ

hy —z8kdk)

trong đó các toán tử a(t), e(t), q, thỏa mãn một số hệ thức

Nhỏ vào biểu diễn này, Livsis đã xây dựng mô hình của toán tử "gần" tự

liên hợp, đây chính là bước dau tiên quan trọng trong lý thuyết mô hình toán

tử không đơn nguyên hoặc không tự liên hợp Mô hình của Livsis đã được

các đồng nghiệp và các học trò của ông cải tiến , mở rộng vào những năm 60

và 70 [41] Mô hình này trong trưởng hợp phổ rời rạc có dạng :

(ADM +i D faa

jek+l trong trường hợp phổ liên tục có dang :

1 (A9@œ)=œ(x)f@)ri ƒf()q(Đ1q *(x)dt

x

Đầu những năm 60, ở một hướng khác, các nhà toán học Đông Âu, Nagy

và Foias đã tiến hành những nghiên cứu rất sâu sắc về các toán tử co trong không gian Hilbert mà một vấn đề trọng tâm là phép giãn (dilation) toán tử

Trong quá trình xây dựng phép giãn các toán tử, các nhà toán học này đã thiết

lập một đại lượng đặc trưng của toán tử, và thật thú vị là đại lượng đặc trưng

này lại trùng với khái niệm về hàm đặc trưng của Livsis Dựa vào khái niệm hàm toán tử đặc trưng đó, Nagy và Foias đã xây dựng một mô hình rất tiện dụng mà sau này liên tục xuất hiện trên các công trình của các nhà toán học

trên thế giới

Lý thuyết mô hình toán tử của Nagy và Foias có thể tóm tắt như sau Cho A là toán tử co trên không gian Hilbert, hàm toán tử đặc trưng của A

được định nghĩa bởi

9x(2)=—A+z(1— AA*)!2(~zA*)"1q— A*A)12

Ngược lại, cho trước hàm 0(z)e Z (U,V), Nagy-Foias xây dựng mô hình toán

tử co như sau

X= [Lay) ® AL;(U}b|(@œ ®Aoœ)/@e€ LU},

A(9@ y) =e“*(g(e)-g(0) @e“* weet),

trong đó A(e")=(1—6(e#)*6(ef))1⁄2,

Toán tử A này đơn giản và có hàm toán tử đặc trưng trùng với 9(z) Sau đó, vào năm 1972 Brodski đã xây dựng thêm các toán tử

Bu=e *(@(e")—6(0))u©e *A(ef)u, C(ọ ® ự) = 0(0),

Du =9(0)u,

để đưa về mô hình của hệ Hệ tuyến tính được xây dựng như trên là đơn giản,

đơn nguyên và có hàm truyền là 6(2) Ta có kết quả (định ly Livsis-Brodski)

là hai hệ đơn giản, đơn nguyên có củng hàm truyền thì tương đương đơn nguyên Như vậy mô hình của Nagy-Foias đã có một vai trò quan trọng để nghiên cứu các hệ đơn nguyên, mô hình này có thể cho ta nhiều thuận lợi vì

các toán tử đều được xây dựng tưởng minh

Hướng thứ ba trong lý thuyết mô hình toán tử được phát triển bởi các

nhà toán học Mỹ, De Branges, Rovnyak [13] Sau đây là mô hình của De Branges và Rovnyak cho toán tử co được xây dựng theo hàm 9(z)e Z (U,V)

cho trước Goi B® 1a không gian gồm các phẩn tử (f(z),g(z)) với f(z)<H?(V), g(z) eH?{U) sao cho

<{f2),s(2)), K”,„„(2)>y› = <flw), x>y + <g(M), y>u

với K”4„„(z) là hàm các toán tử được định nghĩa bởi

K„„2) =

1-92)6(w)* _„ 92) = 905) „ 9(z) - 86H), , 1- 8@)B(w)*

trong đó ð(z) =6(Z)*, weØ, xeV, yeU

Toán tử mô hình trên BỶ được định nghĩa bởi

A : ŒG)g(2)) L> (2f2)-6(2)g(0), EÉ—E”2,

có hàm toán tử đặc trưng là 9(z) Vì các toán tử A trong các mô hình của

Nagy-Foias và của De Branges-Rovnyak đều đơn giản nên chúng tương

đương đơn nguyên Trong mô hình của De Branges-Rovnyak, tuy không gian

BŸ không có biểu diễn tường minh nhưng có ưu điểm là các phần tử f(z), g(z) đều là các hàm giải tích.

Ngoài các công trình chủ yếu trên, lý thuyết mô hình toán tử còn được

mỏ rộng cho các lớp toán tử khác, kể cả toán tử không bị chặn [6].[§]

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng chủ yếu mô hình của Nagy-Foias

Lưu ý là các mô hình trên là mô hình hàm Ngoài ra còn có hướng xây dựng mô hình dạng tích phân theo các không gian con bất biến được xây dựng bởi Brodski [14], Gohberg, Krein [19]

2 Lý thuyết hệ động lực tuyến tính

Bắt đầu tử năm 1960, sau các công trình của Kalman [23], một số hướng

nghiên cứu các tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính phát triển mạnh Kalman đã dưa ra các khái niệm rất quan trọng : tính điều khiển được, quan sát được, xây dựng mô hình các hệ (lý thuyết thể hiện), sự đồng dạng của các

hệ tuyến tính [23],

Xét hệ động lực tuyến tính œ=(X,U,V,A,B,C,D) được mô hình hóa bởi

hệ phương trình sau

dx

— = Ax(t) a x(t) + Bu(t) + Bu(),

v(t) = Cx(t) + Du(t) ;

x(t), u(t), v(t), là các hàm vectơ với giá trị là các vectơ lần lượt thuộc các không gian Hilbert khả tách X, U, V Hàm x(t) được gọi là hàm trạng thái, u(9 được gọi là hàm điều khiển va v(t) được gọi là hàm quan sát

Hệ œ được gọi là điều khiển được từ trạng thái xạ đến trạng thai x, trong khoảng thời gian [tạ,t,] nếu tổn tại một hàm điều khiển u(t) xdc định trên [tq,t,]

sao cho nếu hệ bắt đầu tử trạng thái xạ (tức là x(t)=xạ) thì tại thời điểm t, nó

có trạng thái x,, túc là x(t,)=x, Điều đó đối với hệ tuyến tính xét ổ trên có nghĩa là

x(t) = eA) x9 + fe Buls)ds

Hệ œ được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu œ điều khiển được tử trạng

thái bất kỳ xạ về trạng thái bất kỳ x; trong khoảng thời gian bất kỳ [tạ, t,]

Trong điều kiện X,U,V là các không gian hữu hạn chiều thì hệ điều khiển được khi và chỉ khi

rang (B, AB, , A"'B)=n = dimX

Đối với hệ vô hạn chiều, khái niệm điều khiển được thường được hiểu ở dạng điều khiển được xấp xỉ, nghĩa là với một lân cận cho trước của x¡, luôn

tôn tại một hàm điều khién u(t) diéu khiển qñy đạo của hệ từ trạng thái xạ đến

lân cận của trạng thái x, trong một thời gian hữu hạn Khi ấy điều kiện cần và

đủ để hệ điều khiển được là

v A*BU=X

Đối ngẫu với khái niệm điều khiển được, Kalman đưa ra khái niệm quan sát được Vấn đề đặt ra là khi biết hàm quan sát v(t) (t > tạ) thì trạng thái ban đầu xạ = x(fy) có được xác định duy nhất không ? Nếu hệ œ có trạng thái x(t)

= x, 0, ham diéu khién u(t) = 0 (t > tạ) lại có hàm quan sat v(t) = 0 (t > ty) thi trang thái xạ gọi là không quan sát được tại thời điểm tạ Hệ được gọi là quan sát được hoàn toàn nếu tại mọi thời điểm , không có vectơ nào không quan sát

được Khi đó ta có kết quả đối ngẫu cho tính quan sát được Hệ hữu hạn chiều

quan sát được hoàn toàn nếu và chỉ nếu

rang (C*, A*C*, ,A*"!C*)=n=dimX ;

trong trường hợp vô hạn chiều thì điều kiện cần và đủ để hệ quan sát được

hoàn toàn là

VÀ**C*V=X,

0

Một khái niệm quan trọng trong hệ tuyến tính dừng là khái niệm hàm

truyền, hàm này được xác định bởi công thức

0,(z)=D +zC(I—zA )'B:U —>V

Lý thuyết hệ động lực tuyến tính dựa trên hàm truyền và lý thuyết mô hình

toán tử trong giải tích phát triển độc lập song song nhưng có nhiều điểm tương

đồng thú vị Đối với một số lớp các hệ thì hàm truyền trùng với hàm đặc trưng

của toán tử A

Hàm truyền mang ý nghĩa như sau :giả sử hệ œ có vectơ trạng thai x(t) =

Xe”, vectd vào u(f) = uạe”, vectơ ra v(Ð) = vạe”, thì v() = 09„(z)u(Œ) Như vậy hai hệ có cùng hàm truyền có thể coi là tương đương vì trạng thái bên trong

của hai hệ có thể khác nhau nhưng khi cho củng tín hiệu vào u(Ð, ta được cùng tín hiệu ra v(Q Tính quan trọng của hàm truyền còn được thể hiện ở

định lý Kalman [23] : nếu hai hệ hữu hạn chiều ơ,, œ„ điều khiển được, quan sát được có cùng hàm truyền thì chúng đồng dạng, nghĩa là khi đó tổn tại một

toán tử khả nghịch liên tục W: X¡—> X; sao cho

A,=WA,W!,

B, = WB, ,

C,=C\wl,

10

D,=D, ;

và rõ ràng hai hé déng dang thì chúng có cùng một số các tính chất quan trọng

như tính điều khiển được, quan sát được, ổn định, phổ Nếu hơn nữa toán tử

W là đơn nguyên thì người ta nói hai hệ là tương đương đơn nguyên

Trên cơ sở định lý đồng dạng, Kalman đã xây dựng các mô hình của hệ

tuyến tính theo một hàm truyền 9(z) cho trước mà ông ta gọi là các thể hiện (realization) của hàm 0(z) [23] Lý thuyết thể hiện đã phát triển khá mạnh, không những cho hệ tuyến tính dừng, hệ không dừng mà cả hệ phi tuyến

Đi sâu hơn nữa đối với hệ tuyến tính, các nhà toán học Mỹ (Brockett, Barass [10], Israel (Gohberg [11]), đã nghiên cứu sự liên kết các hệ “o> Các

hệ tuyến tính khi liên kết nối tiếp nhau theo nghĩa : Cho hai hệ œ =

(XU, Vi,An By, C,,D, ), k = 1,2, sao cho U, = V, Hé œ = (X,U,V,A,B,C,D )

được gọi là liên kết nối tiếp (tích nối tiếp) của hai hệ œ, , œ; và được ký hiệu

là œ = œ;ơ; nếu :

U=V,;V=V,;X=X,®X%,,

A=A,P,+A,P,+B,C,P,, B=B,+B,D,,

C=C,P,+D,C,P,, D=D,D,,

trong đó P, là phép chiếu vuông góc tử không gian X lên không gian X,, k=1,2;

bH.KH TU NHIER]

00403 ise |

thì các tính điều khiển được, quan sát được, tối thiểu, đơn giản, tối ưu .có thể

không được bảo toàn Các tác giả trên đã có một số kết qua vẻ điều kiện để bảo toàn các tính chất đó khi liên kết các hệ Các kết quả này được phát biểu trên ngôn ngữ bậc Mac Milan của hàm ma trận Trong tất cả các thể hiện của hàm 0(2), thể hiện có số chiều của không gian trạng thái là nhỏ nhất được gọi

là thể hiện tối thiểu Số chiều của không gian trạng thái trong thể hiện tối

thiểu của 0(z) được gọi là bậc Mac Milan của 0(z) và được ký hiệu là deg@(z)

Một kết quả vẻ điều kiện để bảo toàn tính chất tối thiểu được phát biểu trong

định lý Gohberg : Liên kết nối tiếp œ của hai hệ tối thiểu œ, và œ; là tối thiểu

nếu và chỉ nếu deg9,(z) = deg9„„ (2) + deg8„, (2)

Công cụ của hướng nghiên cứu này là công cụ đại số ma trận, rất khó

phát triển cho trưởng hợp vô hạn chiều

3 Lý thuyết hệ động lực tuyến tính trên Không gian Hilbert

Livsis là người đầu tiên nghiên cứu lý thuyết hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều [40] Ông đã khảo sát các hệ động lực tuyến tính dissipative

dạng

x =Ax+Bu,

v=CxrtDu ;

A-A*

trong đó C=B* , D=l, =BB*, với hàm truyền có dạng

2

S(z)=l+2iB*(zI-A)ˆ'B; và nghiên cứu nhiều ứng dụng của chúng trong vật lý

12

Các học trò của ông cũng đã tiến hành các nghiên cứu vẻ các hệ ngẫu nhiên

(Iancevich [30]), về thể hiện của các hàm phân hình (meromorphic- D.C.Khanh [42]) Đặc biệt Arov đã nghiên cứu sâu về các hệ bị động (passive) Đó là hệ rời rạc dạng

Xnr = Ax, tBu, ,

Vy = Cx,+Du, ;

với Ê oF X@U->X®@V là toán tử co va ham truyén 0(z)=D+zC(I-zA) 1B

Ông đã xây dựng các hệ mô hình của lóp các hệ bị động tối tu, xây dựng các

thể hiện bị động khác nhau của các lớp hàm toán tử trong không gian Hilbert

với những ý nghĩa vật lý tương ứng, đồng thời liên hệ với phép giãn các hệ

Arov đã xây dựng phép giãn của hàm toán tử co giải tích S(z), tlic 1a tim ma

trận khối

ẵ(z)= Si(2) S(z) }

S;i() Šz;(2)

đơn nguyên trên vòng tròn đơn vị Z và thỏa điều kiện tối thiểu

KerS,,(z)={0} hầu khắp trên ØZ Sử dụng các kết quả của Arov, Ð.C.Khanh

đã khảo sát các bài toán về liên kết các hệ, sự bảo toàn các tính chất định tính

của hệ trong quá trình liên kết [24],(44],[45],[46] Phương pháp nghiên cứu ở đây là nhân tử hóa các hàm toán tử co và lý thuyết mô hình toán tử Đưa vào các khái niệm mới (+) nhân tử hóa chính quy của hàm toán tử, ÐĐ.C.Khanh đã thiết lập các điều kiện cần và đủ để bảo toàn tính điều khiển được, quan sát

được, tối thiểu khi liên kết các hệ đơn nguyên hoặc các hệ bị động

13