Tìm các giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A+ B.. Tìm các giá trị nguyên của x để 4.P nhận giá trị nguyên.. Với giá trị nào của a thì biểu
Trang 1Chủ đề 14: bài tập tổng hợp về biểu thức hữu tỉ
Bài 1:
Cho A = (
2
4 +
x
x -
8
8 3
3 +
−
x
x
4
16 8 4 2
2
−
+
−
x
x
2
16 +
x
1
2 3 2
2 + +
+ +
x x
x x
B =
1
2 3
2
−
− +
x
x x
a Rút gọn M = A.B-1
b Tìm các giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên
c Tìm giá trị của M biết : x2 -2008.x = 2009
d Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A+ B
HD: A =-
1
1
2 + +
+
x x
x ; B =
1
2
2 + +
+
x x
x ; M = A.B− 1 =
-2
1 +
+
x x
Bài 2: Cho P =
x
x
−
+ 2
2 :
2
2 4 4
4
x x
x
+
− ( 2 −x
8
4
x
x x
−
+
− 2
2
)
a Rút gọn P
b Tìm giá trị của x để P = - 0,5
c Tính giá trị của P với x là nghiệm của phơng trình x− 1 + 2 = 3
d Tìm các giá trị nguyên của x để 4.P nhận giá trị nguyên
e Tìm x để P =
2009
2008 ; để P ≤2
HD: P =
x
2
1
Bài 3: Cho M =
1 2
1
2 − a+
1
2 −
a
a
-a
a3 −
1 ) : 2 2 3 1
a a
a a
+
+
−
a Rút gọn M
b Tính số trị của M với a =1
c Với giá trị nào của a thì biểu thức M có giá trị bằng -1
d Tìm a để M = - 42
HD: M = - 2 2
) 1 (a−
a
Bài 4: Cho A = 22 2
1
) 1 (
x
x x
+
− +
+
+
−
−
x x
x x
x
x
1
1 1
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x là nghiệm của phơng trình x2- 3x +2 = 0
c) Tính giá trị của biểu thức rút gọn A biết : ( x2 -3 ).( x -1) = x – 1
d) Tìm các giá trị của x để cho 5A = 2
e) Tìm x để A dơng
HD: A = 2
1 x
x
+
Bài 5: Cho B = (
x
x
−
+ 2
-4
4 2
2
−
x
x
-x
x
+
− 2
2 ) : 22 3
2
3
x x
x x
−
−
a) Tìm x để B xác định và rút gọn B
b) Tính giá trị của B khi x− 5 = 3 +x
HD: B =
3
4 2
−
x x
−
+
−
+
−
−
− +
−
1
1 1
4 2 1 ) 1 ( 3
) 1 (
3
2 2
2
a a
a a a
a
a a
a
+ 3 2
Trang 2a) Rút gọn C.
b) Tìm a để BTRG của C đạt giá trị nhỏ nhất, và tính giá trị nhỏ nhất đó
c) Tìm a ∈ Z để C− 1∈ Z ; để C ∈Z
HD: C =
2
1
2 +
a
Bài 7: Cho A =
2 +
x
x -
8
8 3
3 +
−
x
x
4
4 2 2
2
−
+
−
x
x
x ; B = 2
) 2 (
8 4 +
+
x
x
a Rút gọn M = A : B
b Tìm x ∈ Z để 97M ∈ Z
c Tính giá trị của M khi x là nghiệm của phơng trình 4x2 = 3x +1
HD: A = - 2
) 2 (
4 +
x ; B =
2
4 +
x ; M =
2
1 +
−
x
Bài 8: Cho A =
−x x
1
2 1
1
x x
x x
+
−
+
− ; B =
8 4 2
4 4 2 3
2
+
−
−
+
−
x x x
x x
a Rút gọn M = A B
b Tính giá trị của M khi x là nghiệm của phơng trình x2 - 5x = 14
c Tìm các giá trị nghuyên của x để M nhận giá trị nguyên
d Tìm x để M =
2009
2008 ; để M ≤ 2
HD: A = 1 – x ; B =
2
1 +
x ; M =
2
1 +
−
x x
Bài 9: Cho A = − + 3+ − −2)
2 (
2
2 3
2
x x
x x
x
x−
a Rút gọn A
b Tính giá trị của A với x− 1 = 4
c Tìm x để A = 18
HD: A =
2
2 2
−
x
x
2 3
4 2 3
2
+ +
+ +
+
x x
x x
1
4 2 +
−
x
x -
x
x x
3
3 1
2 + +
−
a Rút gọn A
b Tìm A với x = 6025
c Tìm x để A dơng ; để A =
2009
2008
d Tìm x nguyên để A− 1 nguyên
HD: A =
3
1
−
x
Bài 11: Cho A = (
x x
x
4 3
2
− + 6 3x
6
1 +
x ) : ( x-2 +
2
10 2 +
−
x
x )
a Rút gọn A
b Tìm x để A = 2008/2009
c Tìm x để A dơng
d Tìm các giá trị nguyên của x để A.x nguyên
HD: A =
-2
1
−
x
Bài 12: Cho A = 1+
x x
x
4 3
2
x
3 6
3
2
2 + +
+
x x
x ; B = x -
2
10 2 +
−
x
x - 2
a Rút gọn 3A:B
b Tìm x nguyên để 3A:B nguyên
c Tìm giá trị của x để 3A:B lớn hơn nghiệm dơng của phơng trình: y2 -5y = 14
Trang 3HD: A =
) 2 )(
2 (
6 +
−
−
x
2
6 +
x ; 3A:B =
2
3
−
−
x
2 : ) 1 1 (
1
3 3
2 2 2
b a
b a b
b a b a
+
a Rút gọn A
b Chứng minh A dơng
HD: A = 2 1 2
b ab
a + +
Bài 14: Cho A =
1
1 2 2
2 + +
+
−
x x
x
1
1 ) 2 ( 2
3 −
−
−
x
x
x ; B =
2
2
2 + −
+
x x
x ; C =
1
2002 2002
4
2
−
−
x
a Rút gọn M = ( A + B ) : C
b Khi x là nghiệm của phơng trình
9
5
2x+ = 2 +
6
3
−
x Hãy tìm M
c Tìm giá trị của x khi M =
2002
63
20x−
HD: A =
1
2
−
−
x
x ; B =
1
1
−
x ; C =
1
2002
2 +
x ; M = ( A + B ) : C =
2002
1
2 +
x
1
2 3
2
− + +
+
x x
x
x x x
x
3
1 3
1
4
2 − − 2 + +
a Rút gọn M
b Tính giá trị của M với x là nghiệm của phơng trình x− 1 = 6009
c Tìm các giá trị nguyên của x để x.M− 1 nhận giá trị nguyên
HD: A =
3
1
−
x
Bài 16: Cho P = ( 3 22 2 3
y xy y x x
xy x
+ + +
2
2 y x
y
+ ) : ( x−y
1
- 3 2 2 2 3
y xy y x x
xy
− +
a Rút gọn P
b Tính giá trị của P biết: y〉 x 〉 0 và 3x2 +3y2 = 16xy
c Tìm x biết P – x = 5 và y = 5
HD: P =
y x
y x
−
+ Lu ý: P2 =
) 2 (
3
) 2 (
3
2 2
2 2
xy y
x
xy y
x
− +
+ + = …=11/5 vì P âm nên P = -
5
11
Bài 17: Cho biểu thức A = (
3
1 1
3 3
2
3 2
+
−
−
+
−
− +
−
x
x x
x x
x
1
12 3
3 −
+
x
x và B =
1
2 3
2
−
− +
x
x
a Rút gọn biểu thức M = A ì B
b Tìm x nguyên để M nguyên
c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N =A− 1- B
HD: A =
3
1 2
+
+ +
x
x
x ; B =
1
2
2 + +
+
x x
x ; M = A.B =
3
2 +
+
x
x ; N = A− 1- B =
1
1
2 +x+
x
Bài 18:
a Rút gọn Biếu thức
6 2
9 12 4
2
2
−
−
+ +
=
a a
a a
2
3
−
≠
b Thực hiện phép tính:
( a)
a a
a a
a a
−
+ +
− +
+
+
2
2 2
8 :
5 , 0 1
2 5
,
(a ≠ ±2.)
Giải:
a
6 2
9 12
4
2
2
−
−
+ +
=
a a
a a
3 2 2 3 2
3
−
+
=
− +
+
=
a
a a
a a
Trang 4a a
a a a a a
a a
a
a
−
+
−
+
⋅ +
+ +
=
−
+ +
− +
+
+
2
2 8
2 2
4 2 2
2 2
8 : 5
,
0
1
2 5
,
0
3
2 3
2
a a
a a
a
a
a
2
2 2
2 4
2 2
4 2
2
2
=
−
−
=
−
− + +
−
+ +
=
Bµi 19: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
xy y
x
y x y
x
xy y x A
2 : 2 2
3 3 2
2
2 2
− +
+
−
− +
Gi¶i:
( ) ( ) ( )(( ) ) ( )
2
2
x y
x y x y 2xy x y x y x y x y xy x y
−
Bµi 20: Cho biÓu thøc :
1 2
1
2 3
4
3 4
+
− +
−
+ + +
=
x x x
x
x x x
a Rót gän biÓu thøc A
b Chøng minh r»ng A kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x
Gi¶i:
a
1
1 1
2
1
2 2 3 4
3 4 2
3 4
3 4
+
− + +
−
+ + +
= +
− +
−
+ + +
=
x x x x x
x x x x
x x
x
x x x
A
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
2 2
2
2 2
2 2
3 2
2
2
3
+
+
= + +
−
+
− +
=
+ +
−
+ +
= +
− + +
−
+ + +
=
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
x x
x
1
2
2
≥
⇒
>
+
≥ + +
+
x
x
A
Bµi 21: TÝnh gi¸ trÞ biÕu thøc : B a55 a66 a77 a8 8
a − a − a − a −
+ + +
= + + + víi a = 2007.
Gi¶i:
2 3
3 2 13
2 3
8 7 6 5 8
8
1 2 3
8 7 6
5
8 7 6 5
8 7 6 5 8 7 6 5
8 7 6 5
2007 1
1
1 1
1 1 1 1
=
⇒
= + + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
= + + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
= + + +
+ + +
= − − − −
B a
a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
a a
a
a a a
a
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a
B
Bµi 22: TÝnh gi¸ trÞ biÕu thøc :
2
2 :
25 10
25
2 2
3
2
−
−
− +
−
−
y y
y x x
x x
BiÕt x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x− 3
Gi¶i:
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x− 3 ⇔(x− 3y)2 + x− 3 = 0
=
=
⇔
=
=
⇔
1
3 3
3
y
x x
y x
( )( ) ( ) ( )(2 )
1 2
5
5 5 2
2 :
25 10
25
2 2
2 3
2
−
+
−
⋅
−
+
−
=
−
−
− +
−
−
=
y
y y
x x
x x y
y
y x x
x
x
C
Trang 5( )( )
8 2
3
2 8 5
1 5
−
=
−
=
−
+ +
=
x
x
y x
Bài 23: Chứng minh rằng biếu thức P =( ) ( )
( ) (1 ) 1
1 1
2 2 2
2 2 2
+ +
−
−
+ +
+ +
x a a a x
x a a a x
không phụ thuộc vào x
HD: P =( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
1
1 1 1
1 1
a a
a a x
a a a
x
x a a a
x
+
−
+ +
= + +
−
−
+ +
+ +
Bài 24: Cho biểu thức M =
8 2
6 3 4 2 2 2
2 3 4 5
− +
+
−
− +
−
x x
x x x x
a Tìm tập xác định của M
b Tính giá trị của x để M = 0
c Rút gọn M
HD: M =
8 2
6 3 4
2 2
2
2 3
4 5
− +
+
−
− +
−
x x
x x
x x
4
1
3
+
− +
=
x
x x
Bài 25: Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau Chứng minh rằng :
( )( ) ( )( ) (c a)(c b) a b b c c a
b a c
b a b
a c c
a
b
a
c
b
−
+
−
+
−
=
−
−
− +
−
−
− +
−
−
HD:
(a b)(a c) a b c a
c b
−
+
−
=
−
−
=
(b a)(b c) b c a b
a c
−
+
−
=
−
−
=
(c a)(c b) b c c a
b
a
−
+
−
=
−
−
Bài 26: Cho biểu thức : B =
10 9 9 9
10 2 3
4 + − + −
+
x x x x
x
a Rút gọn B
b Chứng minh rằng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4
16 với n ∈ Z
HD: a.Rút gọn B =
( 1)( 10) ( 1)
10 10
9 9 9
10
2 2
3
+
=
− +
− +
+
x x
x
x x
x x x
x
−
<
+ +
−
+
−
≠
−
>
+
−
=
10
; 1 10
1
10
1 10
; 1 1
1
2
2
x x
x x
x
lx x
x x
b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 =[n(n+1) ]4
Bài 27: Rút gọn biểu thức :
9
9 6
3 2
6 6
3 2
3 2
2
2
−
+
− + + +
−
−
−
− +
+
=
x
x y
x xy
xy y
x xy
y x A
với x ≠ -3; x ≠ 3; y ≠ -2
HD:
9
9 6
3 2
6 6
3 2
3 2
2
2
−
+
− + + +
−
−
−
− +
+
=
x
x y
x xy
xy y
x xy
y x A
( 3)( 3)( 2)
0 9
9 6
3 2
6 6
3
2
3
2
2
2
+ +
−
=
−
+
− + + +
−
−
−
−
+
+
=
y x x x
x y
x xy
xy y
x
xy
y
x
Bài 28: Cho Biếu thức : A = 2 2 22 3
2
3 :
2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
x
−
−
+
−
−
−
−
−
a Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A
Trang 6b Tìm giá trị của x để A > 0.
c Tìm giá trị của A trong trờng hợp x− 7 = 4
HD: a A =
3
4 2
3 :
2
2 4
4 2
3 2
2 2
2
−
=
−
−
+
−
−
−
−
−
+
x
x x
x
x x x
x x
x x
x
3
4 2
>
⇔
>
−
x
x
=
=
⇒
=
−
3
11 4
7
x
x x
x = 11
2
121
=
⇒ A
x = 3 ⇒ A không xác định
Bài 29: Thực hiện phép tính:
1
16 1
8 1
4 1
2 1
1 1
1
x x
x x
x
−
2 2
2
9
1 9
1 9 1
a a a
a
a
+
+
−
+
−
−
1
32 1
16 1
8 1
4 1
2 1
1 1
1
x x
x x
x x
9
1 9
1 9
1
2 2
2 2
2 2
−
=
+
− +
+
−
+
−
−
a a a
a
a
Bài 30: Cho a,b,c là 3 số ≠ nhau đôi một
Tính S =
( )( ) ( )( ) (b c)(a b)
ac a
c b a
bc a
c c b
ab
−
−
+
−
−
+
−
−
HD: S = ( )( ) ( )( ) (b c)(a b)
ac a
c b a
bc a
c c b
ab
−
−
+
−
−
+
−
−
( )( )( ) ( ( − )( )( − )( )( − ) ) =−1
−
−
−
−
=
−
−
−
− +
− +
−
=
a c c b b a
a c c b b a a
c c b b a
a c ac c b bc b
a
ab
Bài 31: Tính giá trị của biểu thức : A 2a b 5b a 3
3a b 3a b
− + biết:
0 9
&
0 5 3
10a2 − b2 − ab= a2 −b2 ≠
HD: Từ:10a2 − 3b2 − 5ab= 0 & 9a2 −b2 ≠ 0 ⇒ 5ab= 3b2 − 10a2(1)
Biến đổi A =
2 2
2 2
9
6 15 3
3 3
5 3
2
b a
b ab a
b a
a b b a
b a
−
−
−
=
− +
− +
−
Thế (1) vào (2) ; A = - 3
Bài 32: Cho a + b + c = 1 và a2 +b2 +c2 =1
a Nếu
c
z b
y a
x = = Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0
b Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của a,b,c
HD: Từ a + b + c = 1 và a2 +b2 +c2 =1 suy ra: ab + bc + ca = 0 (1)
Trang 7a Nếu
c
z b
y a
x
=
=
c b a
z y x c
z b
y a
+ +
+ +
=
=
=
z y x z
y
b áp dụng(a+b+c)3 −(a3 +b3 +c3)= 3(a+b)(b+c)(c+a)
Từ a3 + b3 + c3 = 1 Suy ra: 3(a+b)(b+c)(c+a) = 0 Từ đó tính đợc a , b , c
Bài 33: Cho Biếu thức :
1 3
5 1 3
1 2
+
− +
−
−
=
a
a a
a
a Tính giá trị của A khi a = -0,5
b Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3
HD:Xem bài trên.
1
1 1
1 1
+ +
+ + +
+ +
HD: Từ xyz = 1 Biến đổi
1
Bài 35: Chứng minh đẳng thức sau:
ab an
a bn
ab bn an a
b a
ab
b ab a
b a
ab a
3 3
9 6
3 5
2 9
3
2
2 2
2
2 2
2 2
2
+
−
−
+ +
−
=
−
−
−
− +
− +
HD: Chứng minh :
a b
b a ab an
a bn
ab bn an a
b a
ab
b ab a
b a
ab a
−
+
= +
−
−
+ +
−
=
−
−
−
− +
−
+
3 3
3 9
6
3 5
2 9
3
2
2 2
2
2 2
2 2
2
−
−
−
2008
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1 1
−
−
−
2008
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1
1
3996
1999 2
1999 1998
1 1998
4 3 2
1999
5 4 3 1998
4
3
2
1997
3
2
1
=
=
=
Bài37: Tính tổng : S(n) =
(3 1)(3 2)
1
8 5
1 5 2
1
+
− + + +
n n
HD:
Bài 38: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : A =
2
2 17 12
−
− +
−
a
a a
a
Biết a là nghiệm của Phơng trình : a2 −3a+1 =1
2
2 17 12
−
− +
−
a
a a
a
A
−
=
⇒
=
=
−
=
=
⇒
=
=
⇔
= +
−
5 2
; 1
5
; 1 3
; 0 1
1
3
2
A a
a
A A
a a
a
a
Trang 8Bài 39: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: 1 1 1 =8
+
+
+
c
a b
c a
b
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
a b b c c a
+ + + = ⇔ + + = ⇒ = =
Bài 40: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dơng thỏa điều kiện: a + b = 1 thì :
3
2 1
−
=
−
−
a b a
b
b
a
1 3
2 1
2 2 2
2 3
− +
−
= +
−
=
−
−
b a b a b
a
a b a
b b
a
Bài 41: Thực hiện phép tính:
A
HD:
y z
x
x z
x y
x
yz
x
+
− +
= + +
−
2
z y
x
y z
y y
x
xz
y
+
− +
= + +
−
2
x z
y
z z
y z
x
xy
z
+
− +
= + +
−
2
Cộng từng vế đợc A = 0
Bài 42: Rút gọn biểu thức : A =
c b a
abc c
b
+ +
− +
HD:a3 +b3 +c3 −3abc =(a+b+c) (a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca)
Bài 43: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dơng trong TXĐ:
+
+
−
− +
x
x x
x
x x
x
1
1 1
1 : 1
2
2 2
HD: TXĐ: x ≠ ± 1 ; B = 2
1
1
x
+
Bài 44: Rút gọn rồi tính giá trị biếu thức với x + y = 2007
A =
xy y
y x
x
xy y
y x
x
2 ) 6 ( ) 6 (
) 3 (
2 ) 5 ( ) 5
(
+ + +
+
− +
+ +
+
(x y )(x y)
y x y
x xy
y y x
x
xy y
y x
x
+ +
+
− + +
+
= +
+ +
+
− +
+ +
+
6
1 6
2 ) 6 ( ) 6 (
) 3 (
2 ) 5 ( ) 5 (
Bài 45: Cho 3 số a,b,c ≠ 0 thỏa mãn đẳng thức:
a
a c b b
b c a c
c
b
Tính giá trị biểu thức P = ( )( )( )
abc
a c c b b
Trang 9HD: Tõ:
a
a c b b
b c a c
c b
a
a c b b
b c a c
c b a
Suy ra:
a
a c b b
b c a c
c b
Suy ra: hoÆc a + b + c = 0 hoÆc a = b = c
P = -1 hoÆc P = 8
2 2
2 2
2
2
4 2
4 2
4
y xz
y zx x
yz
x yz z
xy
z xy A
+
− +
− +
−
= Chøng minh r»ng nÕu : x + y + z = 0 th× A = 1
HD: Tõ: x + y + z = 0 suy ra: x3 + y3 + z3 = 3 xyz