Phương trình hệ phương trình ôn thi đại học

Chú ý: * Định lí Vi-et chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ, do đó trước khi sử dụng định lí Vi-et ta phải tìm điều kiện cho phương trình bậc hai có nghiệm... Với giá trị

* Nếu ∆ < phương trình vô nghiệm 0

Chú ý: Nếu b 2b'= thì ta dùng công thức thu gọn

Chú ý: * Định lí Vi-et chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ, do đó

trước khi sử dụng định lí Vi-et ta phải tìm điều kiện cho phương trình bậc hai có nghiệm

* Đảo lại ta có: “ Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó (nếu có) là nghiệm của phương trình:X2−SX P 0+ =

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình mx2−2 m 1 x 3 m 2( − ) + ( − )= có hai nghiệm 0 phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1+2x2= 1

Lời giải

Vậy f 2 0 x 2 ( )0;1

 

  là nghiệm của phương trình f x( )= 0

∗ Nếu c 0≠ ⇒ phương trình f x( )= có nghiệm thuộc 0 2 ( )

< − ( )2 Gọi ( 1 ) ( 2 )

A x ;m , B x ;m , trong đó x , x là hai nghiệm của 1 2 ( )1

7 Cho phương trình x2−2mx m+ 2− − = , m là tham số m 6 0

a Với giá trị nào của tham số m phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

( ) 8sin t.cos2t.cos4t 1

8sin 2tcos 2t 1 cost

⇔ = − ⇔cost=1-2sin 4t2 ⇔cost=cos8t ( )∗ Giải phương trình ( )∗ kết hợp với điều kiện 0 t

10 Tìm m để phương trình: 2 2 ( )

x −2x m x 1− − +m =0 1 có nghiệm

Hướng dẫn giải:

Giải:Đặt t= − ≥ ta có tx 1 0 2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 ( )2 Phương trình ( )1 có nghiệm khi và chỉ khi ( )2 có ít nhất một nghiệm t≥ 0

• Trường hợp 1: phương trình ( )2 có nghiệm t=0⇔ = ⇔P 0 m2− = ⇔1 0 m= ± 1

• Trường hợp 2: phương trình ( )2 có nghiệm

Ta phương trình (1) không có nghiệm t≥ nếu xảy ra một trong các trường hợp 0sau

TH 1: Phương trình ( )1 vô nghiệm ⇔ ∆ =' m2− − < ⇔ − <m 2 0 1 m 2<

TH 2: Phương trình ( )1 có hai nghiệm t ,t1 2< 0

Điều này xảy ra khi

Suy ra ( )1 không có nghiệm t≥ khi 2 m 20 − < <

Vậy m≥ là những giá trị thỏa yêu cầu bài toán 2

12 Giải và biện luận theo a bất phương trình:x2−2x a+ ≤ x2−3x a−

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với:

x 2a 0

5x

52a x

thì hệ đã cho vô nghiệm

Ví dụ 1 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m :

Để hiểu kĩ hơn vấn đề này, chúng ta tham khảo các bài toán dưới đây:

Ta xét bài toán sau :

Đặt t= x với t≥ Bài toán trở thành: “ Tìm m∈
để hệ phương trình 0

thỏa mãn điều kiện 5x 6y− > 2

Gợi ý:

Nếu (x ;y0 0) là nghiệm của hệ thì (−x ;y0 0) cũng là nghiệm của hệ Điều kiện cần

để hệ có nghiệm duy nhất là (x ;y0 0) (= −x ;y0 0) tức x0= −x0 hay x0= Với x 00 = thay vào hệ ban đầu ta tìm được m

Với m vừa tìm được thay vào hệ ban đầu, ta tìm được (x;y Kết hợp yêu cầu đề )bài rồi kết luận bài toán

Tiếp tục mở rộng:

2 2

Bài toán quy về: Xác định m ∈
để hệ : ( ) ( )

a Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y thỏa mãn x 2y) ≥

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y sao cho ) P=x2+3y2 nhỏ nhất

2 m 2

m 3y

P 3= ⇒ ∗ có nghiệm m 5

9

= − ( )

m 4

m 1y

Đẳng thức xảy ra khi t= và minP 52 =

Vậy: minP 0 khi m 4

Trường hợp 1: thay x= vào phương trình 0 ( )3 suy ra y= ± 2

Trường hợp 2: từ x2−5yx 16 0− = suy ra x2 16 ( )

5

− 

 

2 2

3x 5x tx 4 tx 385x 9x tx 3 tx 15

x 3 5t 4t 38 1

3 5t 4t 38

215

18

= − tương tự trên, trường hợp này không thỏa

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( ) (x;y = − −3; 1 , 3;1) ( )

Khi đó hệ ( )∗ trở thành ( )

2

2 2

2

39t 22a

14 21t a 39t 22

14 21t10t 11

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( ) ( ) (x;y = 1;2 , −2;3)

2 Cho x,y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x2+y2= Tìm giá trị lớn 1

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( 2 )

2

2 x 6xyP

2t 12tP

t 2t 3

+

=+ + (P 2 t) 2 2 P 6 t 3P 0( )

 giải hệ này ta tìm được S , P

Khi đó x,y là nghiệm của phương trình: X2−SX P 0 + =

Cộng vế theo vế ( )1 và ( )2 , ta được: (x2+y2) x2+y2=125 hay

Trừ về theo vế ta được: 2xy y x( − ) (+7 x y− ) (+ x y x y− )( + )= 0

Dễ thấy phương trình trong hệ đã cho không phải là 1 đa thức đối xứng đối với x

và y Nhưng ta có thể nhận ra tính bất biến của bài toán là tổng S= + −x ( )y và tích P=x.( )− y

Hệ cho viết lại ( )

( )3 3

Thay x2+y2= vào 2 ( )1 , ta được : 2x y 4xy2 − 2+3x y 3y2 + 3−2 x y( + )= hay 0

x +y = ⇔2 x y+ = Đẳng thức xảy ra khi 4

x= , kết hợp xy 1y = ta được ( ) (x;y = − −1; 1 , 1;1) ( )

Vậy hệ phương trình cho có 4 cặp nghiệm

Với x= thay vào y x2+y2= ⇒ = = ± 2 x y 1

Với x 2y= thay vào x2 y2 2 y 2,x 2 2

Vậy: ( )

3

m ;2 2

511minT min f m

Đến đây, ra làm như trên Suy ra m 2 3

giải phương trình này được 2 nghiệm x 7

  Giải hệ này ta được ( ) (x;y = 1; 1 ,− ) (−1;1)

Vậy hệ phương trình cho có 5 nghiệm: (1; 1 ,− ) (−1;1) , 0;0 , ( ) (− 3;− 3 ,)

( 3; 3 )

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình: ( )

( )

2x 3 4 y 4 12y 3 4 x 4 2

= thỏa điều kiện x≤ 9

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 3

+ −  , do đó hàm số f t luôn đồng ( )biến trên đoạn 3; 4

2

− 

Suy ra ( )3 tương đương với f x( ) ( )=f y ⇔ = x y

Thay x= vào phương trình y ( )1 , ta được:

= thỏa điều kiện x≤ 9

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( )3;3 , 11 11;

Bài tập tự luyện

1 Giải hệ phương trình : ( )

( )

3 3

  Giải hệ này ta được ( ) (x;y = 1; 1 ,− ) (−1;1)

Vậy hệ phương trình cho có 5 nghiệm: (1; 1 ,− ) (−1;1) , 0;0 , ( ) (− 3;− 3 ,)

Xét hàm số ( )

2 2 2

2

2

2x 3x 1 khi x 1

22x x 3 khi 1 x

1 Phương pháp biến đổi tương đương: Dùng phép nâng lũy thừa cả hai vế một

cách thích hợp để làm mất căn thức trong phương trình, đưa phương trình đã cho tương đương với phương trình đơn giản hơn và biết cách giải

2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Có nhiều phương trình chứa căn mà ta biến đổi

tương đương sẽ được một phương trình phức tạp Lúc này, ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình đơn giản và dễ giải (kèm theo điều kiện của

ẩn phụ) Đôi khi đặt các biểu thức chứa căn thích hợp bằng các ẩn phụ ta có thể đưa phương trình về hệ phương trình đã biết cách giải

3 Phương pháp đưa về dạng tích: Dùng các phép biến đổi đồng nhất đưa

phương trình về dạng tích đơn giản hơn và biết cách giải

4 Phương pháp dùng tính chất đơn điệu của hàm số: Nếu hàm số y=f x( ) đơn điệu trên khoảng ( )a;b thì số nghiệm của phương trình f x( )= không nhiều hơn kmột nghiệm và f x( ) ( )=f y ⇔ = x y

5 Phương pháp đánh giá: Có những phương trình nếu ta dùng bất đẳng thức hoặc

các tính chất của hàm số đánh giá hai vế, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng

Dạng 2 : Bất phương trình chứa căn bậc hai

1.1 Phương pháp:

1 Nếu bất phương trình có một trong các dạng công thức cơ bản thì sử dụng

công thức

2 Nếu trong bất phương trình có chứa nhiều biểu thức chứa căn thì ta có thể

nâng lũy thừa để khử căn thức hoặc đặt ẩn phụ để chuyển bất phương trình về dạng đơn giản và biết cách giải

Chú ý : PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :

Nếu : x≤ thì đặt sint x1 = với t ;

−π −π

∈  hoặc x=cos y với y∈[ ]0;π

Nếu 0 x 1≤ ≤ thì đặt sint x= , với t 0;

  Đến đây kết luận phương trình vô nghiệm!

Vậy, bài toán trên có nghiệm x= − hay phương trình vô nghiệm?! 5

Đối chiếu điều kiện, thấy x 2= thỏa mãn

Lại để ý thêm , từ ( )∗ tương đương với

ta được 6x2+8x 2+ = 4x2+12x⇔ = Thử lại x 1x 1 = thấy thỏa mãn

Vậy x 1= là nghiệm phương trình đã cho

Với u 2x 1= − tức x2+ =1 2x 1− phương trình này tương đương với

Phương trình cho viết lại :

Đối chiếu điều kiện ta thấy x 0 = thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 0=

x 0

∗ ≠ chia cả hai vế của phương trình ( )∗ cho 2

x , khi đó phương trình ( )∗ viết

+ = ⇔ − + = , phương trình có 2 nghiệm x 1= hoặc x 3=

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 1= hoặc x 3=

Vậy nghiệm của phương trình là x 2=

Điều kiện để phương trình có nghĩa :

2

1x

do đó phương trình cho có nghiệm duy nhất và f 1( )= ⇒ = là nghiệm duy nhất 2 x 1của phương trình

Theo bất đẳng thức vec tơ u.v ≤ u v ⇔x x 1+ + 3 x− ≤2 x2+1

Đẳng thức xảy ra khi u,v

  cùng phương :

cost 2sin t 2sin t.cos2t

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1= và x= − 2

Cách 2 Ta sẽ biến đổi phương trình đã cho theo cách khác như sau:

(do biểu thức trong ngoặc luôn dương với mọi x,y ) Thay y= vào phương trình xtrên, ta được phương trình tương ứng là ( )3

x 1+ =3x 5+ Giải ra và thử lại, ta cũng được các nghiệm x 1= và x= − 2

−+ − − >

Vì x≥ − ⇒ + +2 8 x 2 8 2x− 2> nên bất phương trình cuối cùng tương đương với 0

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S 2;2 4 2;2

hay u 15 15u2( 3 2+64u 16 15− 3 2)= 0

= − = không là nghiệm của phương trình

Xét hàm số: f x( )= 3x 1+ − 6 x 3x− + 2−14x 8− liên tục trên khoảng 1;6

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất x 5=

12 Giải phương trình sau: 4x 1− +417 x− = 2

VP=x −2x 3+ = x 1− + ≥ 2 2

2 2

15 Giải phương trình sau: x2+ − + −x 1 x2+ + =x 1 x2− + x 2

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để phương trình có nghĩa :

2 2

16 Giải phương trình sau: x+ 1 x− +2 x 1 x( − )−2 x 1 x4 ( − )= 1

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để phương trình có nghĩa : x 0 0 x 1

17 Giải phương trình sau: x2−4x 3− = x 5+

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để phương trình có nghĩa : x 5 0+ ≥ ⇔ ≥ − x 5

( )2 2

x8x 8y 9 0

161

Điều kiện để phương trình có nghĩa : 1 x 0 1 x 1

AM GM− viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

21 Giải phương trình sau: x2 3x 1 3 x4 x2 1

Vậy phương trình có nghiệm x 1=

( )

4 3 2

Vậy phương trình có nghiệm x 2=

23 Giải phương trình sau: ( )

5 4xy

= = không là nghiệm phương trình

Xét hàm: f t( )=t4−6t2+8 3 2t− − liên tục trên khoảng 3 0;3

5 4xy