Tuy nhiên bài toán sẽ giải quyết nhanh gọn và nhanh nếu sử dụng pp liên hợp cho PT1 với phương pháp SHIFT SLOVE thần chưởng.. Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= =y 1..
Trang 1Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
Lời giải:
≥ ≥ −
+ ≥
−
y
+ + + nên PT( )1 ⇔ =x 4y thế vào PT(2) ta có:
y− + y+ +y + =y ⇔ y− − + y+ − +y + − =y
⇔ − + + + = ⇔ = ⇒ =
− + + +
là nghiệm của PT Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( )x y; = 8; 2
Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình
+ + = + −
Lời giải:
+ + + + +
+ + + + Thế vào PT(2) ta có: 2 ( ) 2
2
2
2 3,
x
2
2
+ +
2
2
3
x
y
= − ±
2
Lời giải:
ĐK: y≥0;x≥y x; ≥2 ; 4y x≥5y+3
Để ý cả 2 phương trình, cả 2 PT của hệ đều chứa 2 căn nhưng hãy đặt câu hỏi là PT nào dễ biến đổi hơn? Đương nhiên là PT(1) rồi, tất cả biểu thức ngoài căn đều có thể biểu diễn theo x−y; y, các bạn hoàn toàn có thể đặt a= x−y b; = y và chú ý là: x=a2+b2
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI HỆ PT – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Tuy nhiên bài toán sẽ giải quyết nhanh gọn và nhanh nếu sử dụng pp liên hợp cho PT(1) với phương pháp
SHIFT SLOVE thần chưởng Cho x=100 cái nhỉ ? SHLFT SLOVE được y=1
Thử cho x=1000 cái nữa nhỉ thì …y=1 Vậy ta dự đoán có nhân tử y−1
Khi đó: PT( ) (1 ⇔ −1 y) x− − −y (1 y) (= − −x y 1) y− − −(x y 1)
1
1 1
y
⇔ − − − = − − − ⇔ − − − + = ⇔
= +
+) Với y=1 dễ dàng tìm được ( ) ( )x y; = 3;1
+) Với x= +y 1 thế vào PT(2) ta có: 2y2+3y− =2 1− ⇔y 2y2+ =y 2 1− +y 1−y
Do y≥0 nên đên đây chúng ta có thể xét hàm ( ) 2
2
f t = t +t hoặc liên hợp tiếp
Đ áp số: ( ) ( ) 1 5 1 5
x y
=
Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( )2
2
+ − + + + − =
+ − + − + − + − − =
Lời giải
5
x+ ≥y ≤ ≤y x≥ x+y − + ≥x
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( )2
2x+y − + −8x 3 2 y+ 2x+2y− −3 y =0
2
2
+ =
Vì
+ −
+ − + + − + + , dẫn đến (1) vô nghiệm
Với 2x+ =y 3 thì phương trình thứ hai trở thành
2
+ − + − − + − − = = ⇔ − + − + − − =
− + − +
− + − +
5
5x 4 1+ 2x 1 1+ x+ > ∀ ≥x
− + − + nên ( )1 ⇔ − = ⇔ =x 1 0 x 1 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= =y 1
2
Lời giải
2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Trang 3( )4 ( )2
2x−y −5x+2y+ −3 3x−2y+ 2x− −y 1 =0
4
2 4
− − + + + −
t= x−y t + + > ∀ ∈t t ℝ Ta thu được ( )
2 2
2 4
− + +
+ − − =
− − + + + −
2 2
4
+ +
− − + + + −
Rõ ràng
2
4
+ + + > ⇒ − − = ⇔ = +
Phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 4x− =3 2− +x 5 4− x+2x2−5x+3
4 4
+ + + − > ∀ ∈
Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= =y 1
2
;
x y
+ + + = + +
∈
ℝ
Lời giải
Điều kiện 3; 0
4
x≥ y≥ Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2
2
2
−
−
x y + x y y + > ⇒ − = ⇔ =
Phương trình thứ hai của hệ trở thành 4 3 2
4x− +3 3x− =2 x +1
Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có
2 3
x− + x− ≤ − + + + + − + + = x≤x +
Dấu đẳng thức xảy ra khi 4x− =3 3x− = ⇔ =2 1 x 1⇒x= =y 1
Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình
;
2 3
x y
∈
ℝ
Lời giải
Điều kiện các căn thức xác định
Trang 4Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
0
0
3x 2y 2x 3y + 2x 3y x 4y > ⇒x− = ⇔ =y x y
Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành ( ) ( ) 3 2
2 3
Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có
3 2
2 3
+ + +
Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra
2
3
2 3
2 3
+ =
⇔ ⇔ = ⇒ = =
+ =
Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Ví dụ 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình
3 2
;
x y
∈
Lời giải
Điều kiện
3
1
1 0; 2 1 0
x
y
≤ ≤
⇔
≥
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương
3
3
10
+ −
2y y− ≥ ∀ ≥1 0, y 1⇒x + − ≥ ⇔x 10 0 x−2 x +2x+ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥5 0 x 2 0 x 2
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với ( 3 2 ) ( ) ( ) ( )
f′ x = x − x+ = x− x− ≥ ∀ ∈x Hàm số này liên tục và đồng biến trên miền đang xét nên ( )
2;9
x
∈
Xét hàm số g y( ) (=2 y+3) 2y−1;y≥1là hàm liên tục, đồng biến nên ( ) ( )
1
1 2.4 8
y
≥
= = =
Do đó phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là x=2;y=1
Cặp giá trị này thỏa mãn hệ nên là nghiệm duy nhất của hệ
Ví dụ 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình
;
x y
∈
+ + + − + + + + =
Lời giải
Điều kiện
2
3
x
− ≥ + ≥ + ≥ ≤ ≤
⇔
− ≥ − ≥
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Trang 52 2
x
−
3
− ≥ ∀ ∈ ⇒ − ≥ ⇔ ≤
3;1 ; ; 2
3
∈ − ∈
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
3
= + + − ∈
Dễ thấy các hàm đơn lẻ 6 ;y y+1; 3y−2và 17 ;x x3+ +x 4; x+8đều là các hàm số đồng biến, liên tục trên
từng miền tương ứng với hai biến x, y
Các hàm ban đầu là tổ hợp tổng – tích các hàm đồng biến nên đều đồng biến
;3 3
x y
∈ −
∈
[ ]
2 3;1
;3 3
18 35 53
x y
∈ −
∈
Phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu cực trị xảy ra đồng thời, tức là x=1;y=2 (Thỏa mãn hệ)
Ví dụ 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình
3
;
x y
− + = + + +
∈
Lời giải
1
1 0
y y
⇔
≥
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
x
−
Xét hàm số ( ) 3
f y =y + −y y≥ ta có ( ) 2
f′ y = y + > ∀ ∈y ℝnên hàm liên tục, đồng biến
1
4 2
y
x
≥
−
Phương trình thứ hai của hệ tương đương
2
g x′ = x − x+ = −x x− > ∀ ∈ −x vì 2 0 [ ]
2; 2
x
x x
− <
∀ ∈ −
− <
Hàm số liên tục và đồng biến trên miền [ ] ( )
2;2
x
∈ −
Trong khi đó ( 2 ) 3 ( )2
y + y − + −x y ≥ ∀ ≥ ∀ ∈y x ℝ
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi các dấu cực trị xảy ra
3
1 0
2
1 2
y
x
y x
− =
=
⇔ − = ⇔
=
=
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất kể trên