CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Tiết 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI I.. Định nghĩa: Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho và a≠0,
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Tiết 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI
I Kiến thức cơ bản:
1 Định nghĩa:
Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho và a≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ:
5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8
-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4
-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3
2 Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a) Quy tắc chuyển vế:
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và
đổi dấu hạng tử đó
Ví dụ 1: Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi
dấu thành +2 ta được x = 2
Ví dụ 2: Cho phương trình:
3
2
+ x = 0, chuyển hạng tử
3
2
từ vế trái sang vế phải và đổi
dấu thành -
3
2
ta được x = -
3
2
b) Quy tắc nhân với một số:
Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0
Ví dụ 3: Cho phương trình:
2
1
x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6
Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0
Ví dụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =
3 2
−
c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận
được một phương trình mới tương đương phương trình đã cho
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3x – 6 = 0
Giải: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải và đổi dấu)
⇔ x = 2 (Chia hai vế cho 3)
Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}
II Bài tập vận dụng
Bài 1: Chỉ ra phương trình nào là phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) 2 – x = 0; b) 8x – 3 = 0; c) 0x – 3 = 0 ; d) 3x – 2 = 3
Bài 2: Giải phương trình: a) 3 - x
2 1
= 0
Trang 2b) x + 8 = 0
c) -4x + 2 = 4
Giải:
a) 3 - x
2
1
= 0 ⇔ - x
2
1
= -3 ⇔
(-2).(-2
1
) x = (-2).(-3) ⇔ x = 6
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {6}
b) x + 8 = 0 ⇔x = -8
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-8}
c) -4x + 2 = 4 ⇔-4x = 4 - 2 ⇔-4x = 2⇔x = 2 1
− ⇔ = −
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1
2
− }
III Bài tập đề nghị
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn:
Bài 2: Giải các phương trình sau:
2
Tiết 14: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = 0
I Kiến thức cơ bản
Các bước chủ yếu để giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0:
- Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có)
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (nếu có)
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia
- Thu gọn và giải phương trình nhận được
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x – 2 = 4 - x
Giải: Ta có: x - 2 = 4 - x ⇔ x + x = 4 + 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
Phương trình có tập nghiệm S = {3}
Ví dụ 2: Giải phương trình:
8 – (x – 6) = 12 - 3x
Giải:
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc:
8 – x + 6 = 12 – 3x
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hằng số sang vế kia
- x + 3x = 12 – 8 – 6
- Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được:
2x = -2 ⇔x = -1
Trang 3Phương trình có tập nghiệm : S = {-1}
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Giải:
- Qui đồng mẫu hai vế của phương trình:
5 2 7 3
- Nhân hai vế của phương trình với mẫu chung để khử mẫu:
12x - 10x + 4 = 21 - 9x
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hạng tử tự do sang vế kia: 12x – 10x + 9x = 21 – 4
- Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được:
11 17
Phương trình có tập nghiệm
= 11
17
Ví dụ 4: Giải phương trình:
x+ 2x -3 = 0 Giải:
- Đặt nhân tử chung: x + 2x -3 = 0 ⇔ (1+ 2) x -3 = 0
- Hệ số a = 1+ 2; b = -3
- Ta có: (1+ 2) x -3 = 0 ⇔ (1+ 2) x = 3⇔ x=
2 1
3 +
Phương trình có tập nghiệm: S =
+ 2 1 3
II Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải phương trình:
3x – 2 = 2x - 3
Giải:
3x – 2 = 2x – 3 ⇔3x – 2x = 2 – 3 ⇔ x = -1
Phương trình có tập nghiệm S = {-1}
Bài 2: Giải phương trình:
4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
Giải:
4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
⇔-2t + 5t – t + 3t = 24 – 4 – 12⇔ 5t = 8 ⇔ t =
5 8
Phương trình có tập nghiệm S={
5
8
}
Bài 3: Giải phương trình:
(x - 1) – (2x -1) = 9 - x
Trang 4Giải: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x
⇔x - 1 - 2x + 1 = 9 – x
⇔x – 2x + x = 9 – 1 + 1
⇔0x = 9 (Không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình)
Vậy phương trình vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: S = ∅
Bài 4: Giải phương trình:
x - 2 = x – 2
Giải: x - 2 = x – 2⇔x – x = - 2 + 2 ⇔0x = 0
Phương với mọi x ∈ R
Bài 5: Giải phương trình: 2 1
x
+
Giải:
=
=
⇔
=
⇔
= +
−
−
⇔
−
= +
−
⇔
−
= +
−
⇔
−
=
+
−
5 4 5 4
4 5
4 12 2 8 3
12 2 4 8 3
12
12 2 12
4 8 3
6 3
1 2 4
S x x
x x x x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
Bài 6: Giải phương trình: 3
6
2 2
2 3
2 + − − − =
x
Giải: 3
6
2 2
2 3
2 + − − − =
x
6
1 2
1 3
1 ) 2
− +
−
x
⇔(x – 2)
3
2
= 3
⇔x – 2 =
2 9
⇔ x =
2 13
Phương trình có tập nghiệm: S= {
2
13
}
III Bài tập đề nghị
Giải các phương trình:
Bài 1: 8x-3 = 5x +12
Bài 2: 32 (x+1) = 48x
Ph ng trình có t p nghi m:
Trang 5Bài 3:
4
2 2 3
2
Bài 4: 2x – 4 – (12 + 4x) - 1 = 3x
3
3 4
3 6
3
=
− +
−
−
x
Tiết 15: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
I Kiến thức cơ bản
* Tích hai số: a.b = 0 ⇔ hoặc a = 0 hoặc b = 0
* Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0; Trong đó A(x), B(x) là đa thức
- Cách giải: A(x).B(x) = 0 ⇔A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Ví dụ: Giải phương trình:
(3x – 5)(x + 3) = 0
Ta có: (3x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ 3x – 5 = 0 hoặc x + 3 = 0
* 3x – 5 = 0 3x = 5 ⇔ x =
3 5
* x + 3 = 0 ⇔ x = -3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x =
3
5
và x = -3
Tập nghiệm của phương trình là S = {
3
5
; -3}
* Các kiến thức trọng tâm liên quan đến giải phương trình tích
- Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- Phân tích đa thức thành nhân tử
- Quy tắc biến đổi và cách giải phương trình
- Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
II Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) (2x + 10)(4x + 8) = 0
b) (2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0
4
1 7 7
) 1 2 (
= 0 d) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0
Giải:
a) Ta có: (2x + 10)(4x + 8) = 0
⇔ 2x + 10 = 0 hoặc 4x + 8 = 0
* 2x + 10 = 0 ⇔ 2x = -10 ⇔ x = - 5
* 4x + 8 = 0⇔4x = -2 ⇔ x = - 2 Tập nghiệm của phương trình là: S = {- 5; - 2}
b) Ta có:
(2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0
Trang 6⇔2,5 + 5x = 0 hoặc 0,1x - 1,2 = 0
* 2,5 + 5x = 0 ⇔ 5x = - 2,5 ⇔ x = - 0,5
* 0,1x - 1,2 = 0 ⇔ 0,1x = 1,2 ⇔ x = 12 Tập nghiệm của phương trình là S = {- 0,5 ; 12}
c) Ta có:
4
1 7 7
) 1 2 (
= 0
⇔ 3x – 1 = 0 hoặc
4
1 7 7
) 1 2 (
2 x+ − x−
= 0
* 3x – 1 = 0 ⇔ 3x = 1 ⇔ x =
3 1
*
4
1 7 7
) 1 2 (
2 x+ − x−
= 0 ⇔
7
) 1 2 (
2 x+
=
4
1
7x−
⇔
28
) 1 2 (
8 x+
=
28
) 1 7 (
7 x−
⇔ 8 ( 2x+ 1 ) = 7 ( 7x− 1 ) ⇔ 16x+ 8 = 49x− 7 ⇔ 16x− 49x= − 7 − 8
11
5 15
33 = − ⇔ =
−
Tập nghiệm của phương trình là: S =
11
5
; 3 1
Bài 2: Giải phương trình sau:
(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
Giải : Ta có
(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
⇔ (x – 1)(5x + 3) - (3x – 8)(x – 1) = 0
⇔ (x – 1)[( 5x + 3) - (3x – 8)] = 0
⇔ (x – 1)(5x + 3 – 3x + 8) = 0
⇔ (x – 1)(2x + 11) = 0
⇔ x – 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0
* x – 1 = 0 ⇔ x = 1
* 2x + 11 = 0 ⇔ 2x = - 11 ⇔ x = - 5,5 Tập nghiệm của phương trình là S = {1 ; - 5,5}
Bài 3: Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:
(x2 + 2x + 1) – 9 = 0
Giải: Ta có:
(x2 + 2x + 1) – 9 = 0
⇔ (x – 2)(x + 4) = 0
⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 4 = 0
* x – 2 = 0 ⇔ x = 2
* x + 4 = 0 ⇔ x = - 4 Tập nghiệm của phương trình là S = {- 4 ; 2}
III Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình:
Trang 7a) (2x + 5)(x – 7)(6x + 1) = 0; b) 5x(x – 3) + 10(x – 3) = 0
c) x3 – 1 = x(x – 1); d) 3x2 + 7x – 20 = 0
Tiết 16: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I Kiến thức cơ bản:
1 Phương trình bậc nhất một ẩn: Có dạng ax + b = 0 (a≠ 0) với a,b là các số đã cho
Nghiệm của phương trình là: x =
-a b
* Ví du: 2x + 5 = 0 <=> 2x = 5 <=> x =
-2 5
2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) a≠0
Nghiệm của bất phương trình là: ax + b > 0 <=> ax > -b <=> x > -
a
b
nếu a > 0
hoặc x <
-a
b
nếu a < 0
* Ví dụ: 2x + 3 > 0 <=> 2x > 3 <=> x >
-2 3
-2x + 3 > 0 <=> -2x > -3 <=> x <
2 3
3 Giá trị tuyệt đối:
a = a khi a ≥ 0
a = -a khi a < 0
Ví dụ: 6 = 6 ; 0 = 0 ; − 3 = 3
4 Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
ví dụ : Giải phương trình sau:
x
4 = 2x + 1 (1)
Giải:
Ta có: 4x = 4x khi 4x ≥ 0 <=> x ≥ 0
4x = - 4x khi 4x < 0 <=>x < 0
Ta giải hai phương trình sau:
1) 4x = 2x + 1 với điều kiện x ≥ 0
Ta có 4x = 2x + 1 <=> 4x - 2x = 1 <=> 2x = 1 <=> x = 0,5
Giá trị x = 0,5 thoả mãn điều kiện x ≥ 0, nên x = 0,5 là nghiệm của phương trình (1)
2) - 4x = 2x + 1 với điều kiện x < 0
Trang 8Ta có -4x = 2x + 1 <=> -4x - 2x = 1 <=> -6x = 1 <=>x =
6
1
−
Giá trị x =
-6
1
thoả mãn điều kiện x < 0, nên
6
1
− là nghiệm của phương trình (1)
Tâp nghiệm của phương trình (1) là S =
− ; 0 , 5 6 1
II Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải phương trình sau: x+ 4 = 2x - 5 (2)
Giải
Ta có x+ 4 = x + 4 khi x + 4 ≥ 0 <=>x ≥- 4
x+ 4 = -x - 4 khi x + 4 < 0 < = > x <- 4
Ta giải hai phương trình sau:
1) x + 4 = 2x-5 với điều kiện x ≥- 4
Ta có x + 4 = 2x - 5 < => x-2x = -5 – 4 <=> -x = -9 <=> x = 9
Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ - 4, nên x = 9 là nghiệm của phương trình (2)
2) - x - 4 = 2x - 5 với điều kiện x < - 4
Ta có - x – 4 = 2x – 5 <=> -x – 2x = 4 – 5 <=> -3x = -1 <=> x =
3
1
Giá trị x =
3
1
không thỏa mãn điều kiện x < - 4, nên x =
3
1
không là nghiệm của (2) Vậy tập nghiệm của phương trình (2)là: S = { }9
Bài 2: Giải phương trình − 5x = x + 8 (3)
Giải
Ta có − 5x = -5x khi -5x ≥ 0 <=> x ≤ 0
− 5x = 5x khi -5x < 0 <=> x > 0
Ta giải hai phương trình sau:
1) -5x = x + 8 với điều kiện x ≤ 0
Ta có -5x= x + 8 <=> -5x – x = 8 <=> -6x = 8 <=> x = 4
3
−
Giá trị x = 4
3
− thỏa mãn điều kiện x ≤ 0, nên x = 4
3
− là nghiệm của phương trình (3) 2) 5x = x +8 với điều kiện x > 0
Ta có: 5x = x + 8 <=> 5x – x = 8 <=> 4x = 8 <=> x = 2
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x > 0, nên x = 2 là nghiệm của phương trình (3)
Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = { 4
3
− ; 2}
Bài 3: Giải các phương trình sau 2x− 3= 2x - 3 (4)
Giải
Ta có: 2x− 3 = 2x - 3 khi 2x - 3 ≥ 0 <=> x ≥ 1,5
2x− 3 = -2x + 3 khi 2x - 3 < 0 <=> x < 1,5
Trang 9Ta giải hai phương trinh sau:
1) 2x - 3 = 2x - 3 với điều kiện x ≥ 1,5
Ta có 2x - 2x = -3 + 3 <=> 0x = 0 , ta thấy mọi giá tri của x ≥ 1,5 đều thoả mãn điều kiện của ẩn nên x ≥ 1,5 là nghiệm của phương trình (4)
2) -2x + 3 = 2x - 3 với điều kiện x <1,5
Ta có -2x + 3 = 2x - 3 <=> -2x – 2x = -3 – 3 <=> -4x = -6 <=> x = 1,5
Giá trị x = 1,5 không thỏa mãn điều kiện x < 1,5 nên x = 1,5 không là nghiệm của phương trình (4)
Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S={x/x≥ 1 , 5}
III Bài tập đề nghị:
Giải các phương trình sau:
a) 5x - 3x – 2 = 0
b) 3 −x + x2 – (4+x)x = 0