PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong p
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI
KHÔNG MẪU MỰC
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa
Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực
Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp
I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một
vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:
=
=
⇔
= +
0
0 0
2 2
B
A B
A
Bài 1 Giải phương trình:
0 2 sin 4 tan 3 2 sin 4 tan
3 2 x+ 2x− x− x+ =
GIẢI
(m n Z)
n x
m x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
∈
+
=
+
=
⇔
=
=
⇔
=
−
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
= +
− +
+
−
⇔
= +
−
− +
, 2 6 6
2
1 sin
3
3 tan
0 1 sin
2
0 1 tan
3
0 ) 1 sin 2 ( ) 1 tan
3
(
0 1 sin 4 sin 4 1 tan 3 2 tan
3
0 2 sin 4 tan 3 2 sin 4 tan
3
2 2
2 2
2 2
π π π π
Trang 2ĐS x π 2kπ
6 +
= (k∈Z)
II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình
)
(
)
(x g x
f = , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R:
) , ( ,
)
(x A x a b
f ≥ ∀ ∈ và g(x) ≤A, ∀x∈ (a,b) thì khi đó:
=
=
⇔
=
A x g
A x f x
g x f
) (
) ( )
( ) (
Nếu ta chỉ có f(x) > A và g(x) < A, ∀x∈( b a, ) thì kết luận phương trình
vô ngiệm
Bài 2 Giải phương trình:
0 cos 5 x+x2 =
GIẢI
x x
x
5
cos 0
cos + = ⇔ = −
Vì − 1 ≤ cosx≤ 1 nên 0 ≤x2 ≤ 1 ⇔ − 1 ≤x≤ 1
mà [ ] cos 0 , [ ]1 , 1 cos 0 , [ ]1 , 1
2
, 2 1
,
1 ⇒ > ∀ ∈ − ⇒ − 5 < ∀ ∈ −
−
⊂
Do x2 > 0 và − cos5x< 0 nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 3 Giải phương trình:
1 cos
sin1996x+ 1996x= (1)
GIẢI
(1) 1996 x 1996 x 2 x 2 x
cos sin
cos sin + = +
⇔
) cos 1 ( cos ) 1 (sin
sin 2 1994 2 1994
x x
x
x
x
∀
≤
−
⇒
≤
≥
, 0 ) 1 (sin
sin 1 sin
0 sin 2 1994
1994 2
x
x
∀
≥
−
⇒
≥
−
≥
, 0 ) cos 1 ( cos 0 cos
1
0 cos 2 1994
1994 2
Trang 3Do đó (2) ( , )
2
2
1 cos
0 cos
1 sin
0 sin
0 ) cos 1 ( cos
0 ) 1 (sin
sin
1994 2
1994 2
Z n m
n x
n x
m x
m x
x x x x
x x
x x
∈
=
+
=
+
=
=
⇔
±
=
=
±
=
=
⇔
=
−
=
−
⇔
π
π π
π π π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
2 k Z
k
x= π ∈
2 k Z
k
x= π ∈
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
•
−
=
−
=
=
=
⇔
=
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin sin
bx ax bx ax bx
ax
•
=
−
=
−
=
=
⇔
−
=
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
sin
bx ax bx ax bx
ax
Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
1 cos
.
sin
1 cos
.
sin
1 cos
.
cos
1 cos
.
cos
−
=
=
−
=
=
bx ax
bx ax
bx ax
bx ax
III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:
Trang 4Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm x= α ∈( b a, ) và hàm f đơn điệu trong ( b a, ) thì f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x= α
Phương trình f(x) =g(x) có 1 nghiệm x= α ∈( b a, ), f (x) tăng (giảm) trong ( b a, ), g (x) giảm (tăng) trong ( b a, ) thì phương trình f(x) =g(x) có nghiệm x= α là duy nhất
Bài 4 Giải phương trình:
2 1
cos
2
x
x= − với x> 0
GIẢI
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x= 0
2 cos ) (
2
− +
x
f là biểu thức của hàm số có đạo hàm
0 , 0 sin
)
(
' x = − x+x> ∀x>
f (vì x > sinx, ∀x)
⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong (0 , +∞)
⇒ f(x)=0 có 1 nghiệm duy nhất trong (0 , +∞)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x= 0
B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài 1: Giải phương trình:
0 2 sin 2 cos
2
2 − x x− x+ =
GIẢI
Ta có (1) ⇔ x2 − 2xcosx+ cos2 x+ sin2x− 2 sinx+ 1 = 0
=
=
⇔
=
−
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
1 sin cos
0 1 sin
0 cos
0 ) 1 (sin )
cos
x
x x x
x x
x x
x
Phương trình vô nghiệm
Bài 2: Giải phương trình:
1 cos sin4x+ 15x=
GIẢI
Ta có: sin4 x+ cos15 x= 1
Trang 5) cos 1 ( cos ) 1 (sin
Vì sin2 x(sin2 x− 1 ) ≤ 0 , ∀x
Và cos2 x( 1 − cos13 x) ≥ 0 , ∀x
Do đó (1)
=
−
=
−
⇔
0 ) cos 1 ( cos
0 ) 1 (sin sin
13 2
2 2
x x
x x
=
=
±
=
=
⇔
1 cos
0 cos
1 sin
0 sin
x x x x
) , (
2 2
2
Z n m
n x
n x
m x
m x
∈
=
+
=
+
=
=
⇔
π
π π
π π π
ĐS x=π +kπ
2 hay x= 2kπ , (k∈Z)
C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI
Bài 3: Giải các phương trình:
1
4
1 ) 4 ( cos sin4 + 4 + π =
x
2 cot ) cos sin ( 2 , 3 , 4 , )
4
1 (tanx+ x n = n x+ n x n=
GIẢI
1 Ta có:
(1)
4
1 4
) 2 2 cos(
1
4
) 2 cos 1 (
2
2
=
+
+ +
−
⇔
π
x x
⇔ ( 1 − cos 2x)2 + ( 1 − sin 2x)2 = 1
2
2 ) 4 2 cos(
1 2 sin 2 cos
=
−
⇔
= +
⇔
π
x
x x
Trang 6( )
4
Z k k x
k x
∈
+
=
=
⇔
π π π
2.Với điều kiện
2
π
k
x≠ ta có tanx và cotx luôn cùng dấu nên:
1 cot 4
1 tan 1 cot 4
1 tan 2 cot 4
1 tan cot
4
1
tan + = + ≥ ⋅ = ⇒ + ≥
n x x
x x
x x
x x
Dấu "=" xảy ra
2
1 tan
4
1 tan cot
4
1 tan = ⇔ 2 = ⇔ = ±
4
1 tan
2
=
) ( 2
1 arctan 2
1 tanx= ± ⇔ x= ± +kπ k∈Z
•Với n∈Z,n> 2 thì:
1 sin cos
sin cosn x+ n x≤ 2x+ 2 x=
1 2 2
2 2
2
m n khi k x
hay k x
m n khi k x
∈
+
= +
=
=
=
=
⇔
π
π π
π
(đều không thoả mãn điều kiện
2
π
k
x≠ của phương trình) Vậy với n> 2 ,n∈Z thì phương trình vô nghiệm
2
1 arctan k k Z
Bài 4: Giải phương trình:
1 1 3 cos
1 3 cos 1 cos
1 cos − + − =
x
x x
GIẢI
Điều kiện:
>
>
0 3 cos
0 cos
x x
Khi đó (1) ⇔ cosx− cos2 x+ cos 3x− cos23x = 1
Vì
4
1 0
) 2
1 ( 4
2 −a+ = a− ≥ ⇒a−a ≤
a
Trang 7Do đó
4
1 cos cosx− 2x≤ và
4
1 3 cos 3 cos x− 2 x≤
2
1 3 cos 3 cos 2
1 cos
cos − 2 ≤ − 2 ≤
=
=
⇔
=
−
=
−
x
x x
x
x x
2
1 3 cos
2
1 cos
4
1 3 cos 3 cos
4
1 cos cos
2 2
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải phương trình:
x x
3
sin 2 cos
sin + = −
HƯỚNG DẪN
x x
x x
x
x x x
x x x
∀
≥
−
∀
≤ +
⇒
∀
≤
∀
≤
, 1 sin
2
, 1 cos sin
, cos cos
, sin sin
4
3 3
2 3
2 3
Vậy phương trình tương đương:
=
−
= +
1 sin 2
1 cos sin
4
3 3
x
x x
2 k k Z
x=π + π ∈
Bài 2: Giải phương trình:
0 2 tan
sinx+ x− x= với
2
0≤ ≤π
x
HƯỚNG DẪN
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x= 0
Đặt f(x) = sinx+ tanx− 2x liên tục trên
2
;
0 π
∈
∀
≥
−
−
−
=
2
; 0 ,
0 cos
) 1 cos )(cos
1 (cos ) (
x x
x x x
x
0 1 cos cos
2
5 1 1 cos
0
2
5
<
−
−
⇒ +
<
≤
≤
<
−
x x
x f
⇒ đơn điệu tăng trên
2
;
0 π
Trang 8Bài 3: Giải phương trình:
(cos 4x− cos 2x)2 = 5 + sin 3x
2 k k Z
x=π + π ∈
Bài 4: Giải phương trình:
x x
x
x sin cos sin
cos 4 − 4 = +
ĐS x=kπ (k∈Z)
Bài 5: Giải phương trình:
0 1 sin
2
2 − xy+ =
x
ĐS
+
=
=
π
π
k y
x
2 2
1
hay
+
=
−
=
π
π
k y
x
2 2 1
(k∈Z)