Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Tìm đ phể ương trình đã cho có nghi m.ệ Bài 5.

Chuyên đ : M T S PH ề Ộ Ố ƯƠ NG PHÁP GI I PH Ả ƯƠ NG TRÌNH VÔ T Ỉ

1 PH ƯƠ NG PHÁP LU TH A Ỹ Ừ

D ng 1 ạ : Phương trình A B A 0(B 0)

A B



= ⇔  =



D ng 2 ạ : Phương trình A B B 02

A B

≥



= ⇔  =

 T ng quát: ổ

2

2

0

k

k

B

A B

A B

≥



= ⇔  =



D ng 3 ạ : Phương trình

0

2

A

 ≥





(chuy n v d ng 2) ể ề ạ

+)3 A+3 B = 3C ⇔ + +A B 33 A B ( 3 A+ 3 B) =C (1)

và ta s d ng phép th :ử ụ ế 3 A+3 B C= ta được phương trình : A B+ +33 A B C C = (2)

D ng 4: ạ 3 A B= ⇔ =A B3 ; 2k+ 1A B= ⇔ =A B2k+ 1

Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình h qu c a ph tr (1).ệ ả ủ

- Phép bình phương 2 v c a m t phế ủ ộ ương trình mà không có đi u ki n cho 2 v không âm là m tề ệ ế ộ phép bi n đ i h qu Sau khi tìm đế ổ ệ ả ược nghi m ta ph i th l i.ệ ả ử ạ

Gi i các ph ả ươ ng trình sau:

1) x2 −4x+6 = x+4 2) x2−2x+4 = 2−x 3) (x− 3) x2 − 4 =x2 − 9

4) 3x2−9x+1=x−2 5) x2 − 3x+ 2 − 3 −x= 0 6) 3x2−9x+1= x−2

7) 3x−3 3x−1=5 8) 4− 1−x = 2−x 9) 3 x+1+3 x−1=3 5x

10) 3 x+5+3 x+6=3 2x+11 11) 3 x+1+3 x+2+3 x+3=0 12) x−1− x−2 = x−3

13) x+3− 7−x = 2x−8 14) 5x−1− 3x−2− x−1=0 15) x+2− 3−x = 5−2x

16) y−14− 12−y =0 17) x2+ x+16+ x2+2x=2 x2+ x+4

18) x2 +3x+2+ x2 +6x+5= 2x2 +9x+7 19) x+1= x+9−2 20) x2 +9− x2 −7 =2 (20) x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2

 Nh n xét : ậ

N u phế ương trình : f x( ) + g x( ) = h x( ) + k x( ) Mà có : f x( ) ( )+h x =g x( ) ( )+k x , thì ta bi nế

đ i phổ ương trình v d ng ề ạ f x( ) − h x( ) = k x( ) − g x( ) sau đó bình phương ,gi i phả ương trình hệ quả

(21)

3

2 1

3

x

+

 Nh n xét : ậ

N u phế ương trình : f x( ) + g x( ) = h x( ) + k x( ) Mà có : f x h x( ) ( ) =k x g x( ) ( ) thì ta bi nế

đ i ổ f x( ) − h x( ) = k x( ) − g x( ) sau đó bình phương ,gi i phả ương trình h quệ ả

2 PH ƯƠ NG PHÁP Đ T N PH Ặ Ẩ Ụ

D ng 1: ạ Các ph ươ ng trình có d ng : ạ

∗ αA B +β A B + =γ 0, đ t ặ 2

t = A B ⇒A B t=

∗ ( )α f x +β f x( )+ =γ 0, đ t ặ t= f x( )⇒ f x( )=t2

∗ .( x a x b)( ) (x a) x b 0

x a

α − − +β − − + =γ

− đ t ặ

2 ( ) x b ( )( )

x a

−

Chú ý:

∗ N u không có đi u ki n cho t, sau khi tìm đế ề ệ ược x thì ph i th l iả ử ạ

Bài 1 Gi i các phả ương trình sau: 7) 5x2 +10x+1=7−x2 −2x

1) (x+1)(x+4)=5 x2 +5x+28 2) (x−3)2+3x−22= x2−3x+7 3) x(x+5)=23 x2 +5x−2−2 4) x2 −4x+2=2 x2 −4x+5 5)−4 (4−x)(2+x) =x2 −2x−12 6) (4+x)(6−x) =x2 −2x−12

Bài 2 Tìm m đ phể ương trình sau có nghi m?ệ

a) ( 1 + 2x)( 3 −x) = 2x2 − 5x+ 3 +m b) −x2 +2x+4 (3−x)(x+1) =m−3

Bài 3 Cho phương trình: −x2 +2x+4 (3−x)(x+1) =m−2

a Gi i phả ương trình khi m = 12 b Tìm m đ phể ương trình có nghi m?ệ

3 x

1 x ) x 4 ) x )(

3

−

+

− + +

a Gi i phả ương trình v i m = -3ớ b Tìm m đ phể ương trình có nghi m?ệ

D ng 2: ạ Các ph ươ ng trình có d ng: ạ A ± B±( A ± B)2+C=0 Đ t ặ t= A± B

Bài 1 Gi i các phả ương trình sau:

a) (QGHN-HVNH’00) + x−x = x+ 1−x

3

2

1 2 b) 2x+3+ x+1=3x+2 2x2 +5x+3- 2 c) (AN’01) 7x+7 + 7x−6+2 49x2 +7x−42 =181−14x d) x x 16 6

2

4 x 4

2

1 2 2

5

x

x x

2

1 2 2

3

x

x x x

h) z−1+ z+3+2 (z−1)(z+3) =4−2z i) 3x−2+ x−1=4x−9+2 3x2 −5x+2 (KTQS‘01)

Bài 2 Cho phương trình: 1+x+ 8−x − (1+x)(8−x) =a (ĐHKTQD - 1998)

a Gi i phả ương trình khi a = 3 b Tìm a đ phể ương trình đã cho có nghi m.?ệ

Bài 3 Cho phương trình: 3+x+ 6−x− (3+x)(6−x) =m (Đ59)

a Gi i phả ương trình v i m = 3.ớ b Tìm m đ phể ương trình có nghi m?ệ

Bài 4 Cho phương trình: x+1+ 3−x − (x+1)(3−x) =m (m-tham s )ố (ĐHSP Vinh 2000)

a Gi i phả ương trình khi m = 2 b Tìm đ phể ương trình đã cho có nghi m.ệ

Bài 5 Tìm a đ PT sau có nghi m:ể ệ 2+x+ 2−x− (2+x)(2−x) =a

T t c bài t p 2, 3, 4, 5 ta có th sáng t o thêm nh ng câu h i ho c nh ng bài t p sau: ấ ả ậ ể ạ ữ ỏ ặ ữ ậ

a) Tìm a đ ph ể ươ ng trình đã cho có nghi m duy nh t? (ĐK c n và đ ) ệ ấ ầ ủ

b) Tìm a đ ph ể ươ ng trình đã cho vô nghi m? ệ

D ng 3: ạ Đ t n ph nh ng v n còn n ban đ u ( ặ ẩ ụ ư ẫ ẩ ầ Ph ươ ng pháp đ t n ph không hoàn toàn ặ ẩ ụ )

T nh ng phừ ữ ương trình tích ( x+ −1 1)( x+ − + =1 x 2) 0,( 2x+ −3 x)( 2x+ − + =3 x 2) 0 Khai tri n và rút g n ta s để ọ ẽ ược nh ng phữ ương trình vô t không t m thỉ ầ ường chút nào, đ khó c a phộ ủ ươ ng trình d ng này ph thu c vào phạ ụ ộ ương trình tích mà ta xu t phát ấ

T đó chúng ta m i đi tìm cách gi i phừ ớ ả ương trình d ng này Phạ ương pháp gi i đả ược th hi n qua các ví dể ệ ụ

sau Bài 1 Gi i phả ương trình :x2+ −(3 x2+2)x= +1 2 x2+2

Gi i: ả Đ t ặ t = x2+2 , ta có : 2 ( ) 3

1

t

t x

=



Bài 2 Gi i phả ương trình : (x+1) x2−2x+ =3 x2+1

Gi i: ả

Đ t : ặ t = x2−2x+3, t ≥ 2 Khi đó phương trình tr thnh : ở (x+1)t = x2+1⇔ x2+ − +1 (x 1)t =0 Bây gi ta thêm b t , đ đờ ớ ể ược phương trình b c 2 theo t có ậ ∆ ch n :ẵ

1

t

t x

=



T m t phừ ộ ương trình đ n gi n : ơ ả ( 1− −x 2 1+x)( 1− − +x 2 1+x) =0, khai tri n ra ta s để ẽ ược pt sau

Bài 3 Gi i phả ương trình sau : 4 x+ − =1 1 3x+2 1− +x 1−x2

Gi i: ả

Nh n xét : đ t ậ ặ t = 1−x, pttt: 4 1+ =x 3x+ +2t t 1+x (1)

Ta rút x= −1 t2 thay vào thì được pt: 3t2− +(2 1+x t) (+4 1+ − =x 1) 0

Nh ng không có s may m n đ gi i đư ự ắ ể ả ược phương trình theo t ( )2 ( )

không có d ng bình phạ ương

Mu n đ t đố ạ ược m c đích trên thì ta ph i tách 3x theo ụ ả ( ) (2 )2

1−x , 1+x

C th nh sau : ụ ể ư 3x= − − +(1 x) (2 1+x) thay vào pt (1) ta được:

Bài 4 Gi i phả ương trình: 2 2x+ +4 4 2− =x 9x2+16

Gi i ả

Bình phương 2 v phế ương trình: 4 2( x+ +4) 16 2 4( −x2) +16 2( −x) =9x2+16

Ta đ t : ặ t = 2 4( −x2) ≥0 Ta được: 9x2−16t−32 8+ x=0

Ta ph i tách ả 2 ( 2) ( ) 2

9x =α2 4−x + +9 2α x −8α làm sao cho ∆t có d ng chính phạ ương

Nh n xét : ậ Thông thường ta ch c n nhóm sao cho h t h s t do thì s đ t đỉ ầ ế ệ ố ự ẽ ạ ược m c đích ụ

Bài t p đ ngh : ậ ề ị Gi i các ph ả ươ ng trình sau

1) (4x−1) x2 +1=2x2 +2x+1 2) 2(1 −x) x2 + 2x− 1 =x2 − 2x− 1 3) x2 +x+12 x+1=36 4) 1+x−2x2 = 4x2−1− x+1 5) 4 1+x−3=x+3 1−x+ 1−x2 6) sinx+ sinx+ sin 2x+ cosx= 1

x

1 x 3 x

1 1 x

1

x

x+ − − − − − = 8) 43. 4x−x2sin2 x+2y+2cos(x+ y)=13+4cos2(x+ y)

1) ( ) (2 ) ( )2

4 3 1 7 3 1

3

3 1

2 − x+ =− x +x +

x 3) x3 −1= x2 +3x−1 4) 10 x3 +8 =3(x2 −x+6) 5) 4 x− x2 −1+ x+ x2−1=2 6) 6 2 122 24 122 =0

−

−

−

−

x x

x x

x

1

−

+

x

x

1

3 1

1 1 1

3 1

1

2 2

2 2 2

−

=

−

+

−

⇔

−

−

=

x x

x x x

x x

1− + =

x x

x

(Đ141) 11) (1 1 2 ) 2 9

4

2

2

+

= +

x

D ng 4: ạ Đ t n ph đ a v ph ặ ẩ ụ ư ề ươ ng trình thu n nh t b c 2 đ i v i 2 bi n : ầ ấ ậ ố ớ ế

2+α +β 2 =

Xét v≠0 phương trình tr thành : ở

2

0

0

v= th tr c ti p ử ự ế

Các trường h p sau cũng đ a v đợ ư ề ược (1)

 a A x ( ) +bB x( ) =c A x B x( ) ( )

 αu+βv= mu2+nv2

Chúng ta hãy thay các bi u th c A(x) , B(x) b i các bi u th c vô t thì s nh n để ứ ở ể ứ ỉ ẽ ậ ược phương trình vô tỉ theo d ng này ạ

a) Ph ươ ng trình d ng : ạ a A x ( ) +bB x( ) =c A x B x( ) ( )

Nh v y phư ậ ương trình Q x( ) =α P x( ) có th gi i b ng phể ả ằ ương pháp trên n u ế ( ) ( ) ( )

P x A x B x

Q x aA x bB x





Xu t phát t đ ng th c :ấ ừ ẳ ứ

x + = x+ x − +x

x + = x − x+ x + x+

4x + =1 2x −2x+1 2x +2x+1

Hãy t o ra nh ng phạ ữ ương trình vô t d ng trên ví d nh :ỉ ạ ụ ư 2 4

4x −2 2x+ =4 x +1

Đ có m t phể ộ ương trình đ p , chúng ta ph i ch n h s a,b,c sao cho phẹ ả ọ ệ ố ương trình b c hai ậ 2

0

at + − =bt c

gi i “ nghi m đ p”ả ệ ẹ

Bài 1 Gi i phả ương trình : 2(x2+2) =5 x3+1

Gi i: ả Đ t ặ u = x+1,v= x2− +x 1

Phương trình tr thành : ở ( 2 2)

2

2

u v

=





 =



Tìm được: 5 37

2

x= ±

Bài 2 Gi i phả ương trình : 2 3 4 2

3

Bài 3: gi i phả ương trình sau :2x2+5x− =1 7 x3−1

Gi i: ả

Đk: x≥1

Nh n xt : Ta vi t ậ ế α (x− +1) β (x2+ + =x 1) 7 (x−1) (x2 + +x 1)

Đ ng nh t th c ta đồ ấ ứ ược: 3(x− +1) 2(x2+ + =x 1) 7 (x−1) (x2+ +x 1)

Đ t ặ u= − ≥x 1 0 ,v x= 2+ + >x 1 0, ta được:

9

4

v u

=





 =



Ta được :x= ±4 6

Bài 4 Gi i phả ương trình : 3 2 ( )3

x − x + x+ − x=

Gi i:ả

Nh n xét : Đ t ậ ặ y= x+2 ta hãy bi n pt trên v phế ề ương trình thu n nh t b c 3 đ i v i x và y :ầ ấ ậ ố ớ

3 3 2 2 3 6 0 3 3 2 2 3 0

2

x y

=



Pt có nghi m :ệ x=2, x= −2 2 3

b).Ph ươ ng trình d ng : ạ αu+βv= mu2+nv2

Phương trình cho d ng này thở ạ ường khó “phát hi n “ h n d ng trên , nh g n u ta bình phệ ơ ạ ư ế ương hai vế thì đ a v đư ề ược d ng trên.ạ

Bài 1 gi i phả ương trình : x2+3 x2− =1 x4− +x2 1

Gi i: ả

Ta đ t :ặ

2

2 1

u x

 =





 khi đó phương trình tr thành : ở

2 2 3

u+ v= u −v

Bài 2.Gi i phả ương trình sau : 2 2

x + x+ x− = x + x+

Gi i ả

Đk 1

2

x≥ Bình phương 2 v ta có :ế

(x2+2x) (2x− =1) x2+ ⇔1 (x2+2x) (2x− =1) (x2+2x) −(2x−1)

Ta có th đ t : ể ặ

2 2

2 1

v x

 = +

 khi đó ta có h : ệ

2 2

2

2

uv u v

=





=



Do u v, ≥0 1 5 2 1 5( )

u= + v⇔ x + x= + x−

Bài 3 gi i phả ương trình : 2 2

5x −14x+ −9 x − −x 20 5= x+1

Gi i:ả

Đk x≥5 Chuy n v bình phể ế ương ta được: 2x2−5x+ =2 5 (x2 − −x 20) (x+1)

Nh n xét : ậ không t n t i s ồ ạ ố α β, đ : ể 2x2−5x+ =2 α (x2− −x 20) +β (x+1) v y ta không th đ t ậ ể ặ

1

u x x

v x

 = − −

Nh ng may m n ta có : ư ắ (x2− −x 20) (x+ =1) (x+4) (x−5) (x+ =1) ( x+4) (x2−4x−5) Ta vi t l iế ạ

phương trình: 2(x2−4x− +5) 3(x+4) =5 (x2−4x−5)(x+4) Đ n đây bài toán đế ược gi i quy t ả ế

D ng 5: ạ Đ t nhi u n ph đ a v tích ặ ề ẩ ụ ư ề

 Xu t phát t m t s h “đ i s “ đ p chúng ta có th t o ra đấ ừ ộ ố ệ ạ ố ẹ ể ạ ược nh ng phữ ương trình vô t mà khiỉ

gi i nó chúng ta l i đ t nhi u n ph và tìm m i quan h gi a các n ph đ đ a v hả ạ ặ ề ẩ ụ ố ệ ữ ẩ ụ ể ư ề ệ

Xu t phát t đ ng th c ấ ừ ẳ ứ ( )3 3 3 3 ( ) ( ) ( )

3

a b c+ + =a + + +b c a b b c c a+ + + , Ta có

3 3 3

0

T nh n xét này ta có th t o ra nh ng phừ ậ ể ạ ữ ương trình vô t có ch a căn b c ba ỉ ứ ậ

3 7x+ −1 x − − +x 8 x −8x+ =1 2

33x+ +1 35− +x 3 2x− −9 3 4x− =3 0

Bài 1 Gi i phả ương trình :x= 2−x 3− +x 3−x 5− +x 5−x 2−x

Gi i : ả

2 3 5



 = −



, ta có :

2

2

2

2 2

u v u w

u uv vw wu





, gi i h ta đả ệ ượ c:

u= ⇔ =x

Bài 2 Gi i phả ương trình sau : 2x2− +1 x2−3x− =2 2x2+2x+ +3 x2− +x 2

Gi i ả Ta đ t : ặ

2

2

2

2

2













, khi đó ta có : a b c d2 2 2 2 x 2

+ = +



⇔ = −



Bài 3 Gi i các phả ương trình sau

1) 4x2+5x+ −1 2 x2− + =x 1 9x−3

4

x+ x −x + −x = − +x x + x −x

3 PH ƯƠ NG PHÁP Đ A V PH Ư Ề ƯƠ NG TRÌNH TÍCH.

 S d ng đ ng th c ử ụ ẳ ứ

au bv ab vu+ = + ⇔ u b v a− − =

m

+ + ± + =

A =B ⇔ A B A B− + =

a3−b3⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b

Bài 1 Gi i phả ương trình : 3 x+ +1 3 x+ = +2 1 3 x2+3x+2

1

x

x

=



Bi 2 Gi i phả ương trình : 3 x+ +1 3 x2 = 3 x+ 3 x2+x

Gi i: ả

+ x=0, không ph i là nghi m ả ệ

+ x≠0, ta chia hai v cho x: ế 3 1 3 3 3 1 ( 3 )

x+ + x x+ = x+ x + x+

Gi i: ả dk x: ≥ −1

0

x

x

=



Bài 4 Gi i phả ương trình : 4

3

x

x

+

Gi i: ả

Đk: x≥0

Chia c hai v cho ả ế x+3:

2

x

 Dùng h ng đ ng th c ằ ẳ ứ

Bi n đ i phế ổ ương trình v d ng :ề ạ A k =B k ⇔(A B A− )( K−1+A K−2.B A+ K−3.B2+ + A B K−2 +B K−1)

Bài 1 Gi i phả ương trình : 3− =x x 3+x

Gi i:ả

Đk: 0≤ ≤x 3 khi đó pt đ cho tương đương :x3+ 3x2+ −x 3 0=

Bài 2 Gi i phả ương trình sau :2 x+ =3 9x2− −x 4

Gi i: ả

Đk:x≥ −3 phương trình tương đương : ( )2

2

1

3 1 3

18

x

x

=





Bài 3 Gi i phả ương trình sau : 2( ) 3 ( )2

3

2 3 9+ x x+2 =2x+3 3x x+2

Gi i : pttt ả ( )3

3 x 2 33x 0 x 1

ĐS: x=1.

Bài t p đ ngh ậ ề ị

Gi i các phả ương trình sau :

1) x2 +10x+21=3 x+3+2 x+7−6 4) 8) x2 +8x+15=3 x+3+2 x+5−6

2) n (x+1)2 +3n (x−1)2 +2n x2 −1=0 (v i n ớ ∈ N; n ≥ 2) 5) x

x

x x

4 2

4 7 2

= +

+

(ĐHDL ĐĐ’01)

3) x2−x−2−2 x−2+2= x+1 6) (x+2)(2x−1)−3 x+6 =4− (x+6)(2x−1) +3 x+2 7) x−2 x−1−(x−1) x+ x2−x =0 (1) (HVKT QS - 2001)

4 PH ƯƠ NG PHÁP GI N Ả ƯỚ C

1 (ĐHSPHN2’00) x(x−1)+ x(x+2) = x2 2 x2 −3x+2+ x2 −4x+3= x2 −5x+4

3 x2−2002x+2001+ x2−2003x+2002 = x2 −2004x+2003 4 2 x(x−1− x(x+2)= x2

5 x(x−1)+ x(x−2) =2 x(x+3) 8) x2 −3x+2+ x2 −4x+3≥2 x2−5x+4 (Đ8)

6. x(x−1)+ x(x−2) = x(x+3) 9 x2 +3x+2+ x2 +6x+5 = 2x2 +9x+7 (BKHN- 2001)

5 PH ƯƠ NG TRÌNH CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I Ứ Ấ Ị Ệ Ố

1 x2 − x+5− x2 −10x+50=5 2 x+3−4 x−1+ x+8−6 x−1=1

3

2

3 1

2 1

2 − + − − = +

5 x+2 x−1− x−2 x−1=2 (HVCNBC’01) 6 x4 −2x2 +1=1−x (Đ24) 8 4 x+2 = x+1+4

7 x− 4x−4 + x+ 4x−4 =2 8 x+15−8 x−1+ x+8−6 x−1 =1

6 PH ƯƠ NG PHÁP NHÂN L ƯỢ NG LIÊN H P Ợ

6.1 Nhân l ượ ng liên h p đ xu t hi n nhân t chung ợ ể ấ ệ ử

a) Ph ươ ng pháp

M t s phộ ố ương trình vô t ta có th nh m đỉ ể ẩ ược nghi m ệ x0 nh v y phư ậ ương trình luôn đ a vư ề

được d ng tích ạ (x x A x− 0) ( ) =0 ta có th gi i phể ả ương trình A x( ) =0 ho c ch ng minh ặ ứ A x( ) =0 vô nghi m , ệ chú ý đi u ki n c a nghi m c a ph ề ệ ủ ệ ủ ươ ng trình đ ta có th đánh gía ể ể A x( ) =0 vô nghi m ệ

b) Ví d ụ

Gi i: ả

Ta nh n th y : ậ ấ ( 2 ) ( 2 ) ( )

x − − x − x+ = x−

Ta có th tr c căn th c 2 v : ể ụ ứ ế 2 ( 2 ) 2 2

D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a phể ậ ấ ệ ấ ủ ương trình

Bài 2 Gi i phả ương trình sau (OLYMPIC 30/4 đ ngh ) ề ị : 2 2

x + + = x+ x +

Gi i: ả Đ phể ương trình có nghi m thì : ệ 2 2 5

3

Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a phậ ấ ệ ủ ương trình , nh v y phư ậ ương trình có th phân tích v d ng ể ề ạ

(x−2) ( )A x =0, đ th c hi n để ự ệ ược đi u đó ta ph i nhóm , tách nh sau :ề ả ư

D dàng ch ng minh đễ ứ ược : 2 2 2 2 5

3 0,

3

x

Bài 3 Gi i phả ương trình :3 2 3

Gi i :Đk ả x≥ 3 2

Nh n th y x=3 là nghi m c a phậ ấ ệ ủ ương trình , nên ta bi n đ i phế ổ ương trình

3

3

3

2 5

x

x

+

− +

3

2

3

2 5

x

<

− +

V y pt có nghi m duy nh t x=3ậ ệ ấ

6.2 Đ a v “h t m “ ư ề ệ ạ

a) Ph ươ ng pháp

N u phế ương trình vô t có d ng ỉ ạ A+ B C= , mà : A B− =αC

dây C có th là hàng s ,có th là bi u th c c a

ở ể ố ể ể ứ ủ x Ta có th gi i nh sau :ể ả ư

A B

A− B = ⇒ − =α

A C

α





b) Ví d ụ

Bài 4 Gi i phả ương trình sau : 2x2+ + +x 9 2x2− + = +x 1 x 4

Gi i: ả

Ta th y : ấ (2x2+ + −x 9) (2x2− + =x 1) 2(x+4)

4

x= − không ph i là nghi m ả ệ

Xét x≠ −4

x

V y ta có h : ậ ệ

2

0

x

x

=



Th l i th a; v y phử ạ ỏ ậ ương trình có 2 nghi m : x=0 v x=ệ 8

7

Bài 5 Gi i phả ương trình : 2 2

2x + + +x 1 x − + =x 1 3x

Ta th y : ấ (2x2+ + −x 1) (x2− + =x 1) x2+2x, nh v y không th a mãn đi u ki n trên.ư ậ ỏ ề ệ

Ta có th chia c hai v cho x và đ t ể ả ế ặ 1

t x

= thì bài toán tr nên đ n gi n h nở ơ ả ơ

Bài t p đ ngh ậ ề ị

Gi i các phả ương trình sau :

x + x+ = x+ x +

4 3 10 3− − x = −x 2 (HSG Toàn Qu c ố

2002)

2 2−x 5−x = +x 2−x 10−x

2

3 x + =4 x− +1 2x−3

3 x − +1 3x − =2 3x−2

2x −11x+ −21 3 4x− =4 0 (OLYMPIC 30/4-2007)

2x − +1 x −3x− =2 2x +2x+ +3 x − +x 2

2x +16x+18+ x − =1 2x+4

2 15 3 2 2 8

x + = x− + x +

Gi i các phả ương trình sau:

1) x(x−1)+ x(x−2)=2 x(x+3) 2) 2 x(x−1)− x(x+2)= x2 3) 2x+2− 2x−1=x

4)

x x x

x

21 21

21 21

=

−

−

+

− +

+

x x

x x

−

=

− +

−

−

−

−

6 5 7

5 7

3 3

3 3

6) x2− x+2+ x2− x+3=2 x2−5x+4 7) x2−1+ x2− x−2= 2x2+2x+3+ x2−x+2

8) 3x2−7x+3− x2−2= 3x2 −5x−1− x2−3x+4

9) x2 −2003x+2002+ x2 −2004x+2003=2 x2 −2005x+2004

7 PH ƯƠ NG PHÁP NH N XÉT ĐÁNH GIÁ Ậ

1 Dùng h ng đ ng th c : ằ ẳ ứ

T nh ng đánh giá bình phừ ữ ương : A2+B2 ≥0, phương trình d ng ạ A2+B2 =0 ⇔ =B A=00

2 Dùng b t đ ng th c ấ ẳ ứ

M t s phộ ố ương trình đượ ạc t o ra t d u b ng c a b t đ ng th c: ừ ấ ằ ủ ấ ẳ ứ A m

B m

≥



 ≤

 n u d u b ng (1) và (2)ế ấ ằ ỏ

cùng d t đạ ượ ạc t i x0 thì x0 là nghi m c a phệ ủ ương trình A B=

Ta có : 1+ +x 1− ≤x 2 D u b ng khi và ch khi ấ ằ ỉ x=0 và 1

1

x

x

+ , d u b ng khi và ch khiấ ằ ỉ

x=0 V y ta có phậ ương trình: 1

1

x

+

Đôi khi m t s phộ ố ương trình đượ ạc t o ra t ý từ ưởng : ( )

( )

A f x

B f x

 ≥





≤

 khi đó :

( ) ( )

A f x

A B

B f x

 =





 N u ta đoán trế ước được nghi m thì vi c dùng b t đ ng th c d dàng h n, nh ng có nhi u bàiệ ệ ấ ẳ ứ ễ ơ ư ề nghi m là vô t vi c đoán nghi m không đệ ỉ ệ ệ ược, ta v n dùng b t đ ng th c đ đánh giá đẫ ấ ẳ ứ ể ược

Bài 1 Gi i phả ương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2

9

+

Gi i: Đk ả x≥0

1

x

x

D u b ng ấ ằ 2 2 1 1

7

Bài 2 Gi i phả ương trình : 13 x2−x4 +9 x2+x4 =16

Gi i: ả Đk: − ≤ ≤1 x 1

Bi n đ i pt ta có : ế ổ ( )2

2 13 1 2 9 1 2 256

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki:ụ ấ ẳ ứ

13 13 1−x +3 3 3 1+x ≤ 13 27 13 13+ − x + +3 3x =40 16 10− x

Áp d ng b t đ ng th c Côsi: ụ ấ ẳ ứ 2( 2) 16 2

2

x − x ≤  =

 

 

D u b ng ấ ằ

2 2

2 1

5 1

3

2

10 16 10

5

x x

x

x





Bài 3 gi i phả ương trình: x3`−3x2−8x+40 8 4− 4 x+ =4 0

Ta ch ng minh : ứ 8 44 x+ ≤ +4 x 13 và 3 2 ( ) (2 )

Bài t p đ ngh ậ ề ị

Bài 1: Gi i các phả ương trình sau

4 x+ 41− +x x− 1− =x 2+48

2x + =8 4 4+x +4 x −4

16x + =5 6 4x +x

3` 3 2 8 40 8 44 4 0

x − x − x+ − x+ =

8+x + 64−x =x −8x +28 2

2

Bài 2 : Gi i các phả ương trình sau:

1) 3x2 + 6x+ 7 + 5x2 + 10x+ 14 = 4 − 2x−x2 2) 6 18

11 6

15

2

2

+

−

= +

−

+

x x

x x

3) x2 − 6x+ 11 + x2 − 6x+ 13 + 4 x2 − 4x+ 5 = 3 + 2 4) x2−3x+3,5= (x2−2x+2)(x2 −4x+5)

5) 2x2−8x+12 =3−4 3x2−12x+13 6) x2−2x+5+ x−1=2 7) 2( 1−x+ x)=41−x+4 x

8)

x

x x

x x

x

2 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2

1

−

+ + +

−

= + +

− 9) x−2+ 4−x =x2 −6x+11 (Đ11)

10) x2−2x+3= 2x2−x+ 1+3x−3x2 11) x−2+ 10−x =x2 −12x+52

8 PH ƯƠ NG PHÁP Đ A V H Ư Ề Ệ

D ng 1: ạ Đ a v h ph ư ề ệ ươ ng trình bình th ườ ng Ho c h đ i x ng lo i m t ặ ệ ố ứ ạ ộ