Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Phương pháp Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm s

BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền D D    

a)

( ) , max ( )

: ( )

D





b)

( ) , min ( )

: ( )

D





2 Tính chất:

a) Nếu hàm số f đồng biến trên a b,  thì

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b

a b f x  f b f x  f a

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên a b,  thì

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b

a b f x  f a f x  f b

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Phương pháp

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Tính f (x)

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

[a; b]

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có)

 Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n )

 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận

max ( )[ ; ] max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 2 n 

a b

min ( ) min[ ; ]  ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 2 n 

a b

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

)

3

x

a y

x





 trên đoạn [0;2]

b)

2

2

1

y

 



 

Bài 2 Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

a) yx2 4x 3 b) yx42x2 c) yx42x2  2

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

x 22

y

x



 trên 0; 

Hàm xác định trên tập 0; 

2 0;

' 0

2

x

y

x

    

  





Bảng biến thiên

x  0 2 

'

y - +

y 

 8 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại

 0; 

x Min y



Hàm không có giá trị lớn nhất

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củay x25x trên đoạn [-1;6] 6

Hướng dẫn:

Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1;x và đạt giá trị lớn nhất tại 6 5

2

x  

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

y x x  trên đoạn [0;3]

Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nhất tại x=0

Bài 6 (TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số yx 4x2

Hướng dẫn:

2 2

4

x

x



2 2

0

2 4

x

x

 



 

y y



 



2 2

x u u    

 2 sin cos  2 2 sin  2;2 2

4

y u u  u     ; maxy2 2 ; miny  2

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

2

1 1

x y x





 trên đoạn [-1;2]

Hướng dẫn

Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1 và đạt giá trị lớn nhất tại x  1

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x33x2 trên đoạn [-2;1] 1

Hướng dẫn

Hàm đã cho xác định trên 2;1

Đặt g x( )x33x2   1, x  2;1 , 0

'( ) 0

x

g x

x

 

  

  



Do đó:

2;1 ( ) 1; 2;1 ( ) 19

Max g x Min g x

Ta có: x  2;1g x( )  19;1 g x( )0;19

 

(0) ( 1) 0 0;1 : ( ) 0

g g     x g x  Vậy

2;1 ( ) 19; 2;1 ( ) 0

Max f x Min f x

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a)

2 2

1 1

y

 



y x  x c)

3

1 ( 0)

d) y x2x 2 e) 2 1

x y





 

f)

2 2

1

y

x



( 0)

x

Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y2x33x212x trên [–1; 5] 1 b) y3xx3 trên [–2; 3]

c) yx4 2x2 trên [–3; 2] 3 d) yx42x2  trên [–2; 2] 5

3

x

y

x





1 1

x y x





 trên [0; 4]

g)

2

2

y

x



 trên [0; 2] h)

2 2

1 1

x x y

x x

 



  trên [0; 1]

Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y 100x2 trên [–6; 8] b) y 2x 4x

c) y 2x x 2

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số y x3x272x90 trên đoạn [-5;5]

Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định trên 5;5

Đặt g x( )x33x272x90,x  5;5

'( ) 0

x

g x

x

     



  

 Với g(4) 86; g( 5) 400; g(5) 70

Do đó: 86g x( ) 400 0 g x( ) 4000 f x( ) 400

Vậy

5;5

  

Bài 6 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số yxsin 2x trên đoạn ;

2







Hướng dẫn:

6 6 6

f x  x    

Vậy:

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÌM GTLL VÀ GTNN

Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:

 Nếu đặt t x2 thì t  và giả sử 0 x  1;1 t 0;1

 Nếu sin

1;1 cos

t



   



 Nếu

2

2

sin

0;1 os

t



 

   



BÀI TẬP MẪU

Bài 1 (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của yx64 1 x23

trên đoạn 1;1

Hướng dẫn

Đặt ux20;1  Ta có yu34 1 u3  3u312u2 12u 4

2

2 3

2 0;1

u

u







 

 



Từ đó ta được max 4;min 4

9

Bài 2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 6 4 9 2 1

3

yx  x  x  trên đoạn [-1;1]

Hướng dẫn

Đặt tx2  t 0;1 ,   x  1;1 ta có: 3 2 9 1

f t t  t  t liên tục trên đoạn [0;1]

1 2 '( ) 0

3 0;1 2

t

f t

t







  

  



0;1 1;1

[ 1;1]

0;1

Max f t khi t hay Max f x khi x

Min f t khi t hay Min f x khi x



 

 



Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ysin4x c os2x 2

Hướng dẫn

Hàm đã cho xác định trên 

y x c x  x x

Đặt tsin2x x,    Xét hàm 0;1 f t( )t2  t 3,    t 0,1

Vậy

11 ( ) 3; ( )

4

Max f x Min f x

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2sinx 1

sin s inx 1

y

x





 

Hướng dẫn

Đặt tsin ,x t  1;1

2

1

1

t

f t

t t



  , f t liên tục trên ( ) 1;1 , '( )f t 0  t 0

1;1

1;1

2







  

  





Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 4sin2x4cos2x

Hướng dẫn:

Cách 1:

2

sin

4

4

x

2

Từ đó suy ra được:

Max f x Max f t Min f x Min f t

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có:

4 x 4c x 2 4 4

   Đẳng thức xảy ra khi

2

2

sin

os

x

c x









Đẳng thức xảy ra khi sinx  hoặc cos0 x  0

Miny khi x   Maxy khi x 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) 2sin 1

sin 2

x y

x





1

y



c) y2sin2 xcosx 1 d) ycos2x2sinx 1

Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a)

2

1 1

x

y





y x  x x  x

g) y4 x22x5x2 2x 3 e) ysin3xcos3x

DẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền K và cĩ Khi đĩ:

1) Phương trình f x( ) f m( ) cĩ nghiệm xK  ( ) ( ) ( )

Min f x  f m Max f x

2) Bất phương trình f x( ) f m( )đúng với mọi xK  in ( ) ( )

K

M f x  f m

3) Bất phương trình f x( ) f m( ) cĩ nghiệm xK  ax ( )

K

M f x  f m( )

4) Bất phương trình f x( ) f m( )đúng với mọi xK  ax ( )

K

M f x  ( ) f m

5) Bất phương trình f x( ) f m( ) cĩ nghiệm xK  in ( ) ( )

K

M f x  f m

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Tìm tham số m để phương trình x 3x2 1 m có nghiệm thực

Hướng dẫn:

2

2

Xét hàm số ( ) 3 1 và

Hàm số f(x) liên tục trên

Dựa vào bảng biến thiên,suy ra: ( ) mà ( ) , do đó m thì phư

x

 



 



ơng trình có nghiệm thực

Bài 2 Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: 5x  x   1 5 6xx2 m

Hướng dẫn:

Đặt t 5x  x 1 t2 4 2  5 6x x 2

2

t

t  m khi x   t  

2

4

t 

 f(t) = m cĩ nghiệm  2m2 1  2

BTTT: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: 3x  6x  18 3 x x 2 2m 1

@ Nhận xét: Qua các bài trên ta thấy

 Khi đặt ẩn phụ t , ta cần phải tìm điều kiện của t tức là tìm miền giá trị của t , nếu khơng chú ý đến điều kiện này sẽ đưa đến kết quả sai

 Qua các bài trên ta thấy chỉ cần căn cứ trên bảng biến thiên của hàm số- để kết luận

về số nghiệm của phương trình dạng f(x)=m mà khơng nhất thiết phải vẽ đồ thị hàm

số

Bài 3 Xác định m để bất phương trình m 2x2 1 2x0 cĩ tập nghiệm là 

Hướng dẫn

Ta cĩ: 2

2

2

x

x





Xét hàm số

2

2

x

x







2 '( ) 0, nên hàm nghịch biến trên

lim ( ) 2 ; lim ( ) 2

Do đó: 2

m





Bài 4 Cho hệ phương trình:

3

3

xy x y





  

 a) Giải hệ phương trình khi m  ; 5

b) Định các giá trị m để hệ cĩ nghiệm

Hướng dẫn

a) Đặt S x y,S2 4P 0

P xy

  







Hệ đã cho được viết lại  2 2 2

(*)

3

xy x y

  



Khi m= 5 Hệ (*) 1 4 ( )  ;   1;1

x y

    



b) Để hệ có nghiệm thì hệ

(*) 3





 

S  P

S  P  S24S120S   ; 62;

Xét hàm f S( )S2S ,3 S   ; 62;

Hàm này nghịch biến trên   và ;6 f S( ) f  6 45;

Đồng biến trên  2;  và f S( ) f(2) 5. Vậy m  5

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Tìm giá trị m để phương trình sau đây có nghiệm: x  x 1 m

Hướng dẫn

Xét hàm số y x x hàm số xác định trên 1 0;

Ta có: f x'( )0, x 0; Do đó hàm tăng trên  0;

(0) 1; lim ( )

x



Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  0

Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2x 1 x2   x 1 m

Hướng dẫn

Xét hàm số f x( ) x2  x 1 x2   x 1

Ta có:

'( )

f x

(2 1)(22 2 1) 0 2 2

'( ) 0

f x



  



0( )



 

 

 '(0) 1 0,

f    x R  HS f x đồng biến trên R lim ( ) 1;lim ( )( ) 1

Phương trình có nghiệm khi  1 m 1

Bài 3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x0; 1 3

 2 2 2 1 (2 ) 0 (2)

m x  x  x x 

Hướng dẫn

Đặt t x2 2x2 Lúc đó : (2) 

1

t

t



 Khảo sát

( )

1

t

g t

t





 với 1  t  2

2

2

2 2

1

t

 



Vậy g tăng trên [1,2]

Do đó, ycbt  bpt

2

2 1

t m t





 có nghiệm t  [1,2]    1;2

2 max ( ) (2)

3

t



Bài 4 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

10x28x4m x(2 1) x2 1

Hướng dẫn

Ta thấy: 1 0x28x42(2x1)22(x2 1)

(pt) 

2

m

Đặt

2

1

x

t x







Điều kiện : –2< t  5

Rút m ta có: m=

2

2t 2

t

 Lập bảng biên thiên  12

4

5

m

  hoặc –5 < m   4

Nhận xét: Để phân tích được 1 0x28x42(2x1)22(x2 1) ta dùng phương pháp hệ

số bất định

Bài 5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm với x 2 :

3

x y

  







Hướng dẫn

Đặt f x( ) x2 3 (3x)2  5

3 ( )

f x



2

x

  





Phương trình thứ hai có  ' 81 54 135 9.15   , và hai nghiệm: 1,2 9 3 15

2

x   

Dễ kiểm tra rằng cả hai nghiệm này đều bị loại vì nhỏ hơn 2 Vậy, đạo hàm của hàm số không thể đổi dấu trên  2; , ngoài ra f (3) 0 nên f x( ) 0,   Do đó, giá trị nhỏ x 2 nhất của f x là (2)( ) f  7 6

Cũng dễ thấy lim  

x f x

   Từ đó suy ra: hệ phương trình đã cho có nghiệm (với x  ) 2 khi và chỉ khi m  6 7

Bài 6 Giải và biện luận phương trình: mx1 (m x2 2 2mx2)x33x24x 2

Hướng dẫn

(pt)  (mx1)3 mx1 (x1)3(x1)

Xét hàm số: f t( )t3 , hàm số này đồng biến trên  t

f mx  f x  mx1 x1

Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm

 1 m  phương trình có nghiệm x =1 2

1

m





 m = –1 phương trình nghiệm đúng với   x 1

Bài 7 Tìm m để 2 sin 4xcos4xcos 4x2sin 2x m  có nghiệm trên 0;0

2



Hướng dẫn

2

x c x  x và cos4x  1 2 sin 2 2 x

Do đó  1  3sin 22 x2sin 2x 3 m

Đặt tsin 2x Ta có 0; 2 0; 0;1

2

x  x  t  

Suy ra f t  3t2 2t 3 m t,    0;1

Ta có bảng biến thiên

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 10



hoặc –5 < m   4

LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: x23x2 x2 2mx2m (*)

Hướng dẫn:

(*)

2



 



1

x x

x

x

 





f(x) liên tục trên 1;2 và có

 2

5

1

x

       



( )

f x

 đồng biến trên 1;2

Bài tốn yêu cầu 1 2

(1) 2 (2)

Bài 2 Tìm m để BPT: m 2x29 x m cĩ nghiệm đúng x  

Hướng dẫn:

2

m x  x m  m 2x29 1   x  

2

x

m f x

x

 

Ta cĩ:  

2

2

x

f x

 0  2x29 9x   6

 

2

2

x f x x

x x

;

 

2

2

x f x x

x x

Nhìn BBT ta cĩ f x m ,    x  Min    6 3 3







Bài 3.Tìm m để phương trình: ( 1) 4( 1)

1

x

x

 cĩ nghịêm

Hướng dẫn:

Đặt ( 1)

1

x

x

  khi đĩ pt cho ta m = t(t – 1) suy ra m   4

Bài5

Tìm tham số m để bất phương trình x 2x24 x 2x m (1) có nghiệm trên 4;6

Hướng dẫn:

2

2

2 24, 4,6 thì t 0;5 ycbt tìm m để bất phương trình 24 có nghiệm thực t 0;5

 

Ta có: '( ) 0, 0;5 ( ) liên tục và đồng biến trên 0;5

Vậy bpt có nghiệm thực trên đoạn 0;5 khi ax ( ) (5) 6

 

 

 

Bài 6 Tìm m để hệ BPT:

2







(1) cĩ nghiệm

Giải (1) 

x

  







(2)

2

2

f x



  



;

(x)  0  2

3

x  Hàm khơng cĩ đạo hàm tại x  2

Nhìn BBTsuy ra:

0;3

x f x f

Để (2) cĩ nghiệm thì

0;3

    m24m21  3  m  7

Bài 7 Tìm m để PT: 2 2 sin 2 x m1 cos x2 (1) cĩ nghiệm ,

2 2

x   

2 2

x   

x  

  nên đặt tg  1,1

2

x

t   

 cos 1 22

1

t x

t





2 sin

1

t x

t



 Khi đĩ (1) 

2 sinxcosx m 1 cos x

Ta cĩ: f t 2 2 t 1 t2 2 2 t0 t 1;t  1 2

Để (2) cĩ nghiệm t   1,1

thì

t f t m t f t

 0 2 m40m Vậy để (1) cĩ nghiệm 2 ,

2 2

x   

  thì m 0;2

@ Chú ý: ở bài trên ta đã sử dụng công thức đặt tg

2

x

t  thì cos 1 22

1

t x

t





2 sin

1

t x

t



 Công thức này trong SGK không có Tuy nhiên, ta nên biết để khi nào thấy “bí” đem ra dùng Việc chứng minh công thức trên tương đối dễ dàng