SKKN VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ VÀ SỬ DỤNG YẾU TỐ TRUNG GIAN TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toánhình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quenlà: Sau khi đã tìm được lời gi

Trang 1

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toánhình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quenlà: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tụcsuy nghĩ, tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìmmối liên hệ giữa các vấn đề, cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quảthú vị

Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đưa về hình huốngquen thuộc để có thể vận dụng trực tiếp các kiến thức đã biết Ngoài việc phải vẽhình chính xác, tổng quát theo dữ kiện bài toán (tránh vẽ hình rơi vào trường hợpđặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình) thì một trong các biện pháp có hiệu quả là sửdụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học thông qua vẽ hình phụ Việc vẽ hìnhphụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết

dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp lý Vì vậy, cần thiết có thể bồi dưỡng chohọc sinh phát triển năng lực này Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp

8, 9 chúng tôi đã tích cực, tự bồi dưỡng và hướng dẫn các em học sinh bồi dưỡng

Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân

“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”

Trang 2

kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến việc khai thác bài toán Ở đây chúng tôikhông muốn đề cập tới các dạng bài tập, các hệ thống câu hỏi gợi mở Mà chúng tôichỉ muốn nêu lên một số cách hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải cho bài toán hìnhhọc lớp 8, 9 thông qua việc vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố phụ đó để chứngminh.

Với các lí do trên, chúng tôi xin trình bày đề tài “Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9” hy vọng góp phần vào

giải quyết vấn đề trên

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8, lớp 9 THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Duy Vinh – Duy Xuyên – Quảng Nam

2 Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp 9 THCS

Trang 3

PHẦN THỨ HAI.

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm người lớn,muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năngđiều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhaunhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật củathầy, cô giáo Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho họcsinh là một quá trình lâu dài

*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh được thể hiện ở một số mặt sau:

- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởngrập khuôn, máy móc

- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ởnhiều khía cạnh khác nhau

- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Cơ sở nào? Liệu cócác mối liên hệ nào khác nữa không?

- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề

- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết

*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó

- Rút ra các kinh nghiệm giải toán

- Tìm thêm các cách giải khác

- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới

- Biết tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để tìm hướng giải quyết

II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ

Qua quá trình công tác giảng dạy, chúng tôi thấy:

- Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hàilòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, khôngsáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bảnthân để tìm hướng giải quyết ngắn gọn hơn

Trang 4

- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc Từ đó dẫn đến làm mất đitính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.

- Học sinh yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toánchứng minh hình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lườisuy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập, không có sự liên hệ, không có sự khaithác triệt để Đa số học sinh sử dụng sách giải, vở bài tập của các bạn học sinh đểgiải quyết vấn đề bài tập nhà

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao

- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố, khắc sâukiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đónăng lực cá nhân không được phát huy hết

- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bàitoán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung Một sốgiáo viên chưa hệ thống phương pháp cho học sinh để có cơ sở giải quyết các bàitoán chứng minh

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triểnmột bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức Quan trọng hơn là nângcao được tư duy cho các em học sinh, giúp học sinh có hứng thú hơn khi học toán

- Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bản thân chúng tôi thấy học sinh có

lỗ hổng ngay từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình ở lớp 8 nói chung, việcvận dụng yếu tố trung gian của học sinh còn lúng túng, chưa nhận biết và biết khinào thì cần vận dụng vào chứng minh bài toán hình

- Khi thăm dò khảo sát chất lượng học tập môn Toán của học sinh khối lớp 9 nămhọc 2008 - 2009 khi giải bài toán có vận dụng yếu tố trung gian trong chứng minh

đã có kết quả như sau:

Lớp 9/4 T SHS

Môn HH SL T L SL T L SL T L SL T L SL T L SL T L Bài số 1 38 1 2.6 11 28.9 12 31.6 10 26.3 4 10.5 24 63.2

Trang 5

chỉnh Qua gần gủi tìm hiểu thì các em cho biết: Các em chỉ rập khuôn, máy mócnhững vấn đề các thầy cô nêu trên lớp, nhiều khi học một cách thụ động chưa biếtcách tư duy để tạo cho mình một sáng tạo trong cách giải một bài toán nào đó, chưachú tâm trong việc giải quyết bài tập và không có phương pháp giải quyết các bàitoán hình học nhất là toán chứng minh.

Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy

và học sao cho phù hợp

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, chúng tôi định hướng cho các

em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó Bằng các hình thức như:

- Kiểm tra kết quả, xem xét lại cách lập luận

- Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệubài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đềxuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào kháckhông?

Trong đề tài này, chúng tôi xin minh họa bằng cách khai thác, phát triển từkết quả một bài toán quen thuộc để tìm ra hướng giải quyết Nhằm giúp học sinhthấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình họcnói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúphọc sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán

IV NỘI DUNG CỤ THỂ :

Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xéttiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bàitoán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác Sau đây là ví dụ minh hoạ:

Thực chất của phương pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần

có, gợi ra hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó

để suy ra kết luận

Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau ( Hai đại lượng bằng nhau) Bài tập1.1: Cho ABC, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I CMR: I thuộc đường phân giác góc A

Trang 6

M

I

CB

A

PN

M

I

CB

A

Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh I thuộc đường phân giác, ta có hai

hướng giải quyết như sau:

- Chứng minh: BAI· =CAI·

- Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC

- Vậy với điều kiện như trên ta cần thể hiện điều gì ?

- Để cm: BAI· =CAI· ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau?(yếu tố

này khó khăn)

- Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC

- Điểm I có đặc điểm gì? So với các cạnh của góc B, góc C ?

- Từ đặc điểm đó ta cần thể hiện điều gì? ( kẻ các đường vuông góc IM, IN, IP)

- Nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng này? Từ đó rút ra kết luận gì về điểm I so với các cạnh của góc BAC

Lời giải:

Kẻ IM  BC; IN AB; IP  AC

Vì I thuộc đường phân giác góc B nên IM = IN (1)

Vì I thuộc đường phân giác góc C nên IM = IP (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IN = IP

=> I thuộc đường phân giác góc A

Bài tập 1.2: Cho ABC vuông tại A, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I Gọi N và P là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AB, AC

CMR:AN = AP.

Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh: AN = AP ta cần có hướng giải

quyết nào?

- Cm: Hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AN, AP bằng nhau

- Chứng minh: ANIP là hình vuông

Với cơ sở đó ta cần chứng minh I thuộc phân giác góc A Như vậy ta có thể khai

thác tương tự như bài tập 1.1 - Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC.

Trang 7

2 1

2 1 F

E

D I

C B

- Để cm: ID = IE thông thường, ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau?

(yếu tố này khó khăn) Vì vậy yếu tố được đặt ra là đoạn thẳng trung gian.

- Với yếu tố đề cho ta có được kết quả gì?

- Ta có thể tính ·BIC được không? ( BIC· =1200)

- Như vậy ·CID ?= Ta có thể liên tưởng được gì từ kết quả này?

- Kẻ phân giác IF của ·BIC và chứng minh ID = IE

(sử dụng yếu tố phụ ở đây là đoạn thẳng trung gian IF)

Từ (1) và (2) =>ID = IE

Bài tập 1.4

Bài 54 trang 96/sgk Toán 8: Cho xOyˆ =90 0 ; A nằm trong góc xOy; A và B đối xứng nhau qua Ox; A và C đối xứng nhau qua Oy Chứng minh rằng B và C đối xứng nhau qua O

Phân tích tìm lời giải:

- GV: Để chứng minh B và C đối xứng qua O ta cần chứng minh điều gì ? (OB= OC; O  BC)

- Ở đây ta chỉ xét chứng minh OB =OC

- H: Để chứng minh OB = OC ta cần chứng minh điều gì ? ( chứng minh hai tam giác bằng nhau dài)

o ( Yếu tố trung gian được đặt ra ở đây là đoạn thẳng OA)

o GV gợi ý yếu tố phụ cần kẻ ở đây là đoạn thẳng OA

Lời giải: Ta có C và A đối xứng nhau qua Oy

Trang 8

43

21

x

E

KO

C

BA

D

I

M K C

B O

A

 Oy là đường trung trực của AC  OC = OA (1)

Ta có B và A đối xứng nhau qua Ox

 Ox là đường trung trực của AB  OB = OA (2)

Từ (1)&(2) OB = OC

Chứng minh tiếp tục để được O là trung điểm BC

Bài tập 1.5

Bài tập 4/Đề thi tuyển 10 – Quảng Nam (2010 – 2011)

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc AB Gọi K

là điểm nằm giữa B và C Tia AK cắt đường tròn (O) ở M.

a/ Tính ACB , AMC

b/ Vẽ CI vuông góc với AM ( I  AM ) Chứng minh AOIC là tứ giác nội tiếp.

c/ Chứng minh hệ thức: AI.AK = AO.AB

d/ Nếu K là trung điểm CB Tính tg MAB

- Ở đây ta chỉ xét câu b và câu c

- H: Để chứng minh tứ giác AOIC nội tiếp ta cần chứng minh điều gì?

Cách 1: A, O, I, C cùng cách đều một điểm cho trước

( yếu tố trung gian là điểm D, 1

2

Cách 2: Sử dụng quỹ tích cung chứa góc.

Lời giải: Cách 1: Gọi D là trung điểm AC.

- H: Để chứng minh AI.AK = AO.AB ta thực hiện như thế nào?

- H: Nhận định gì về tích AI.AK =? Và AO.AB =? ( Yếu tố trung gian ở đây là

AC 2 )

Trang 9

D

CB

Từ (1) & ( 2) => AI.AK = AO.AB

Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng gấp đôi

Bài tập 2.1 Định lý đường trung bình của tam giác : Đường trung bình của tam

giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Cách 1:

- Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng BC được không ?

- Ta có thể tăng gấp đôi đoạn thẳng DE để bằng đoạn thẳng BC được không ?

( Xác định điểm trung gian F )

- Để chứng minh DF // BC; DF = BC ta cần chứng minh điều gì? ( BD // CF;

- Củng với yêu cầu trên ta có thể khai thác theo khía cạnh làm giảm ( Định lý 1

đã học trước)

- Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng DE được không ?

- Ta có thể đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng DE được không ? ( Kẻ EF//AB;

xác định điểm trung gian F )

Trang 10

E D

C B

A

K F

M A

Bài tập 2.2: Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và

BCKF Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF.

- Với yêu cầu như vậy ta có hai hướng giải quyết

- Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm)

- Hình bình hành ABCN và chứng minh được cặp tam giác bằng nhau BDF =

CNB (c.g.c)

- Từ đó sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM = 1

2DF

Lời giải: Lấy N đối xứng với B qua N

- Tứ giác ABNC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm củamỗi đường )

Trang 11

K F

M A

K F

M A

*Cách thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa.

GV: Đoạn thẳng nào bằng nửa đoạn thẳng DF ? ( Đường trung bình của BDF)

GV gợi ý vẽ đoạn thẳng HK ( yếu tố trung gian là đoạn thẳng HK)

- Vậy để chứng minh DF = 2BM ta cần chứng minh điều gì ?

(1

2DF = BM hay HK = BM)

Chứng minh HK = BM ta cần chứng minh điều gì ?

( BHK = PMB ) (yếu tố phụ ở đây là điểm P)

Lời giải: Gọi H là trung điểm BD; K là trung điểm BF.

- H: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta phải làm gì?

( Tìm tâm đường tròn và bán kính)

- H: Điểm nào có thể cách đều các điểm đó

( GV gợi ý: điểm nào cách đều B và C )

- Xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OE ( O là trung điểm của BC )

- GV: Hãy xác định các đoạn thẳng bằng nhau? ( OD OE OB OC 1BC

2

Lời giải:

- Gọi O là trung điểm BC

Trang 12

Tương tự bài tập 2.3 ta xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OB ( O là trung

điểm của AC)

Dạng 3: Chứng minh các các góc bằng nhau ( Hai đại lượng bằng nhau)

Bài tập 3.1

Bài tập 28/79 sgkToán 9:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến tai A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P Tia PB cắt đường tròn (O’) tại

Q Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

- H: Để chứng minh hai đường thẳng AQ // Px ta cần chứng minh điều gì?

- Sử dụng các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song?

B A

Trang 13

T P

Xét (O’) ta có:·AQB = ·PAB = 1

2sđ »AB (2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung AB)

Từ (1) & (2) => ·AQB=·xPB => AQ //Px ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng

- H: Để chứng minh: APO· =PBT· ta cần chứng minh điều gì ?

- H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu?

OAP cân (OA = OP; bán kính) => APO· =OAP· (1)

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	904,5 KB