Tìm hiểu các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng trong chương trình toán tiểu học

A. MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Môn Toán ở trường tiểu học là một môn học rất quan trọng, góp phần đắc lực thực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học. Chính môn học này đã cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về đọc, đếm, viết, so sánh các số, hình thành kỹ năng thực hiện phép cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên, phân số, số thập phân… 1.2. Chúng ta cũng đã biết, toán học xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, từ yêu cầu tính toán trong đời sống hằng ngày mà toán học ra đời. Toán học chứa đựng trong nó rất nhiều thuật toán. Riêng môn Toán ở Tiểu học nổi rõ nhất là các thuật toán: thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia; so sánh hai số (số tự nhiên, phân số, số thập phân); tính chu vi, diện tích các hình… Do vậy, học giải toán giúp học sinh phát triển các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, cụ thể hoá… chẳng hạn: khi giải một bài toán đòi hỏi học sinh xác định rõ yêu cầu của bài toán, tiến tới phân tích quá trình giải toán thành các bước cụ thể theo trình tự xác định, mô tả chính xác các bước giải, sau đó so sánh các cách giải để rút ra cách giải tối ưu nhất. Sau khi giải được bài toán, học sinh sẽ tổng hợp các cách giải và khái quát hóa thành cách giải cho một lớp bài toán như lớp các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng. Từ cách giải bài toán thuần túy toán học, học sinh có thể áp dụng để giải bài toán có nội dung thực tế. Khi giải các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, còn giúp học sinh khả năng diễn đạt (nói và viết) khi muốn nêu “tình huống” trong bài toán, trình bày được “cách giải” bài toán, biết viết câu “ lời giải” và “phép tính giải”… 1.3. Là sinh viên ngành Sư phạm Tiểu học, chúng tôi nhận thấy không thể dạy toán mà không nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, cần thiết liên quan đến các kiến thức cần dạy, không nắm vững đặc thù của toán học nói chung, đặc biệt là các bài toán có thể quy về dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng có mặt trong chương trình môn Toán ở Tiểu học. Hệ thống các bài toán có thể đưa về dạng này có số lượng khá lớn (lớp 4 có 20 bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng và 16 bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng; lớp 5 có 8 bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng và 5 bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng) và rất phong phú về nội dung thực tiễn (bài toán tính số quả cam, quả quýt; tính số ki lô gam gạo nếp, gạo tẻ; tính độ dài quãng đường; tính tuổi mẹ, tuổi con; tính số học sinh nam, học sinh nữ; tính số lít nước mắm loại I, loại II; tính vận tốc của ô tô; tính diện tích…và có hình thức thể hiện đa dạng, hấp dẫn học sinh (bài toán được diễn đạt dưới dạng lời văn, bài toán được diễn đạt dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng). Các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng có khả năng gây hứng thú học giải toán ở học sinh tiểu học, hình thành ở các em khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế đời sống. Với những lý do nêu trên, chúng tôi thực hiện nghiên cứu đề tài “Tìm hiểu các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng trong chương trình toán tiểu học”.

A MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Môn Toán ở trường tiểu học là một môn học rất quan trọng, góp phần đắc

lực thực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học Chính môn học này đã cung cấp cho họcsinh những kiến thức cơ bản về đọc, đếm, viết, so sánh các số, hình thành kỹ năngthực hiện phép cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên, phân số, số thập phân…

1.2 Chúng ta cũng đã biết, toán học xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, từ yêu cầu

tính toán trong đời sống hằng ngày mà toán học ra đời Toán học chứa đựng trong nórất nhiều thuật toán Riêng môn Toán ở Tiểu học nổi rõ nhất là các thuật toán: thựchiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia; so sánh hai số (số tự nhiên, phân số, số thậpphân); tính chu vi, diện tích các hình… Do vậy, học giải toán giúp học sinh pháttriển các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, cụ thể hoá… chẳng hạn:khi giải một bài toán đòi hỏi học sinh xác định rõ yêu cầu của bài toán, tiến tới phântích quá trình giải toán thành các bước cụ thể theo trình tự xác định, mô tả chính xáccác bước giải, sau đó so sánh các cách giải để rút ra cách giải tối ưu nhất Sau khigiải được bài toán, học sinh sẽ tổng hợp các cách giải và khái quát hóa thành cáchgiải cho một lớp bài toán như lớp các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ

số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng Từ cách giải bài toán thuần túy toán học, học sinh

có thể áp dụng để giải bài toán có nội dung thực tế Khi giải các bài toán dạng tìmhai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, còn giúp học sinh khảnăng diễn đạt (nói và viết) khi muốn nêu “tình huống” trong bài toán, trình bày được

“cách giải” bài toán, biết viết câu “ lời giải” và “phép tính giải”…

1.3 Là sinh viên ngành Sư phạm Tiểu học, chúng tôi nhận thấy không thể dạy

toán mà không nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, cần thiết liên quan đếncác kiến thức cần dạy, không nắm vững đặc thù của toán học nói chung, đặc biệt làcác bài toán có thể quy về dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu

số và tỉ số của chúng có mặt trong chương trình môn Toán ở Tiểu học Hệ thống cácbài toán có thể đưa về dạng này có số lượng khá lớn (lớp 4 có 20 bài toán dạng tìmhai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng và 16 bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu

số và tỉ số của chúng; lớp 5 có 8 bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số củachúng và 5 bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng) và rất phongphú về nội dung thực tiễn (bài toán tính số quả cam, quả quýt; tính số ki - lô - gamgạo nếp, gạo tẻ; tính độ dài quãng đường; tính tuổi mẹ, tuổi con; tính số học sinhnam, học sinh nữ; tính số lít nước mắm loại I, loại II; tính vận tốc của ô tô; tính diệntích…và có hình thức thể hiện đa dạng, hấp dẫn học sinh (bài toán được diễn đạtdưới dạng lời văn, bài toán được diễn đạt dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng) Các bài toándạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng có khả nănggây hứng thú học giải toán ở học sinh tiểu học, hình thành ở các em khả năng vậndụng kiến thức vào thực tế đời sống

Với những lý do nêu trên, chúng tôi thực hiện nghiên cứu đề tài “Tìm hiểu các

bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng trong chương trình toán tiểu học”.

2 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

2.1 Khách thể nghiên cứu

Sách giáo khoa môn Toán lớp 4, lớp 5 trong chương trình toán tiểu học và một

số tài liệu có liên quan đến các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ sốhoặc hiệu số và tỉ số của chúng

2.2 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng

- Các bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng

3 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

3.1 Mục đích của đề tài

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu đề tài này nhằm những mục đích sau:

- Tìm hiểu các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu

số và tỉ số của chúng trong chương trình toán tiểu học

- Từ đó, chúng tôi có thể xây dựng một số bài toán có nội dung hình học,chuyển động đều mà cơ sở là các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ

số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng

3.2 Nhiệm vụ của đề tài

Để đạt được mục đích nêu trên, đề tài cần thực hiện những nhiệm vụ cụ thể sau:

- Tìm hiểu một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài như vị trí, nhiệm vụ và

mục tiêu của môn Toán ở Tiểu học, đặc điểm học toán của học sinh tiểu học

- Hệ thống các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng

- Hệ thống các bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng

- Xây dựng một số bài toán có nội dung hình học, chuyển động đều mà cơ sở là

các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số củachúng

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

- Các bài toán trong chương trình toán tiểu học có thể quy về dạng bài toán tìmhai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng rất phong phú

- Nếu học sinh nắm vững cách giải các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng

số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, thì học sinh có thể biết cách giải một sốbài toán có nội dung hình học, chuyển động đều được xây dựng trên cơ sở bài toándạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng

5 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Với đề tài này, chúng tôi tập trung tìm hiểu các bài toán thuộc dạng tìm hai sốkhi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng trong chương trình toán tiểuhọc lớp 4, lớp 5 và các bài toán mở rộng của các bài toán trên

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi sử dụng một số phương phápnghiên cứu sau:

6.1 Phương pháp đọc sách và tài liệu

Chúng tôi tiến hành đọc một số sách, tài liệu có liên quan tới đề tài nghiên cứu,

để tìm cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu đề tài và sử dụng những kết quả đó để vậndụng vào việc nghiên cứu đề tài

6.2 Phương pháp quan sát sư phạm

Chúng tôi tiến hành quan sát giờ dạy môn Toán lớp 4, lớp 5 của giáo viên khilên lớp để thu thập tài liệu thực tế về việc giáo viên tiến hành hướng dẫn học sinhgiải các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số củachúng

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Chúng tôi chọn hai nhóm học sinh lớp 5 có số lượng và trình độ tương đương,yêu cầu mỗi nhóm giải 2 bài toán như sau:

Nhóm 1: giải 2 bài toán sau:

Bài 1: bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng.

Bài 2: bài toán có nội dung hình học được xây dựng trên cơ sở bài toán

dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng

Nhóm 2: giải 2 bài toán sau:

Bài 1: bài toán có nội dung hình học được xây dựng trên cơ sở bài toán

dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng

Bài 2: bài toán có nội dung hình học được xây dựng trên cơ sở bài toán

dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng

6.4 Phương pháp thống kê toán học

Chúng tôi sử dụng phương pháp này để xử lý các số liệu thu thập được, từ đó

có cơ sở rút ra những kết luận phù hợp

B NỘI DUNG CHÍNH

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN

1 VỊ TRÍ, NHIỆM VỤ CỦA MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

1.1 Vị trí của môn Toán ở Tiểu học

Môn Toán ở trường tiểu học là một môn học rất quan trọng, góp phần đắc lựcthực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học vì những lý do sau:

- Toán học với tư cách là một khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giớithực, có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản rất cầnthiết cho đời sống, sinh hoạt lao động Đó cũng là những công cụ rất cần thiết để họccác môn học khác, để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệuquả trong thực tiễn

- Toán học ở Tiểu học góp phần truyền thụ những tri thức, kỹ năng toán học và

kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn cho học sinh

- Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung

Rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, đặc biệt

hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá, tương tự…

Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác: tư duy và ngôn ngữ gắn chặt

với nhau Tư duy phải được thể hiện qua ngôn ngữ, đối với toán là các thuật ngữ, kíhiệu… Mỗi một thuật ngữ, kí hiệu chứa đựng một nội dung xác định, do vậy viếtđúng, hiểu đúng và diễn đạt đúng là một yêu cầu quan trọng trong dạy học toán

Rèn luyện và phát triển các phẩm chất trí tuệ: theo tâm lý học, phẩm chất trí

tuệ thể hiện chủ yếu ở tính linh hoạt và tính độc lập, cả hai đặc tính này tạo nên tínhsáng tạo Tính linh hoạt của trí tuệ là khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn

đề phù hợp với sự thay đổi các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyếtvấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang dạng hoạt động trí tuệkhác, không rập khuôn theo mẫu có sẵn, kỹ năng nhìn một vấn đề, một hiện tượngtheo nhiều quan điểm khác nhau, kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thứctheo thứ tự ngược lại (tính thuận nghịch của quá trình tư duy) Tính độc lập của tưduy là tự mình phát hiện và tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề, không đi tìm lờigiải sẵn, không hoàn toàn dựa dẫm vào ý nghĩ và lập luận của người khác, nghiêmtúc đánh giá những lập luận, cách giải quyết của người khác và ngay cả chính mình

Giáo dục tư tưởng: quá trình dạy học toán là một quá trình thống nhất giữa

giáo dục và giáo dưỡng nên giáo viên dạy toán phải thực hiện nhiệm vụ chung nhưcác môn học khác

Giáo dục thẩm mĩ: làm cho học sinh biết thưởng thức cái đẹp như một lời giải

ngắn gọn, độc lập, một vẻ đẹp cân xứng và hài hoà, sự lập luận chặt chẽ và hợp lôgic

vì toán học có vẻ đẹp riêng của nó

Đảm bảo chất lượng phổ cập, đồng thời với việc phát hiện bồi dưỡng năng khiếu: do yêu cầu khách quan của xã hội mà phải phổ cập tức là cung cấp cho học

sinh lượng kiến thức và kỹ năng đã được quy định trong chương trình và sách giáokhoa Ngoài mục đích đào tạo phổ cập, giáo viên phải biết phát hiện bồi dưỡngnhững học sinh tỏ ra có năng lực toán, tài năng về toán, đây là nhiệm vụ quan trọngthể hiện kết hợp giữa phổ cập và nâng cao, giữa phổ cập và mũi nhọn

Sự liên quan giữa các mục đích riêng: tính toàn diện cần được xem xét trong

toàn bộ chương trình, chú trọng vai trò cở sở của tri thức toán

Tóm lại, khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn, nó có nhiềukhả năng để phát triển tư duy lôgic, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cầnthiết để nhận thức thế giới hiện thực như trừu tượng hoá, khái quát hoá, phân tích vàtổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ Nó có vai trò to lớn trong việc rènluyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề

có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác; nó có nhiều tác dụng trong việc phát triểntrí thông minh, tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong việc hình thành và rèn luyệntrong mọi lĩnh vực hoạt động của con người, góp phần giáo dục ý chí và những đứctính tốt như cần cù, nhẫn nại, ý thức vượt khó khăn

1.2 Nhiệm vụ của môn Toán ở Tiểu học

Môn Toán ở trường tiểu học có các nhiệm vụ cụ thể sau:

1.2.1 Về kiến thức số học

Nắm được có hệ thống một số kiến thức cơ bản, đơn giản, có quan hệ với thựctiễn, về số học các số tự nhiên, phân số và các số thập phân (ở các lớp trên) về cáckhái niệm ban đầu, cách đọc và viết các số trên cơ sở nắm chắc hệ ghi số vị trí (chủyếu hệ thập phân), việc so sánh và sắp xếp theo thứ tự tuyến tính được cụ thể hoátrên trục số, một số tính chất quan trọng nhất của tập hợp các số đó và các phép tínhtrong tập hợp các số đó (ý nghĩa, các tính chất cơ bản, quan hệ giữa các phép tính)

1.2.2 Về kiến thức hình học mở đầu

Có được những biểu tượng ban đầu nhưng đúng đắn (chủ yếu còn mang tínhchất trực giác) về các hình hình học thường gặp, có khả năng nhận dạng, phân biệtchúng với nhau về mặt hình dạng không gian và trên cơ sở một số dấu hiệu có thểkiểm nghiệm bằng thực hành, nắm được một số khái niệm hình học cơ bản gắn vớihình dạng không gian như độ dài đoạn thẳng, đường gấp khúc, chu vi và diện tíchcủa các hình đơn giản, bước đầu dựa vào thực hành cắt, ghép, phân tích hình mà hìnhthành khái niệm đẳng hợp Có kĩ năng vẽ hình, biến đổi các hình thành có cùng diệntích

1.2.3 Về đại lượng

Có được những khái niệm (chủ yếu dựa vào trực giác hay thực hành) về cácđại lượng cơ bản như độ dài, khối lượng, diện tích, thể tích, thời gian Thông quathực hành và áp dụng các phép tính số học đối với các đại lượng mà nhận thức đượcmột số tính chất của đại lượng cơ bản nói trên và có khái niệm về đo đại lượng Có kĩnăng sử dụng các tính toán số học vào việc đo độ dài đoạn thẳng, đo diện tích, thể

tích và diễn đạt số đo bằng các đơn vị khác nhau vào việc đo dung tích, khối lượng,thời gian.

1.2.4 Về các yếu tố đại số

Trên cơ sở những kiến thức về số, bước đầu biết dùng chữ thay số, hình thànhkhái niệm biểu thức số học (để diễn đạt số), khái niệm biểu thức đại số, biểu thức số,giá trị của biểu thức đại số Biết dùng các kí hiệu toán học để biểu diễn các quan hệ

so sánh giữa các số, diễn đạt quan hệ giữa các biểu thức thành công thức (để kháiquát hoá các mệnh đề toán học) và thành phương trình, bất phương trình đơn giản.Nắm được phương pháp giải và có kĩ năng giải các phương trình, bất phương trìnhđơn giản bằng các phương pháp phù hợp với Tiểu học

1.2.5 Về thống kê mô tả

Giới thiệu bảng số liệu, sắp xếp lại bảng số liệu theo mục đích yêu cầu chotrước (theo thứ tự từ bé đến lớn hay ngược lại) Lập bảng số liệu và nhận xét số liệu.Giới thiệu ban đầu về số trung bình cộng, giới thiệu biểu đồ, tập nhận xét về biểu đồ(biểu đồ có hình ảnh, biểu đồ hình cột, hình quạt)

1.2.6 Về kĩ năng tính toán và giải toán

Nắm chắc và vận dụng tương đối thành thạo các thuật toán để thực hiện tốt, ítsai lầm bốn phép tính số học trên tập hợp các số tự nhiên và các số thập phân

Đối với các lớp trên, biết vận dụng sáng tạo các thuật toán vào một số trườnghợp để hợp lí việc tính toán; thực hiện tương đối thành thạo việc tính toán đối với các

số đo đại lượng (bao hàm cả việc chuyển đổi đơn vị trước khi tính toán)

Nắm được và vận dụng tương đối tốt các phương pháp và thủ thuật giải toán ởTiểu học Giải thành thạo các loại toán đơn và các bài toán hợp theo yêu cầu của từnglớp Nắm vững phương pháp giải các bài toán điển hình ở lớp 4, lớp 5 Đặc biệt nắmđược phép phân tích và tổng hợp khi giải những bài toán hợp, vận dụng thành thạophép sử dụng sơ đồ hay tia số khi giải toán, phép thử sai, phép giải từ cuối, phép biếnđổi một số bài toán phức hợp thành những bài toán đơn giản đã biết; ở các lớp trênbước đầu biết sử dụng kí hiệu thay số cần tìm và diễn đạt điều kiện bài toán thànhphương trình để giải (bài toán hoặc một phần bài toán)…

Nắm được và thực hiện thành nền nếp qui trình giải toán Có thói quen giảitoán bằng các cách khác nhau

1.2.7 Về yêu cầu tư duy và bồi dưỡng phương pháp suy luận

Ngày nay môn Toán ở Tiểu học ngoài mục tiêu chủ yếu là bồi dưỡng kĩ năngtính toán còn chú ý phát triển tư duy và bồi dưỡng phương pháp suy lụân Tuy nhiêncần nhận thức rõ mục tiêu sau không nằm bên cạnh mục tiêu trước, mà thông qua vàkết hợp với mục tiêu trước Cần làm cho học sinh qua việc hình thành các khái niệmtoán học, lĩnh hội các mệnh đề toán học, giải toán và thực hiện các phép tính quacông tác thực hành, công tác ngoại khoá phát triển một số khả năng trí tuệ và thao tác

tư duy quan trọng nhất như khả năng trừu tượng hoá, khái quát hoá một cách vừasức, trừu tượng hoá, cụ thể hoá khả năng phân tích, tổng hợp, khả năng suy luận cócăn cứ tiến dần đến chứng minh và bác bỏ các trường hợp dễ

1.2.8 Về hình thành và rèn luyện nền nếp, phong cách làm việc, bồi dưỡng phẩm chất và ý chí

Đó là thói quen làm việc có khoa học, có kiểm tra, khẳng định có căn cứ, tácphong cụ thể cẩn thận, là ý chí vượt khó khăn, kiên trì nhẫn nại khi thực hiện nhiệm

vụ được giao, là tinh thần và ý thức muốn cải tiến, tìm tòi cái mới, suy nghĩ độc lập

(trích dẫn trong Đỗ Trung Hiệu - Vũ Dương Thuỵ 1997 Các phương pháp giải toán

ở Tiểu học, tập 1 NXB Giáo dục và Nguyễn Thanh Hưng 2008 Phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học NXB Giáo dục.)

2 ĐẶC ĐIỂM HỌC TOÁN CỦA HỌC SINH TIỂU HỌC

- Học sinh tiểu học thường tri giác trên tổng thể, về sau các hoạt động tri giác

phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác hơn

- Chú ý không chủ định chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học Sự chú ý của học

sinh tiểu học còn phân tán, dễ bị lôi cuốn vào các trực quan, gợi cảm, thường hướng

ra bên ngoài vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy

- Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ

lôgic, hiện tượng hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ trừu tượng, khô khan Dovậy, khi hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên thường sử dụng sơ đồ nhất là các sơ

đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh Tính trực quan của sơ đồ đoạn thẳng giúp họcsinh dễ dàng hơn trong việc đưa ra cách giải đúng và nhanh cho bài toán

- Trí tưởng tượng còn chịu tác động nhiều của hứng thú, kinh nghiệm sống,

mẫu vật đã biết

Lứa tuổi tiểu học (6 - 7 tuổi đến 11 - 12 tuổi) là giai đoạn mới của phát triển tưduy - giai đoạn tư duy cụ thể Trong một chừng mực nào đó, hành động trên các đồvật, sự kiện bên ngoài còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư duy Các thao tác tưduy đã liên kết với nhau thành tổng thể nhưng sự liên kết đó chưa hoàn toàn tổngquát Học sinh có khả năng nhận thức về cái bất biến và hình thành khái niệm bảotoàn, tư duy có bước tiến rất quan trọng phân biệt được phương diện định tính vớiđịnh lượng - điều kiện ban đầu để hình thành khái niệm “số”

Học sinh tiểu học bước đầu có khả năng thực hiện việc phân tích, tổng hợp,trừu tượng hoá, khái quát hoá như sau khi giải một số bài toán “Tìm hai số khi biếttổng số và tỉ số của chúng” hoặc bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số củachúng”, học sinh có thể khái quát thành cách giải lớp các bài toán dạng tìm hai số khibiết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng Khi giải toán, học sinh thườngảnh hưởng bởi một số từ “thêm”, “bớt”, “nhiều gấp”… hình thành các thuật toán

‘cộng, trừ, nhân, chia”

Các khái niệm toán học được hình thành qua trừu tượng hoá, khái quát hoánhưng không thể chỉ dựa vào tri giác bởi khái niệm toán học còn là kết quả của cácthao tác tư duy đặc thù Có hai dạng trừu tượng hoá: sự trừu tượng hoá từ các đồ vật,hiện tượng cảm tính và sự trừu tượng hoá từ các hành động Khi thực hiện trừu tượnghoá nhằm rút ra dấu hiệu bản chất, chẳng hạn: thông qua trừu tượng hoá từ các đồ vật(tập hợp cụ thể) loại bỏ đặc tính màu sắc, kích thước hình thành lớp các tập hợptương đương, sau đó chỉ quan tâm đến cái chung giữa các tập hợp tương đương đó, điđến khái niệm “số” (trừu tượng hoá trên các hành động)

(trích dẫn trong Vũ Quốc Chung (chủ biên) 2007 Phương pháp dạy học toán ở Tiểu học NXB Giáo dục - NXB Đại học Sư phạm.)

3 MỤC TIÊU DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

3.1 Mục tiêu dạy học môn Toán ở Tiểu học

Dạy học môn Toán ở Tiểu học với mục tiêu nhằm giúp học sinh:

- Có những kiến thức cơ bản ban đầu về số học các số tự nhiên, phân số, các sốthập phân; các đại lượng thông dụng; một số yếu tố hình học và thống kê đơn giản

- Hình thành các kĩ năng thực hành tính, đo lường, giải bài toán có nhiều ứngdụng thiết thực trong đời sống

- Góp phần bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp lí vàdiễn đạt chúng (nói và viết); cách phát hiện và cách giải quyết những vấn đề đơngiản, gần gũi trong cuộc sống; kích thích trí tưởng tượng; gây hứng thú học tập toán;góp phần hình thành bước đầu phương pháp tự học và làm việc có kế hoạch khoahọc, chủ động, linh hoạt, sáng tạo

3.2 Những điểm mới về mục tiêu dạy học môn Toán ở Tiểu học

- Nhấn mạnh đến việc giúp học sinh có những kiến thức và kĩ năng cơ bản,thiết thực, có hệ thống nhưng chú ý hơn đến tính hoàn chỉnh tương đối của các kiếnthức và kĩ năng cơ bản đó, chẳng hạn: ở lớp 1 học sinh biết đọc, đếm, viết, so sánhcác số đến 10 mới chuyển sang giới thiệu khái niệm ban đầu về phép cộng v.v…ngoài các mạch kiến thức quen thuộc, ở Tiểu học có giới thiệu một số yếu tố thống

kê có ý nghĩa thiết thực trong đời sống

- Quan tâm đúng mức hơn đến:

+ Rèn luyện khả năng diễn đạt, ứng xử, giải quyết các tình huống có vấn đề.

+ Phát triển năng lực tư duy theo đặc trưng của môn Toán

+ Xây dựng phương pháp học tập toán theo những định hướng dạy họcdựa vào các hoạt động tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự biếtcách học toán có hiệu quả

(trích dẫn trong Vũ Quốc Chung (chủ biên) 2007 Phương pháp dạy học toán ở Tiểu học NXB Giáo dục - NXB Đại học Sư phạm.)

Chương 2

CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ

SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG TRONG CHƯƠNG

TRÌNH MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

1 SỐ LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ

VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 4, TOÁN 5

1.1 Số lượng các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu

số và tỉ số của chúng trong chương trình Toán 4

1.1.1 Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng số và tỉ

số của chúng trong Toán 4 có 20 bài, trong đó

- 5 bài có tổng số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 3 tiết 139 trang

148; bài 2, bài 3 tiết 140 trang 149; bài 3 tiết 141 trang 149; bài 5 tiết 169 trang 175

- 7 bài có tổng số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng phân số: bài 1, bài 3 tiết 138 trang 148; bài 1, bài 2 tiết 139 trang 148; bài 3 tiết 146

trang 153; bài 4 tiết 171 trang 176; bài 4 tiết 174 trang 178

- 3 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới dạng phân số: bài 4 tiết 139 trang 148; bài 4 tiết 141 trang 149; bài 4 tiết 145 trang

1.1.2 Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ

số của chúng trong Toán 4 có 16 bài, trong đó

- 5 bài có hiệu số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 3 tiết 143 trang

151; bài 1, bài 2 tiết 144 trang 151; bài 2 tiết 145 trang 152; bài 5 tiết 171 trang 176

- 7 bài có hiệu số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng phân số: bài 1, bài 2, bài 3 tiết 142 trang 151; bài 1, bài 2 tiết 143 trang 151; bài 4 tiết

146 trang 153; bài 5 tiết 172 trang 177

- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới dạng phân số: bài 4 tiết 175 trang 180.

- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo khối lượng và tỉ số được cho dưới dạng phân số: bài 3 tiết 144 trang 151.

- 2 bài đề cho dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng, yêu cầu nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ: bài 4 tiết 143 trang 151; bài 4 tiết 144 trang 151.

1.2 Số lượng các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu

số và tỉ số của chúng trong chương trình Toán 5

1.2.1 Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng số và tỉ

số của chúng trong Toán 5 có 7 bài, trong đó

- 4 bài có tổng số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng phân số: bài 1a tiết 15 trang 18; bài 1 tiết 20 trang 22; bài 2 tiết 165 trang 171; bài 2

1.2.2 Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ

số của chúng trong Toán 5 có 5 bài, trong đó

- 1 bài có hiệu số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 4 tiết 30 trang

1.3 Các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số

của chúng có mặt nhiều và đầu tiên trong chương trình môn Toán ở Tiểu học ở sáchgiáo khoa Toán 4 Nội dung các bài toán dạng này có “chất liệu” phong phú, cập nhậtvới thực tế: bài toán tính số quả cam, quả quýt (bài 2 trang148), tính số ki - lô -gamgạo nếp, gạo tẻ (bài 3 trang 153), tính độ dài quãng đường (bài 4 trang 152), tính tuổi

mẹ, tuổi con (bài 5 trang 176), tính số học sinh nam, học sinh nữ (bài 4 trang 178)…

và có hình thức thể hiện đa dạng hơn, hấp dẫn học sinh: bài toán được diễn đạt dướidạng lời văn, bài toán được diễn đạt dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng (bài 4 trang 149, bài

4 trang 151…) Khi giải các bài toán này, học sinh thường được thực hiện theo mộtqui trình (các bước) rõ ràng (có thể thực hiện cách giải với sự trợ giúp của sơ đồ, theoqui tắc dưới dạng công thức…) Tuy nhiên, khi giải các bài toán dạng nêu trên cần cócách giải linh hoạt, không áp đặt, để học sinh tự lựa chọn cách giải, câu trả lời, phéptính phù hợp (không nhất thiết lúc nào cũng phải theo trình tự như giải bài toán có lờivăn thông thường)

1.4 Còn ở Toán 5, các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu

số và tỉ số của chúng có mặt ít hơn, nhưng nội dung của chúng cũng rất phong phú:bài toán tính số học sinh giỏi toán, số học sinh giỏi văn (bài 5 trang 9), tính số lítnước mắm loại I, loại II (bài 2 trang 18), tính tuổi bố, tuổi con (bài 4 trang 32), tínhvận tốc của ô tô (bài 3 trang 172), tính diện tích (bài 1 trang 171)… Chúng có tácdụng củng cố kiến thức giải toán các bài toán dạng này cho học sinh, giúp học sinhtiến hành giải các bài toán có nội dung phong phú, đa dạng hơn nhưng có cách giảitương tự

2 VAI TRÒ CỦA CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ

VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG

Với số lượng của các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặchiệu số và tỉ số của chúng trong sách giáo khoa Toán 4, Toán 5, chúng tôi nhận thấycác bài toán dạng này có vai trò quan trọng Trước hết chúng có vai trò chung của

giải toán có lời văn nhằm mục đích giúp học sinh:

- Đầu tiên nó giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng các kiến thức và thaotác thực hành đã học, rèn luyện kỹ năng tính toán, bước tập dượt vận dụng kiến thức

và rèn luyện kỹ năng thực hành vào thực tiễn (học tập, đời sống)

- Qua các biểu hiện trên, giáo viên phát hiện được rõ hơn những gì học sinh đãlĩnh hội và nắm chắc, những gì học sinh chưa nắm chắc để có biện pháp giúp họcsinh phát huy hoặc khắc phục

- Qua việc dạy - học giải toán, giáo viên giúp học sinh từng bước phát triểnnăng lực tư duy, rèn luyện phương pháp và kỹ năng suy luận, khêu gợi và tập dượtkhả năng quan sát, phỏng đoán, tìm tòi

- Qua giải toán, học sinh rèn luyện những đặc tính và phong cách làm việc củangười lao động như ý chí khắc phục khó khăn, thói quen xét đoán có căn cứ, tính cậnthận, chu đáo, cụ thể, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuối cùng; từng bướchình thành và rèn luyện thói quen, khả năng suy nghĩ độc lập, linh hoạt, khắc phụccách suy nghĩ máy móc, rập khuôn, xây dựng lòng ham thích tìm tòi, sáng tạo ở mức

độ khác nhau từ đơn giản nhất mà nâng lên từng bước

Ngoài các vai trò chung của giải toán có lời văn, các bài toán dạng tìm hai sốkhi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng còn đòi hỏi tính tích cực, độclập và sáng tạo trong suy nghĩ của học sinh khi thực hành giải toán Đây là dạng toán

có cách giải điển hình, khi được thực hành giải thường xuyên học sinh có thể bắtchước cách giải theo mẫu, tái hiện cách giải điển hình trong chừng mực nào đó đểgiải các bài toán có nội dung hình học, chuyển động đều được xây dựng trên cơ sởcác bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng

3 CẤU TRÚC CỦA CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG

SỐ VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG

3.1 Những điều cần biết về bài toán “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng”

3.1.1 Khi giải các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng, ta có thể gặp một số trường hợp sau

- Tổng số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, cácdạng số đo đại lượng.

- Tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các dạng

số đo đại lượng

- Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:

+ Số này gấp mấy lần số kia

+ Số này bằng mấy phần số kia

+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến sốphải tìm

+ Tỉ số của hai số

3.1.2 Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán dạng này

Xác định tổng của hai số phải tìm (hoặc tổng của hai số có liên quan đến các sốphải tìm)

- Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến các

số phải tìm) Biểu thị từng số đó thành số các phần bằng nhau tương ứng

- Thực hiện phép chia tổng của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu thị của tỉ

số để tìm giá trị một phần đó

- Tìm mỗi số theo số phần được biểu thị

3.1.3 Một số điều cần chú ý về bài toán “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ

số của chúng” (ở phần 6.3.1 chúng ta sẽ khảo sát một số bài toán minh họa cho

phần này)

1) Tổng của hai số hạng không đổi khi số hạng này thêm bao nhiêu đơn vị và

số hạng kia bớt bao nhiêu đơn vị (thêm bớt cùng một số đơn vị) “bài 15 trang 22”

2) Nếu mỗi số hạng tăng thêm một số đơn vị khác nhau thì tổng cũ sẽ tăng

thêm tổng hai số đơn vị đó “bài 16 trang 23”

Nếu a + b  c thì (a + m) + (b + n)  c + (m + n).

3) Nếu mỗi số hạng giảm bớt một số đơn vị khác nhau thì tổng cũ sẽ giảm bớt

tổng hai số đơn vị đó “bài 17 trang 23”

Nếu a + b  c thì (a  m) + (b  n)  c  (m + n).

4) Nếu số hạng này thêm một số đơn vị và số hạng kia bớt một số đơn vị thì

tổng cũ có thể tăng hoặc giảm Có hai trường hợp sau đây: “bài 18 trang 24”

Tất cả những trường hợp trên đều đưa về bài toán: tìm hai số mới khi biết tổng

số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm

3.2 Những điều cần biết về bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng”

3.2.1 Khi giải các bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng, ta có thể gặp một số trường hợp sau

- Hiệu số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, cácdạng số đo đại lượng

- Tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các dạng

số đo đại lượng

- Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:

+ Số này gấp mấy lần số kia

+ Số này bằng mấy phần số kia

+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến sốphải tìm

+ Tỉ số của hai số

3.2.2 Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán dạng này

- Xác định hiệu của hai số phải tìm (hoặc hiệu của hai số có liên quan đến các

số phải tìm)

- Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến các

số phải tìm) Biểu thị từng số đó thành số các phần bằng nhau tương ứng

- Thực hiện phép chia hiệu của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu thị của tỉ

số để tìm giá trị một phần đó

- Tìm mỗi số theo số phần được biểu thị

3.2.3 Một số điều cần chú ý về bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ

số của chúng” (ở phần 6.3.2 chúng ta sẽ khảo sát một số bài toán minh họa cho

phần này)

1) Hiệu của số bị trừ và số trừ không đổi khi số bị trừ và số trừ cùng thêm

(hoặc bớt) một số đơn vị như nhau “bài 19 trang 24”

Nếu a  b  c

thì (a + n)  (b + n)  c

hoặc (a  n)  (b  n)  c (với a  n; b  n).

Tuy rằng hiệu của hai số mới vẫn bằng hiệu của hai số phải tìm nhưng tỉ số củahai số mới thì khác với tỉ số của hai số phải tìm Khi đó ta giải bài toán: tìm hai sốmới biết hiệu số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm

2) Nếu số bị trừ tăng thêm một số đơn vị và số trừ giảm bớt một số đơn vị thì

hiệu cũ sẽ tăng thêm tổng hai số đơn vị đó “bài 20 trang 25”

Nếu a  b  c thì (a + m)  (b  n)  c + (m + n) (với b  n).

Ví dụ: a  b  30 mà m  8 và n  7 thì

(a + 8)  (b  7) = 30 + (8 + 7)  30 + 15

3) Nếu số bị trừ giảm bớt một số đơn vị và số trừ tăng thêm một số đơn vị thì

hiệu cũ sẽ giảm bớt tổng hai số đơn vị đó “bài 21 trang 25”

Nếu a  b  c thì (a  m)  (b + m)  c  (m + n) (với a  m).

Ví dụ: a  b  30 mà m  8 và n  7 thì:

(a  8)  (b + 7)  30  (8 + 7)  30  15

4) Nếu số bị trừ và số trừ tăng thêm một số đơn vị khác nhau thì hiệu cũ có thể

tăng hoặc giảm Có hai trường hợp sau đây: “bài 22 trang26”

5) Nếu số bị trừ và số trừ giảm bớt một số đơn vị khác nhau thì hiệu cũ sẽ giảm

hoặc tăng Có hai trường hợp sau đây: “bài 23 trang 26”

Những trường hợp trên đều có thể đưa về bài toán: tìm hai số mới khi biết hiệu

số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm

4 PHÂN BIỆT BÀI TOÁN “TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG” VỚI BÀI TOÁN “TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG”

Ở Tiểu học, dạng toán tìm các số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ sốcủa chúng thường được cho dưới dạng: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng”,

“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng” Để phân biệt được hai dạng toán này,chúng tôi hệ thống qua bảng tổng hợp sau:

H : (n - m)

Đại lượng bé:

H: (n - m)  mĐại lượng lớn:

H + đại lượng bé

hoặc: H : (n - m)  n

Với T là tổng, H là hiệu

Có những bài toán giả thiết không cho ngay tổng số, hiệu số và tỉ số thì chúng

ta cần phải xác định những yếu tố này để có bài toán thuộc một trong hai dạng trên.Chẳng hạn: khi cho biết trung bình cộng của hai đại lượng thì hai lần trungbình cộng chính là tổng

5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG

Các phương pháp giải toán thường dùng khi giải các bài toán dạng nêu trên là:

5.1 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là một phương pháp giải toán ở Tiểu học, nhờ

sơ đồ đoạn thẳng, mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trongbài toán được biểu thị trực quan hơn

m phần

n phần

HT

m phần

n phần

Khi giải toán, sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng để biểu thị quan hệ về hiệu, quan

hệ về tỉ số, vừa biểu thị quan hệ về hiệu vừa biểu thị quan hệ về tỉ số Đối với việcgiải các bài toán dạng tìm hai, ba hay nhiều số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số

và tỉ số của chúng, sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng để biểu thị quan hệ về tỉ số Khibiểu thị quan hệ về tỉ số, mỗi đoạn thẳng biểu thị một phần

 Các bước giải bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

Khi giải bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta thường dùng ba bước:Bước 1: Lựa chọn và phân chia độ dài của các đoạn thẳng phù hợp vớicác đại lượng đề bài cho

Bước 2: Tiến hành tóm tắt đề bài bằng cách sắp xếp các đoạn thẳng mộtcách hợp lý

Bước 3: Thực hiện bài giải dựa theo sơ đồ

5.2 Phương pháp chia tỉ lệ

Phương pháp chia tỉ lệ là một phương pháp giải toán ở Tiểu học, người tathường dùng phương pháp này để giải các bài toán đã cho biết tỉ số của các số và chobiết tổng số hoặc hiệu số của các số đó như bài toán dạng tìm hai, ba hay nhiều số khibiết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng

 Các bước giải bài toán bằng phương pháp chia tỉ lệ

Khi giải bài toán bằng phương pháp chia tỉ lệ ta thường dùng bốn bước:

Bước 1: Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng Dùng các đoạn thẳng đểbiểu thị các số cần tìm Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó tương ứng với tỉ sốcủa các số cần tìm

Bước 2: Tìm tổng (hoặc hiệu) số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm giá trị của một phần

Bước 4: Xác định mỗi số cần tìm

Đôi khi ta có thể kết hợp các bước 2, 3 và 4

6 MỘT SỐ BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG

6.1 Một số bài toán “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng”

Bài 1 (lớp 4 trang 148) Tổng của hai số bằng số lớn nhất có hai chữ số Tỉ số của

hai số đó là 4

5 Tìm hai số đó.

Lời giải

Số lớn nhất có hai chữ số là số 99 Vậy tổng của hai số là 99

Nếu ta chia số lớn thành 5 phần bằng nhau thì số bé sẽ chiếm 4 phần như thế

100 =

14

Vì thương là số bé hơn 1 nên số bị chia bé hơn số chia Biểu thị số bị chia là 1phần thì số chia là 4 phần như thế

Bài 3 (lớp 4 trang 149) Một nhóm học sinh có 12 bạn, trong đó số bạn trai bằng

một nửa số bạn gái Hỏi nhóm đó có mấy bạn trai, mấy bạn gái?

Lời giảiNếu ta chia số học sinh gái thành 2 phần bằng nhau thì số học sinh trai sẽchiếm 1 phần như thế

? bạn ? bạn

12 bạn

?

0,25 ?

Bài 4 (lớp 4 trang 148) Một người đã bán được 280 quả cam và quýt, trong đó số

cam bằng 2

5 số quýt Tìm số cam, số quýt đã bán.

Lời giảiNếu ta chia số quýt thành 5 phần bằng nhau thì số cam sẽ chiếm 2 phần nhưthế

Đáp số: 80 quả cam, 200 quả quýt

Bài 5 (lớp 4 trang 149) Một sợi dây dài 28m được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất

dài gấp 3 lần đoạn thứ hai Hỏi mỗi đoạn dài bao nhiêu mét?

Lời giảiNếu ta chia đoạn thứ nhất thành 3 phần bằng nhau thì đoạn thứ hai sẽ chiếm 1phần như thế

Ta có sơ đồ:

Kho thứ nhất:

280 quả ? quả

Bài 7 Năm nay tổng số tuổi của hai mẹ con bằng 45 tuổi Tìm tuổi của mỗi người,

biết rằng 2 lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con

Lời giảiNếu ta chia tuổi của mẹ thành 7 phần bằng nhau thì tuổi của con sẽ chiếm 2phần như thế

6.2 Một số bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng”

Bài 8 (lớp 4 trang 151) Hiệu của hai số là 85 Tỉ số của hai số đó là 3

8 Tìm hai sốđó?

Lời giảiNếu ta chia số lớn thành 8 phần bằng nhau thì số bé sẽ chiếm 3 phần như thế

? cây

12 cây ? cây

Lời giải0,6 = 6

10 =

35

Vì thương là số bé hơn 1 nên số bị chia phải bé hơn số chia Biểu thị số bị chiabằng 3 phần bằng nhau thì số chia là 5 phần như thế

Bài 10 Số cây đào trong vườn nhà Lan gấp bốn lần số cây mận và số cây đào nhiều

hơn số cây mận 12 cây Hỏi vườn nhà Lan có bao nhiêu cây mỗi loại?

Lời giảiNếu ta chia số cây đào thành 4 phần bằng nhau thì số cây mận sẽ chiếm 1 phầnnhư thế

Đáp số: 4 cây mận, 16 cây đào

Bài 11 (lớp 4 trang 151) Người ta dùng số bóng đèn màu nhiều hơn số bóng đèn

trắng là 250 bóng đèn Tìm số bóng đèn mỗi loại, biết rằng số bóng đèn màu bằng 5

3

số bóng đèn trắng

Lời giảiNếu ta chia số bóng đèn màu thành 5 phần bằng nhau thì số bóng đèn trắng sẽchiếm 3 phần như thế

? kg

540 kg ? kg

Bài 12 (lớp 5 trang 18) Số lít nước mắm loại I có nhiều hơn số lít nước mắm loại II

là 12l Hỏi mỗi loại có bao nhiêu lít nước mắm, biết rằng số lít nước mắm loại I gấp 3lần số lít nước mắm loại II?

Đáp số: 6 lít nước mắm loại II, 18 lít nước mắm loại I

Bài 13 (lớp 4 trang 151) Một cửa hàng có số gạo nếp ít hơn số gạo tẻ là 540 kg.

Tính số gạo mỗi loại, biết rằng số gạo nếp bằng 1

4 số gạo tẻ.

Lời giảiNếu ta chia số gạo tẻ thành 4 phần bằng nhau thì số gạo nếp sẽ chiếm 1 phầnnhư thế

12 lít

Nếu ta chia tuổi bố thành 9 phần bằng nhau thì tuổi con sẽ chiếm 2 phần nhưthế

6.3 Một số bài toán mở rộng của các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng

số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng

Ngoài các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ

số của chúng được cho dưới dạng tường minh về tổng số, hiệu số và tỉ số, còn có một

số bài toán được cho dưới dạng tổng số của hai số liên quan đến hai số cần tìm, hoặchiệu số của hai số liên quan đến hai số cần tìm, hoặc tỉ số của hai số liên quan đến hai

số cần tìm Với những bài toán dạng này ta có thể đưa về dạng bài toán tìm hai sốmới khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của hai số mới đó, sau đó tìm hai sốcần tìm Sau đây là một số dạng bài toán ta phải tìm hai số mới khi biết tổng số và tỉ

số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, sau đó tìm hai số cần tìm

6.3.1 Một số bài toán mở rộng của các bài toán dạng tìm hai số khi biết

tổng số và tỉ số của chúng (minh họa cho phần 3.1.3)

Bài 15 (minh họa phần chú ý 1 - trang 12)

Hai bạn Nga và Hồng có tất cả 48 nhãn vở Nếu bạn Nga cho bạn Hồng 2 nhãn vở thì

số nhãn vở của Hồng sẽ nhiều gấp đôi số nhãn vở của Nga Hãy tính số nhãn vở lúcđầu của mỗi bạn?

Lời giảiNếu Nga cho Hồng hai nhãn vở thì tổng số nhãn vở của hai bạn vẫn là 48 nhãn vở

Ta có sơ đồ minh hoạ số nhãn vở của mỗi bạn, sau khi Nga cho Hồng 2 nhãn vở:

Đáp số: Nga có 18 nhãn vở

Hồng có 30 nhãn vở

Bài 16 (minh họa phần chú ý 2 - trang 12)

Lớp A và lớp B tham gia trồng cây Ngày đầu cả hai lớp trồng được 115 cây Ngàysau lớp A trồng được 20 cây, lớp B trồng được 15 cây Sau hai ngày trồng cây, sốcây của lớp A đã trồng bằng 2

3 số cây của lớp B đã trồng Hỏi mỗi lớp đã trồng đượcbao nhiêu cây?

Lời giảiTổng số cây của hai lớp trồng được trong hai ngày là:

115 + 20 + 15 = 150 (cây)Nếu ta chia số cây trồng được trong hai ngày của lớp B là 3 phần bằng nhau thì

số cây trồng được trong hai ngày của lớp A sẽ chiếm 2 phần như thế

Bài 17 (minh họa phần chú ý 3 - trang 12)

Tổng số gạo của hai cửa hàng A và B là 500 kg, sau đó người ta bán đi 20 kg gạo ởcửa hàng A và 30 kg gạo ở cửa hàng B, lúc này số kg gạo của cửa hàng B bằng 2

3 số

kg gạo của cửa hàng A Hỏi lúc đầu mỗi cửa hàng có bao nhiêu kg gạo?

Lời giảiSau khi bán, số kg gạo còn lại của hai cửa hàng là:

500 – (30 + 20) = 450 (kg)

Nếu ta chia số kg gạo sau khi bán của cửa hàng A thành 3 phần bằng nhau thì

số kg gạo sau khi bán của cửa hàng B sẽ chiếm 2 phần như thế

Số kg gạo lúc đầu của cửa hàng B là:

Bài 18 (minh họa phần chú ý 4 - trang 12)

Tổng số thóc ở kho A và kho B là 375 tấn Sau đó kho A tiếp nhận thêm 15 tấn, cònkho B chuyển đi nơi khác 40 tấn thì lúc đó số thóc ở kho A bằng 3

4 số thóc ở kho B.Hãy tính số tấn thóc lúc đầu ở mỗi kho?

Lời giảiSau khi kho A nhận thêm 15 tấn và kho B chuyển đi nơi khác 40 tấn thì lúcnày số thóc ở hai kho là:

6.3.2 Một số bài toán mở rộng của các bài toán dạng tìm hai số khi biết

hiệu số và tỉ số của chúng (minh họa cho phần 3.2.3)

Bài 19 (minh họa phần chú ý 1 - trang 13)

Có hai kho chứa thóc: kho A chứa 35 tấn và kho B chứa 50 tấn Người ta đã lấy đimột số tấn thóc như nhau ở mỗi kho để chuyển đi nơi khác, nên số thóc còn lại củakho A bằng 2

3 số thóc còn lại của kho B Tính số thóc đã chuyển đi của mỗi kho?

Lời giải

Số thóc của kho B nhiều hơn kho A là:

50 – 35 = 15 (tấn)

350 tấn ? tấn

? tấn

? cây

420 cây ? cây

Sau khi chuyển đi một số tấn thóc ở mỗi kho thì số thóc còn lại ở kho B vẫnnhiều hơn số thóc còn lại của kho A là 15 tấn

Bài 20 (minh họa phần chú ý 2 - trang 14)

Số cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là 360 cây Nếu khối Năm trồngthêm 30 cây nữa và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây thì số cây của khối Năm sẽ nhiềugấp 4 lần số cây của khối Bốn Tính số cây đã trồng lúc đầu của mỗi khối?

Lời giảiNếu khối Năm trồng thêm 30 cây và khối Bốn trồng bớt 30 cây thì lúc đó sốcây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là:

Khối Năm: 530 cây

Bài 21 (minh họa phần chú ý 3 - trang 14)

Bạn An đã chuyển 5 cuốn sách từ ngăn thứ hai lên ngăn thứ nhất nên số sách ở ngănthứ hai nhiều hơn số sách ở ngăn thứ nhất là 150 cuốn và số sách ở ngăn thứ nhấtbằng 1

3 số sách ở ngăn số hai Tính số sách lúc đầu ở mỗi ngăn?

Lời giảiBiểu thị số sách sau khi đã nhận thêm 5 cuốn ở ngăn thứ nhất là 1 phần thì sốsách sau khi đã chuyển đi 5 cuốn ở ngăn số hai là 3 phần như thế

Ta có sơ đồ sau:

? tấn

? tấn

15 tấn