Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB.. Đờng thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đờng tròn O tại C.. Tiếp tuyến của nửa đờng tròn O tại D cắt đờng thẳng HC tại E.. Gọi I là gi
Trang 1Câu 3 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng
AO (H khác A và O) Đờng thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đờng tròn (O) tại C Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C) Tiếp tuyến của nửa
đờng tròn (O) tại D cắt đờng thẳng HC tại E Gọi I là giao điểm của AD và HC
a) Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đờng tròn
b) Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân
c) Gọi F là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ICD Chứng minh góc ABF có
số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C)
Giải c) Để c/m ãABF có số đo không đổi ta chứng minh B, F, C thẳng hàng
Cách 1: Để c/m B, F, C thẳng hàng ta c/m CF vuông góc với AC hay AC là tiếp
tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ICD
Thật vậy: ãACH = ãABC (cùng phụ góc CHA)
Mà ãABC IDC= ã (góc nội tiếp chắn cung AC của đờng tròn (O))
2
ACH =IDC= sd ID ( của đờng tròn nggoại tiếp tam giác IDC)
⇒AC là tiếp tuyến của đờng tròn (F) ⇒AC⊥CF mà AC ⊥CB⇒ C, F, B thẳng hàng
E
I F
C
D
O
A
Cách 2: Để chứng minh B, F, C thẳng hàng ta c/m ãICF= ãHCB
90
IDC< ) Mặt khác ã = −ã mà ã =ã ⇒ã =ã Suy ra C, F, B thẳng hàng
Trang 2
E
I F
C
D
O
A
C¸ch 3: Gäi P lµ trung ®iÓm cña IC, Q lµ trung ®iÓm cña CD §Ó c/m C, F, B th¼ng
hµng ta c/m ·ICF= ·HCB
E
F
Q P
H O
D C
B A
Ta có tứ giác CQFP nội tiếp ⇒CFP CQP· =· mà CQP CDA· =· (do PQ//AD)
lại có CDA CBA· =· suy ra CFP CBA· =·
Trang 3ã ã
0 0
90 90
CFP PCF
CBA HCB
Suy ra PCFã = ãHCB ⇒ C, F, B thẳng h ng à
Cách 4: Gọi K là giao điểm của đt(F) và BC Để c/m C, F, B thẳng hàng ta c/m C, F,
K thẳng hàng hay CIKã = 90 0.
Ta có
,
KID KCD KCD BAD
KID BAD
Lại có CIDã =ãAIH (đ đ)
ãAIH BAD+ã = 90 0 ⇒KID CIDã +ã = 90 0 hay CIKã = 90 0 suy ra CK là đờng kính của
đt(F) ⇒ C, F, K thẳng hàng hay C, F, B thẳng hàng.
H O
K I
F C
E
D
B A