Tìm giá trị lớn nhất của d.. Tìm toạ ñộ ñỉnh C của tam giác ABC.. Viết phương trình mặt cầu ñi qua A,B có tâm nằm trên mp Oyz và tiếp xúc với mp Oxy.. có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 5
Trang 1
SỞ GD – ðT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC - LẦN 1 - 2011
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút; không kể giao ñề
Phần chung cho tất cả các thí sinh:( 7 ñiểm)
Câu 1: (2 ñiểm): Cho hàm số y =
1
2 +
+
x x
1- Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
2- Gọi I là giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận, ∆ là một tiếp tuyến bất kỳ của ñồ thị (C) d là khoảng cách từ I ñến ∆ Tìm giá trị lớn nhất của d
Câu 2: ( 2 ñiểm): 1 Giải phương trình: 4cosx- 2cos2x- cos4x = 1
2 Giải phương trình: log228x3 – 9log24x2 – 36log4 2x = 0
Câu 3: ( 1 ðiểm): Tính tích phân I = ∫
Π
+
4
0
2
cos 1
4 sin
x x
Câu 4: ( 1 ñiểm): Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng 2a, khoảng cách giữa AB
và SC = a 3
Tính thể tích của khối chóp
Câu 5: (1 ñiểm): Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = 1 hãy chứng minh:
c ab
ab
+ + bc a
bc
+ + ca b
ca
+ ≤ 2 3
Phần riêng: (3 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A- Theo chương trình chuẩn
Câu 6A: ( 2 ñiểm) : 1 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho tam giác ABC có phương trình các cạnh
AB, BC lần lượt là: 5x + 2y + 7 = 0 ; x - 2y – 1 = 0 Phân giác trong của góc A có phương trình là x + y – 1 = 0 (d) Tìm toạ ñộ ñỉnh C của tam giác ABC
2 Trong không gian Oxyz cho ñiểm A(- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2) Viết phương trình mặt cầu ñi qua A,B có tâm nằm trên mp (Oyz) và tiếp xúc với mp (Oxy)
Câu 7A: (1 ñiểm): Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác
nhau trong ñó hai chữ số 2, 3 không ñứng cạnh nhau
B- Theo chương trình nâng cao:
Câu 6B: ( 2 ñiểm): 1 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích S =
2
3 , toạ
ñộ các ñỉnh A (2;-3), B(3; -2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên ñường thẳng có phương trình 3x – y – 8 = 0 Tìm toạ ñộ ñỉnh C
2 Trong không gian Oxyz cho ñiểm A (- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2) Viết phương trình mặt cầu ñi qua A,B có tâm nằm trên mp ( Oyz) và tiếp xúc với mp ( Oxy)
Câu 7B: ( 1 ñiểm): Giải hệ phương trình
−
= +
=
−
y x y x
y x
4 2
9
2 2
3 3
_ Hết_
Trang 2ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM MÔN TOÁN
ðỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
Câu1
1.1ñ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y= 2
1 +
+
x x
a tập xác ñịnh D = R \ {-1}
b Sự biến thiên
y’ =
( )2
1
1 +
−
x < 0 ∀x ≠-1 hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng(-∞ ; -1 ) và ( -1 ; +∞ )
; 1 lim =
+∞
−∞
trình y = 1
; lim
1+ = + ∞
−
−
x -∞ -1
+∞ bảng biến thiên thiên y, - -
+ ∞
y 1 1
- ∞
ðồ thị : cắt trục ox tại (-2 ; 0 ) y cắt trục oy tại (0 ; 2 ) nhận I ( -1 : 1 ) làm tâm ñối xứng
0
x
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 32 1ñ
Câu 2
1 1ñ
2 1ñ
Câu 3
1ñ
( )2
1
1 +
−
=
′
x
y ; Giao ñiểm của hai ñường tiệm cận là I(-1 ;1)
Giả sử M (x0;
1
2
0 +
+
x
x o
) ∈ ( C )
Phương trình tiếp tuyến ∆ với ñồ thi hàm số tại M là :
y=
2 1
1
0
0 0 2
+ +
− +
−
x
x x x
x ⇔x+(x0+ 1)2y−x0 −(x0+ 1)(x0+ 2)=0 Khoảng cách từ I ñến∆ là d =
( )4 0
0
1 1
1 2 + +
+
x
x
=
2 0 2 0
1 1
1
2 + +
x
≤ 2
Vậy GTLN của d bằng 2 khi x0 = 0 hoặc -2
1 Giải phương trình 4cosx -2cos2x –cos4x = 0
⇔4cosx -2 (2cos2x -1 ) –(1- 2 sin22x ) =1
⇔4cosx – 4cos2x +2 -1 +8 sin2xcos2x -1 =0
⇔4cosx ( 1-cosx + 2sin2x cosx ) =0
⇔cosx = 0 hoặc 1-cosx +2sin2xcosx = 0
⇔ x=π +kπ
2 hoặc cosx ( 2sin2x -1 ) +1=0 ⇔ Cos3x + cosx =2
⇔
=
= 1
1 3
x co
x s co
⇔ cosx =1⇔x = k2π
vậy phương trình có nghiệm x=π +kπ
2 ; x = k2π
Giải phương trình : log 8 9 log 4 2 36 log42 0
2 3
2
ðiều kiện x > o
(1 ) ⇔ (3 + 3 log2x)2− 9(2 + 2 log2x)− 18(1 + log2x)= 0
⇔ 9 log22x− 18 log2x − 27 = 0
⇔log2x = -1 hoặc log2x =3 ⇔x = 1/2 hoặc x=8
Tính tích phân
I = dx
x
x
∫4 +
0
2
cos 1
4 sin
π
dx x
s co
x s co x
0
2 2
1
1 2
2 sin 2
π
ñặt t =cos2x suy ra dt = -sin2xdx ; x =0 ⇒ t = 1 ; x =
4
π
⇒ t = ½
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25 0,5
Trang 4Câu 4
1ñ
Câu 5
1ñ
I = - ( )
dt t
t
∫2 +−
1
1 2 2
2 1
2 1 1
2 1
1 ln 6 4 1
6 4 1
2 4
+
−
=
+
−
= +
−
∫
t
dt t
t
= 2 - 6ln
3
4
S
M
A D
I O J
B C
Xác ñịnh khoảng cách giữa AB và SC
Gọi I,J lần lượt là trung ñiểm của AB,DC
AB// DC nên AB// (SDC) ⇒ khoảng cách giữa AB và mp (SCD) là
khoảng cách giữa AB và SC Ta có IJ⊥CD , SJ⊥CD (v ì S.ABCD
là hình chóp ñều ) ⇒ CD ⊥( SI J ) (1)
Trong mp(SI J ) kẻ IM ⊥SJ (2 ) , từ ( 1) ⇒IM ⊥CD (3)
Từ (2) ,(3) ⇒ IM ⊥(SCD ) ⇒ IM = a 3 Gọi O là giao ñiểm của AC và BD ⇒SO là ñường cao của hình chóp
Thể tích của hình chóp V = Bh
3
1 ,trong ñó B =4a2 , h =SO
Tính SO Trong tam giác vuông IM J (vuông tại M ) có I M =a 3,
I J = 2a , Gọi αlà góc IJM ta có sinα =
2
3
2 3 =
=
a
a J I
IM
⇒α=600
⇒Tam giác SIJ là tam giác ñều cạnh 2a ⇒SO =a 3
Thể tích hình chóp V =
3
4 3 4 3
a
Do a+b+c =1 ⇒ab +c = ab + c ( a+b+c ) ⇔ab +c = (a + c) (b +c )
+
+ +
≤ + +
=
b c a
a c
b
b c a
a c
ab
ab
2
1
Tương tự ta có :
+
+ +
≤ + +
=
c a b
b a
c
c a b
b a
bc
bc
2
1
+
+ +
≤ + +
=
a b c
c b
a
a b c
c b
ca
ca
2
1
Từ (1) ,(2) ,(3) suy ra
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Trang 5Câu
6A
1 1ñ
2 1ñ
Câu
7A
Câu6
B
1 1ñ
+
+ c ab
ab
a bc
bc
+ +
b ca
ca
+ ≤
2
3 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c =
3 1
Toạ ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ :
=
− +
= + +
0 1
0 7 2 5
y x
y x
⇒A (-3 ; 4 )
Toạ ñộ ñiểm B là nghiệm của hệ :
=
−
−
= + +
0 1 2
0 7 2 5
y x
y x
⇒B (-1;-1) Gọi D là ñiểm ñối xứng của B qua ñường phân giác góc A ⇒ D thuộc
AC , ta tính ñược toạ ñộ ñiểm D (2 ;2 )
Phương trình ñường thẳng AC chính là phương trình ñường thẳng ñi
qua A (-3; 4) ; D(2 ;2) Phương trình là : 2x +5y -14 =0
Toạ ñộ ñiểm C là nghiệm của hệ
=
−
−
=
− +
0 1 2
0 14 5 2
y x
y x
⇒ C (
3
4
; 3
11 )
Viết phương trình mặt cầu ñi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm
trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy)
Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ ñộ I (0;b;c)
Vì mặt cầu ñi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có
IA = IB = d(I , oxy ) ⇔1+(b+1)2 +(c-4)2=1+(b+1)2 +(c-2)2 = c2
⇒ c = 3 ; b =-1 ± 7
Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là :
x2 +(y+ 1 + 7)2+(z− 3)2= 9 hoặc x2 +(y+ 1 − 7)2+(z− 3)2= 9
Có 5! = 120 cách chọn số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên
Ta tìm các số có 5 chữ số khác nhau mà 2 ,3 ñứng cạnh nhau
Nếu xếp hai chữ số 2 ,3 vào hai ô liền nhau (2 ñứng trước 3) xem như
1 ô , ba chữ số 4,5,6 vào ba ô còn lại như thế có 4 cách chọn vị trí
cho cặp số 2,3 ; có 3! Cách chọn vị trí cho 3 chữ số còn lại
Vậy có 4 3! = 24 cách chọn số gồm 5 chữ số khác nhau mà 2,3 ñứng
cạnh nhau ( 2 ñứng trước 3 )
Nếu 3 ñứng trước 2 cũng làm tương tự ta ñược 24 cách lập
Các số thoả mãn yêu cầu bài toán là 120-48=72 số
Gọi I là trung ñiểm của AB thì I (5/2 ;-5/2) ; G (x0; y0 )là trọng tâm
tam giác ABC ; S , S1 lần lượt là diện tích tam giác ABC , GAB ta có
S1=
3
1
S =
2
1 2
3 3
1 =
Ta c ó AB = 1 + 2 1 2 = 2 ðường cao GH của tam giác AGB có ñộ dài GH=
2
1
2 1
=
AB S
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
Trang 62 1 ñ
Câu
7B
ðường thẳng AB có phương trình x - y – 5 = 0 (d )
Lại có GH = d (G,d ) =
2
1 2
5
0
0− y − =
x
⇔ x0 − y0− 5 =1 (1)
G nằm trên ñường thẳng có phương trình 3x-y -8 =0 nên ta có
3x0 –y0 – 8 =0 (2) T ừ (1),(2) suy ra ( x0, y0 ) = ( -1;-5) hoặc (2;-2)
3OG = OA +OB +OC = 2OI +OC
Suy ra C(-2;-10) hoặc C(1 ;1 )
Viết phương trình mặt cầu ñi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm
trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy)
Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ ñộ I (0;b;c)
Vì mặt cầu ñi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có
IA = IB = d(I , oxy ) ⇔1+(b+1)2 +(c-4)2=1+(b+1)2 +(c-2)2 = c2
⇒ c = 3 ; b =-1 ± 7
Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là :
x2 +(y+ 1 + 7)2+(z− 3)2= 9 hoặc x2 +(y+ 1 − 7)2+(z− 3)2= 9
Giải hệ
−
= +
=
−
y x y x
y x
4 2
9
2 2
3 3
⇔
−
−
=
−
+
=
y y x
x
y x
12 6 3 3
9
2 2
3 3
⇒x3 – 3x2 +3x = y3 +6y2 +12y +9 ⇔(x-1)3 = (y +2)3 ⇒x =y + 3
Vậy hệ ñã cho ⇔
−
=
=
⇔
+
=
+
=
2
1 3
9
3 3
y
x y
x
y x
hoặc
−
=
= 1
2
y x
Mọi cách làm khác ñúng ñều cho ñiểm theo phần tương ứng
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5