BÁO CÁO THỰC TẬP-CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA QUANG HỌC PHI TUYẾN

Lý do chọn đề tàiThuật ngữ quang học phi tuyến đuợc đưa ra với các quá trình vật lý, ở đó trao đổi năng lượng giữa một số trường điện từ của các tần số khác nhaubởi sự phụ thuộc độ ẩm đi

LỜI CẢM ƠN

Luận văn tốt nghiệp với đề tài : “CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA QUANG

HỌC PHI TUYẾN” đã được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự

giúp đỡ nhiệt tình của Tiến Sĩ: MAI XUÂN DƯƠNG.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy, cô giáo trong khoaVật Lý – Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện tốt cho tôi hoàn thành

đề tài này

Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và nhữngngười thân đã tạo điều kiện, động viên giúp đỡ tôi hoàn thành quá trình thựctập chuyên ngành

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quenvới công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếusót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn bè để

đề tài này của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2011

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Tùng Lâm

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình

của T.S Mai Xuân Dương

Tôi xin cam đoan rằng:

Đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi

Kết quả này không trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã được công

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

5.Phương pháp nghiên cứu6

PHẦN II NỘI DUNG

CHƯƠNG I Tương tác của bức xạ điện từ với vật chất7

1.1 Phổ năng lượng7

1.2 Chuyển mức tự phát và chuyển mức cưỡng bức 9

1.3 Các kết luận về xác suất các chuyển mức cưỡng bức & các chuyển mức tựphát theo Einste13

1.4 Chuyển mức kết hợp giữa các mức năng lượng16

CHƯƠNG II Một số vấn đề của quang học phi tuyến20

2.1 Quy luật xác suất “cư dân” các mức năng lượng mà giữa chúng có chuyểnmức kết hợp22

2.2 Tìm dạng của tenxơ độ thẩm phi tuyến25

2.3 Tương tác phi tuyến của các trường hợp điện từ25

2.4 Kích hoạt hài dao động thứ hai của sóng ánh sáng26

2.5 Điều kiện đồng bộ không gian27

2.6 Hấp thụ hai photon28

CHƯƠNG III Một số bài toán bàn về các hiệu ứng của quang học phi

3.1.Đánh giá độ lớn của các phần tử tenxơ ^d30

3.2 Tenxơ phân cực phi tuyến 32

3.3 Điều kiện đồng bộ không gian ở các tinh thể khúc xạ kép34

3.4 Mối quan hệ giữa hấp thụ phi tuyến và hiện tượng quang phi tuyến khôngtrật tự 36

3.5 Tương quan giữa tenxơ điện quang và tenxơ độ thẩm không tuyến tính ởcác tần số quang39

Chương IV Một số vấn đề sưu tầm và đề nghị41

1 Lý do chọn đề tài

Thuật ngữ quang học phi tuyến đuợc đưa ra với các quá trình vật lý, ở

đó trao đổi năng lượng giữa một số trường điện từ của các tần số khác nhaubởi sự phụ thuộc độ ẩm điện môi của môi trường vào độ lớn của trường

Sự có mặt của các laser (light amphification by stimulated emisson ofradiation ) có công suất đủ mạnh để có thể quan sát được các hiệu ứng phituyến trong dải tần số ánh sáng khả kiến (chúng ta sẽ gọi l àdải tần số quanghọc )

Chúng ta đã bắt gặp khái niệm độ thẩm phi tuyến với việc đưa ra tenxơ

r jlk – mối quan hệ giữa sự thay đổi chỉ số khúc xạ (đáng ra là elipxoit chỉ sốkhúc xạ) với điện trường ngoài

∆ (1/n2 )jn =r jlk E k

Hiệu ứng điện quang tuyến tính có thể được mô tả bằng con đườngkhác đó là biểu diễn phần cực trên tổng tần số thông qua tích biên độ điệntrường sóng ánh sáng E (ω) và biên độ điện trường E (Ω) tần số thấp :

P (ω j '

=Ω+ω) =ε0d (ω '

=Ω+ ω) jkl E (Ω) K E (ω) l

Tenxơ ^d được xác định bởi các phương trình này, chúng ta có thể biểudiễn nó qua tenxơ điện quang ^r :

d (ω jkl ' =Ω+ω)=ε j ε i

ε02 r jkl ( j≠ l)

trong đó, ε j vàε i là các giá trị chính của tenxơ thẩm điện môi ở tần số ω.

Vì lý do trên, với kiến thức ít ỏi và lòng ham hiểu biết tôi quyết định

chọn và nghiên cứu đề tài “CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA QUANG HỌC PHI

TUYẾN”

2 Mục đích nghiên cứu

Nâng cao trình độ kiến thức về môn học VLCR và phục vụ các đốitượng học tập, nghiên cứu về VLCR cơ sở để giải quyết các bài toán về cáchiệu ứng của quang học phi tuyến.

3 Nhiệm vụ

Nghiên cứu những hiện tượng xuất hiện do hệ quả của sự biến đổi tínhchất quang học của hệ vật chất khi có sự hiện diện của ánh sáng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu xung quanh các vấn đề cơ bản của quang học phi tuyến, về

bức xạ điên từ của vật chất, các chuyển mức tự phát và chuyển mức cưỡng

bức, chuyển mức kết hợp, các mối quan hệ giữa hấp thụ phi tuyến và hiệntượng quang phi tuyến không trật tự… và các bài tập liên quan

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu tham khảo

Thảo luận và đánh giá

PHẦN II NỘI DUNG

Ch¬ng I : T¬ng t¸c cña bøc x¹ ®iÖn tõ víi vËt chÊt

1.1.Phổ năng lượng

Chúng ta giới hạn với các chuyển mức trong vùng quang học (với bướcsóng đặc trưng λ=1μm, tương ứng với ν=3.1014Hz có nghĩa là 10 4cm−1) giữacác mức năng lượng mà vị trí của chúng được cố định.

Hàm riêng của ion trong tinh thể được tìm từ Hamiltonian :

^

H= ^⃗P2

2m +^V0 (⃗r)+^V1(⃗r)+λ ^⃗L ^⃗S−β(^⃗L+2 ^⃗S)μ0⃗H ,

trong đó, ^V0(⃗r) - thế cầu đối xứng được tạo bởi hạt nhân

^V1(⃗r) - thế năng của điện tử trong trường tuần hoàn mạng tinh thể

Khi V1(⃗r) =0 – có nghĩa là ion tự do, hàm riêng Ψ M j và ⃗J '=⃗ L'+⃗ S '

nhiễu loạn (V1 (⃗r) 100 cm−1; λ ≈ 103cm−1)

Trong nhóm chuyển tiếp, sắt (3d) không có lớp điện tử chắn ngoài cùng

và bán kính trung bình lớn nhất, nên đã dẫn tới tương tác mạnh với trường tinh thể, trong đó, |V1(⃗r)| 10000 cm−1 còn λ ≈ 10 cm−1.Trong trường hợp này, trước hết tìm hàm riêng của toán tử: ^H= ^⃗P2

2m +^V0 (⃗r)+^V1(⃗r) sau đó sử dụng chúngnhư các hàm cơ sở trong lý thuyết nhiễu loạn với Hamiltonian nhiễu loạn :

H ' =λ ^⃗L ^⃗S Tương tác từ của trường mạnh: B0 1T ,μ0βH 1cm−1

v1,1u m ,v1,0u m ,v 1 ,−1 u m m= 12

(Suy biến bậc sáu) E2 u2u m

m= −12

m= 12

Hình 1.1 Sơ đồ các mức năng lượng E2 u3u m

điện tử p : ion ở trạng thái m= −12

tự do ,trong điện trường hệ

các điện tích và trong từ trường m= 12

* Trường hợp thú vị thứ hai là các ion – 4f của nguyên tố đất hiếm

trong tinh thể Năng lượng tương tác ion với tinh thể V1 tương ứng 100 cm−1,trong khi đó năng lượng tương tác spin – quỹ đạo cỡ ~10 3cm−1 Suy ra, hàmsóng trong tinh thể, gần đúng bậc nhất , là tổ hợp tuyến tính

2J +1 là đại diện cho các trạng thái lượng tử như nhau, còn M – thì không !Một hệ quả khác là vị trí của các mức J bây giờ suy biến bởi trường tinh thể,thành một số mức (số lượng chúng chỉ phụ thuộc vào nhóm đối xứng điểmcủa tinh thể nơi có mặt ion ) chia nhau khoảng V1 ~ 100cm−1

* Thí dụ thứ ba Chúng ta cùng xem xét các mức dao động của các

phần tử hai nguyên tử, ví dụ phần tử nitơ (N2) Hai nguyên tử lien kết với lực,được tìm từ biểu thức cho thế năng :

U(x) = 12k x2+b x3

+ (1.1)

trong đó, x – độ lệch khoảng cách nguyên tử khỏi giá trị cân bằng

Nếu giới hạn ở thành phần điều hòa 12k x2

, bài toán dẫn tới bài toán vẽdao động tử điều hòa đã biết Mức điện tử đã cho, khi ấy, suy biến thành cácmức dao động với năng lượng :

E v = ω ℏ (v+ 1

2) , (1.2)trong đó, ω2= k m, m – khối lượng “hiệu dụng ” của hai hạt nhân

1.2.Chuyển mức tự phát và chuyển mức cưỡng bức

Giả sử, nguyên tử “có” hai mức năng lượng E2v à E1,E1< E2

Sự có mặt của các mức năng lượng khác sẽ được xét đến chỉ trongtrường hợp chúng tương tác với mức 1 & 2 và có thể ảnh hưởng tới “ thờigian sống ” của mức 2 Giả thiết rằng nguyên tử bị “ nhốt ” trong lớp dẫn lýtưởng, có kích thước lớn hơn rất nhiều độ dài sóng chuyển mức λ

Chúng ta tìm Hamiltonian tương tác giữa nguyên tử và một trong cáckiểu dao động (mode) của “ hợp cộng hưởng ” được hình thành bởi lớp dẫn lýtưởng ấy Nhờ Hamiltonian này chúng ta sẽ tìm được xác suất chuyển mứccủa nguyên tử từ mức 2 lên mức 1 (hoặc ngược lại ), trong thời gian đó modenhận (hoặc đánh mất) lượng tử kích hoạt.Tổng xác suất của các chuyển mứcnày lấy theo tất cả các mode (của “ hộp cộng hưởng ”) tương tác với cácnguyên tử, cho chúng ta xác suất chuyển mức tự phát

Hamiltonian tương tác của nguyên tử (có một điện tử ) với điện trường

⃗E l (⃗r ,t) mode thứ l trùng với thế năng của điện tử trong trường ngoài :

^

H '=e⃗E l (⃗r ,t) ⃗r=e E lx ( ⃗r ,t ) x , (2.1)

trong đó, đã xem điện trường chỉ có thành phần x tại điểm đặt điện tử

Điện trường E lx có thể biểu diễn qua các toán tử sinh và toán tử hủyphoton ^a+l¿¿

(t) và ^a l(t) :

E lx =−i√ℏω l

ε0v sin k l z¿

Xem xét chuyển mức từ trạng thái ban đầu của hệ |2, n l⟩ đang có nguyên

tử mức 2, còn mode thứ l chứa n llượng tử vào trạng thái cuối cùng |1, n l+1⟩,trong đó nguyên tử nằm ở mức thấp nhất 1, còn trường “ còn giữ ” thêm một

photon.Trong thái đầu và cuối có gần như cùng một năng lượng, sao cho xácsuất :

a, Thời gian sống tự phát

Xác suất chuyển mức tự phát vào mỗi mode đơn lẻ được xác định bởibiểu thức (2.4) Tổng xác suất chuyển mức tự phát được xác định bởi cácchuyển mức tự phát trong tổ hợp các mode với tần số gần với (E2−E1)

Xác suất này có thể tìm được nếu nhân (2.4) với mật độ năng lượng cáctrạng thái: 8π ν hc23V và lấy tích phân kết quả vừa nhận được theo toàn bộ nănglượng:

W tp=4 e

2x122 ω3

E0hc3Chúng ta nhớ rằng kết quả vừa nhận được khi giả thiết rằng nguyên tửđược đặt trong trong điện trường cực đại vì thê trong (2.2), sin(kz)=1 Khitương tác với nguyên tử với tổ hợp các mode nó được thực hiện với giá trịtrung bình của tất cả các mode :

W tp =t−1tp =2e

2x122 ω3

E0h c3 ,ω= E2−E ℏ 1(2.5)

b,Các chuyển mức cưỡng bức, cảm ứng bởi trường đơn sắc

Xác suất chuyển mức cưỡng bức, là một phần của tổng xác suất cácchuyển mức, tỷ lệ thuận với năng lượng trường điện từ và được xác định bởibiểu thức (2.3) Chúng ta quan tâm tới các chuyển mức “ bị ” cảm ứng bởitrường đơn sắc (trường sẽ được gọi là đơn sắc nếu bề rộng vạch phổ của nótương đương với bề rộng tự nhiên của chuyển mức nguyên tử ) Phân tích từbiểu thức (2.3) tìm đặc trưng của các chuyển mức bởi tương tác với mỗi modeđơn lẻ.Vì tần số của trường được giả thiết là cho trước, phân bố của các trạngthái cuối cùng, mà tích phân (2.3) lấy theo chúng, được gây ra chỉ bởi “ độnhòe ” của nhảy mức nguyên tử, mô tả bởi hàm chuẩn hóa dạng đường g(ν)

Nhân (2.3) với g(ν)/h, trong đó, ν=(E2−E1)/h và lấy vi phân theo toàn

bộ năng lượng, ta nhận được:

Số lượng tử n l có thể biểu diễn qua thông lượng công suất (công suất

trên một đơn vị diện tích )

c, Các chuyển mức giữa các mức suy biến

Giả sử mức trên cùng g2 suy biến bội hoặc tách thành g2 các mức gầnnhau, toàn bộ chúng có bề rộng nhỏ hơn so với (E2− E1) Cũng giả sử rằng g1cũng suy biến với bội g1

Chúng ta xem xét chuyển mức giữa các nhóm mức đã được chỉ ra Khác với các chuyển mức giữa 2 mức đơn lẻ, xác suất chuyển mức tự phátgiữa 2 và 1 tăng lên trong trường hợp này vào g1 lần (số trạng thái hữu hạn )

so với biểu thức (2.5), có nghĩa là :

1

t tp =g1 ( 1

t tp)ksb(2.7)

các ký hiệu : cb – cưỡng bức : tp – tự phát

: ksb – không suy biến

Xác suất chuyển mức cưỡng bức từ 2 →1 cũng tăng g1 lần, sử dụng(2.6) và (2.7) ta tìm được :

8 π(hν)(t¿¿tp) ksb g(ν) = λ

2I ν 8π(hν)(t¿¿tp) g(ν),(2.8)¿¿

Xác suất chuyển mức cưỡng bức từ 1 →2 tăng hơn so với trường hợpkhông suy biến vào g2 lần(số trạng thái hữu hạn) :

g1 Giá trị thực của xác suất các chuyển mức lên vàxuống, trong trường hợp này đã không bằng nhau

1.3 Các kết luận về xác suất các chuyển mức cưỡng bức & các chuyển mức tự phát theo Einstein

Các kết quả ở phần (1.2) có thể dẫn ra bằng con đường khác theoEinstein

Chúng ta cùng ông xem xét tương tác nguyên tử với trường bức xạ củavật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T Mật độ phổ năng lượng của trường này đượcxác định bằng biểu thức :

W12' =B12ρ(ν),(3.3)

trong đó, A=t1

tp, B21vàB12 –các hằng số phụ thuộc vào các dữ kiện cụ thể

Nếu mẫu ở trong trạng thái cân bằng nhiệt với nhiệt độ T, xác suấtchuyển mức 2→1 bằng xác suất 1 →2, từ đó :

N2W21' =N1W121 (3.4)

Tỷ số các “ cư dân ” của các mức N2

N1 được xác định bởi phân bố

(3.9) là kết quả cơ bản của phép dẫn mà Einstein lần đầu tiên đưa ra(Einstein A Phys Z., 1917 18.121)

Tương ứng với (3.2) và (3.9) xác suất chuyển mức cưỡng bức, nhờtương tác với trường, bằng :

Để xác định xác suất chuyển mức W21 trường cảm ứng đơn sắc, chúng

ta giả thiết rằng các xác suất của các chuyển mức bởi các thành phần các tần

số khác nhau của điện trường là như nhau, sao cho (3.10) là trường hợp riêngcủa biểu thức chung :

Trong trường hợp điện từ trường đơn sắc tần số ν với mật độ nănglượng ρ(ν), mật độ phổ năng lượng bằng :

Nếu sóng đơn sắc lan truyền trong môi trường với “ cư dân ” ở các mức

N2 và N1 thì sự thay đổi mật độ thông lượng công suất I νđược tạo điều kiệnbởi các chuyển mức cưỡng bức :

1.4.Chuyển mức kết hợp giữa các mức năng lượng

Phân tích hiệu ứng phát xạ cưỡng bức và hấp thụ dẫn chúng ta tới biểuthức (3.15) nhờ đặt cơ sở trên giả thiết rằng cường độ các chuyển mức giữacác mức 1→2, hưởng ứng bởi trường trong dải quang học không phụ thuộc

vào thời gian Giả thiết này không phải lúc nào cũng đúng Nếu quay lại kếtluận của (3.15), chúng ta sẽ thấy rằng nó dựa trên cơ sở của “ qui tắc vòngFermi ” (3.17) và tương ứng với (3.18), chỉ đúng khi |H km ' |/ℏ≪ ∆ ν, trong đó

H km ' - phần tử ma trận nhiễu loạn, tương ứng với trạng thái đầu và trạng tháicuối, còn dải tần số ∆ ν là độ không xác định của năng lượng của trạng tháicuối cùng.Tính không xác định này là do sự phân bố các trạng thái cuối hoặcnhư “ nở ” rộng đồng nhất (vạch phổ) nếu ∆ ν được xác định bởi thời giansống trên các mức năng lượng k và m

Trên thực tế, chúng ta bắt gặp các trường hợp khi mà bất đẳng thứcđảm bảo cho tính đúng đắn của quy tắc Fermi bị “ phá vỡ ” và|H km ' |/ℏ≫ ∆ ν.Điều này có thể “ đi ” qua với cường độ trường đủ lớn hoặc khoảng tần số ∆ ν

rất hẹp

Xét hệ ở đó tham gia tương tác chỉ có 2 mức năng lượng Kí hiệu cácmức ấy là 1 và 2 Các hàm sóng u1vàu2 không phụ thuộc vào thời gian, tươngứng với các mức đó là các hàm riêng của hamiltonian không nhiễu loạn ^H0 :

^

H0u1=E1u1,

^

H0u2=E2u2,(4.1)

trong đó, E1và E2 là năng lượng của các mức

Toán tử nhiễu loạn, gây bởi tương tác của trường dao động kiểu

sin Π cosωt (Π−biênđ ộđiệ n tr ư ờ ngho ặct ừ tr ư ờ ng) có dạng :

^H ' =^μ Π cosωt ,( 4.2 )

trong đó, ^μ - toán tử tương ứng, và ω=ω2−ω1

Chúng ta viết biểu thức cho hàm sóng nhiễu loạn phụ thuộc vào thờigian: Ψ(t)=a1(t)u1exp(−i ω1t)+a2(t)u2exp(−iω2t),(4.3)

trong đó, ω1,2=E1,2/ℏ còn Ψ(t) thỏa mãn phương trình Schrodinger có chứathời gian :

[H^0+ ^H ' (t )]Ψ(t) =[^H0+ ^μ

2 Π (e iωt +e −iωt)]Ψ =iℏ ∂Ψ ∂ t (4.4)

Thay (4.3) vào (4.4) sau đó nhân với u2¿ và lấy tích phân :

iℏ a2exp(−iω2t)= 12Π a1⟨2 |μ| 1⟩exp[−i(ω+ω1)¿t](4.5)¿

(Khi dẫn (4.5) chúng ta đã sử dụng :⟨1 |μ| 1⟩=⟨2 |μ| 2⟩=0 và bỏ qua

Π

2 a1⟨2 |μ| 1⟩exp[−i(ω−ω1)t] ở vế phải của đẳng thức này, bởi hệ số pha daođộng tới tần số hoàn toàn khác với các tần số của 2 phần tử còn lại và lấytrung bình theo thời gian đóng góp của tử này vào a2 được bỏ qua vì quá nhỏ)

Bằng phương pháp tương tự chúng ta cũng nhận được :

iℏ a1exp(−iω1t)= 12Π a2⟨1 |μ| 2⟩exp[i(ω−ω')t](4.6)

Ký hiệu độ lệch tần số so với tần số cộng hưởng :

∆=ω−(ω2−ω1 ) và μ12=⟨1 |μ| 2⟩

Viết lại các phương trình cuối cùng :

iℏ a2= 12Π μ12¿ a1exp (−i∆ t) (4.7)

iℏ a2exp(−iω2t)= 12Π a1⟨2 |μ| 1⟩exp[−i(ω+ω1)¿t]¿

iℏ a1exp(−iω1t)= 1

iℏ a1= 12Π μ12a2exp (i ∆ t)

Các phương trình này được giải với biến số a1(t) và a2(t)

Chúng ta sẽ tìm nghiệm của (2.1.1) dưới dạng :

Từ (2.1.7) và (2.1.8) ta nhận được :

A1

+ ¿= ∆−Ω 2Ω , A1

− ¿= ∆+Ω 2Ω( 2.1.9 ) ¿

¿

Thay (2.1.4) và các biểu thức này vào (2.1.6) và sử dụng (2.1.1) chúng

ta nhận được nghiệm số cần tìm ở dạng cuối cùng :

a1(t) =[cos Ωt

2 −i ∆ Ω sin Ωt2 ]exp(i ∆ t

2 )(2.1.10)

a2(t)=−i δ Ω1sin Ωt2 exp(−i ∆ t2 )( 2.1.11 )

Ở điều kiện cộng hưởng ω=(ω2−ω1)⇒ ∆=0 và ∆=δ1,khi ấ y :

đã giả thiết rằng ^μ –toán tử mômen lưỡng cực thay đổi với tần số ω2−ω1, khi

ấy toàn bộ các nguyên tử sẽ phát xạ ở tần số ω2−ω1¿

2.2 Tìm dạng của tenxơ độ thẩm phi tuyến

Không gian vật lý của bài toán được xây dựng với điều kiện tác động ,đồng thời lên môi trường chiết quang và điện môi 2 trường sáng có mối quan

Chúng ta phải xác định tenxơ độ thẩm phi tuyến d ijk ! (trong đó, tenxơ

d ijk phải trùng với định nghĩa Kleinman và theo định nghĩa của Bloen bergertenxơ độ thẩm X ijk liên hệ với d ijk bởi : X ijk =2d ijk )

Tenxơ độ thẩm phi tuyến d ijk được xác định nhờ mối quan hệ với biên

( Phải nói thêm rằng chỉ các tinh thể không đối xứng tâm mới có tenxơ ^d

khác không Điều này được suy ra từ khái niệm đối xứng : trong tinh thể với tâm

của chúng Sử dụng (2.2.4) chúng ta nhận được :

E0d ijk ω3 =ω1+ω2E(J ω1)E k(ω2)=−E0d ijk ω3 =ω1+ω2(−E¿¿J(ω1))(−E(k ω2)) ¿

cuản các yếu tố đó có thể nói rằng : tinh thể chất lỏng hoặc chất khí bất kỳ đều

Bài toán này được giải quyết theo các kết quả nhận được từ thựcnghiệm Trong phần lớn các thực nghiệm nghiên cứu quang phi tuyến của cáctinh thể “trong suốt” trong toàn dải giới hạn bởi các tần số ω1,ω2vàω3

Điều quan trọng dẫn tới ⃗Plà hàm đơn trị ⃗E (có nghĩa là P(t) được xácđịnh bằng giá trị tức thời của trường E(t) ở thời điểm t Sự hấp thụ ánh sáng rõnét ở tinh thể xảy ra khi xuất hiện hiệu ứng tán sắc tần số và trong trường hợpnày phân cực phi tuyến được xác định bởi giá trị của trường và cả ở thời điểmsau đó )

Chúng ta viết lại đẳng thức cho ⃗P :

P i(t)=ε o d ijk E j(t)E k(t) (2.2.6)

Bởi sự thay đổi vị trí E j và E ktrong (2.2.6) không thay đổi đại lượng P i

nên d ijk =d ikj.Vì vậy, chúng ta có thể thay 2 chỉ số k j bằng một số ký hiệu chỉ sốduy nhất, như đã được sử dụng trong tinh thể học

xx=1, yy=2, zz=3, yz=zy=4 ,xz=zx=5,xy= yx=6

Và bây giờ dij là ma trận 3x6, tác dụng lên của nó lên “vectơ ” - cột ⃗E2,chúng ta nhân được vectơ phân cực ⃗P :

Ở đây, trong trường hợp không có “ thất thoát ” các chỉ số tần số ở d ijk

được bỏ qua Trong các ký hiệu ngược của phần tử tenxơ ^d cũng thỏa mãnmối tương quan đối xứng như các phần tử tenxơ áp điện, đối với nhóm đốixứng điểm này các tenxơ có cùng một dạng

Lấy ví dụ ở tinh thể KH2PO4 (KDR) có nhóm đối xứng 4’2m, tenxơ dijbằng:

2.3.Tương tác phi tuyến của các trường hợp điện từ

Chúng ta viết phương trình Macxoen :

trong đó, Χ tt - độ thẩm tuyến tính được coi là vô hướng.

Phương trình thứ nhất của (2.2.1) được viết lại :

rot ⃗ H=σ ⃗E + ∂ ∂t(ε ⃗E)+∂ ⃗P ktt

Ở đây chúng ta đã sử dụng : rot rot ⃗E=grad div⃗E −∇2⃗E và div⃗E=0

Chúng ta quay trở về trường hợp một chiều để phân tích (2.3.5) Chiềulan truyền sóng trường được chọn dọc theo trục OZ, và vì vậy, ∂ x ∂ = ∂ ∂ y=0

Giới hạn chỉ xem xét tương tác của 3 tần số và các trường tương ứngđược mô tả dưới dạng sóng chạy phẳng :

E i(ω1 ) (z,t) = 12[E 1i(z).e i(ω1t−k1z)+k c ]

E i(ω2 ) (z,t) =12[E 2k(z).e i(ω2t−k2z)+k c ]

E i(ω3 ) (z,t) = 1

2[E 3 j(z).e i(ω3t−k3z)+k c ] ](2.3.8)

trong đó, i, j, k ký hiệu tọa độ Đề Các x và y Chúng ta thấy rằng khi

⃗P ktt =0 , nghiệm của phương trình (2.3.5) là (2.3.6) với biên độ không phụthuộc vào z Tìm biểu thức, ví dụ cho thành phần thứ i của phân cực khôngtuyến tính ở tần số ω1=ω3−ω2 được xem xét ở chương sau

2.4.Kích hoạt hài dao động thứ 2 của sóng ánh sáng

Lần đầu tiên Franken P.A và các công suất đã tiến hành thực nghiệmkích hoạt hài dao động thứ 2 của sóng ánh sáng Tia sáng laser rubin (hồngngọc) với λ=6940 A0 được điều tiêu lên bề mặt thanh tinh thể thạch anh Kếtquả phân tích bức xạ truyền qua nhờ máy phân tích quang phổ, đã phát hiện

rằng bức xạ đầu ra chứa thêm tần số phân đối λ ' =3470 A0 Việc sử dụng vậtliệu mẫu có độ phi tuyến cao và nguồn laser công suất lớn cùng với việc thựchiện các điều kiện đồng bộ không gian, những năm gần đây cho phép tănghiệu suất biến đổi tới 65% (thay vào việc trước đây khi Franken tiến hành thínghiệm đầu tiên chỉ có dưới 20%)

Hành trình đi tìm biểu thức cho d E 1i

dt với việc cho σ là hàm của tần số

và giả thiết rằng sự thay đổi biên độ phức của các trường dọc theo trục OZ là

đủ chậm với điều kiện ω12μ0ε=k12(xem ở chươ ng sau) Chúng ta có được biểuthức :

” thành bức xạ tần số 2ω1 được cho là rất nhỏ, sao cho

Nếu E 3 j( 0 ) =0 ( không có đa hài 2 ở đầu vào ) thì với tinh thể có chiềudày L, nghiệm của (2.4.2) sẽ có dạng :

2.5.Điều kiện đồng bộ không gian

Từ (2.4.5) chúng ta nhìn thấy rằng để nhận được công suất đáng kể của

đa hài thứ hai cần phải thỏa mãn điều kiện ∆ k=0 Điều kiện này mang tênđiều kiện đồng bộ không gian ( index matching condition – điều kiện đồng bộ

- cân bằng các chỉ số, có nghĩa là, các chỉ số khúc xạ )

k3(J) =k1(i) +k2(k)(2.5.1)

Nếu điều kiện (2.5.1) được thực hiện thì P (2ω) ≈ L2 !

đi qua hàng loạt các giá trị =0 và = max cách biệt nhau bởi “ độ dài kết hợp ”

lc , trong đó :

k3(J) −k1(i) −k2(k)= π ∆ k(2.5.2)

Khi ∆ k≠ 0, sự đóng góp vào E 3 j(z)từ các phần tử độ dài nhỏ vô hạn dzcủa tinh thể khác pha và hoàn toàn trung hòa trên khoảng cách lc

Nếu như ∆ k=0 thì toàn bộ tinh thể (độ dài L) tác dụng như siêu mạngđồng pha của các lưỡng cực điện với bức xạ cực đại theo phương lan truyềnsóng

Điều kiện đồng bộ không gian, tất nhiên, không thể thực hiện ở vật liệuvới tán sắc thường [n(ω)tăngtheo chiề ềudài củủaω] bởi với sự phân cực k3>2k1 ởcác vật liệu này

Minh họa hiệu ứng này ở tinh thể KH2PO4 (KDR) sẽ được trình bày ởchương sau

2.6.Hấp thụ hai photon

Trong các quá trình xảy ra hiện tượng quang phi tuyến, trường hợp có

P ktt =E0E2d (bỏ qua chỉ số) là một trường hợp đặc biệt Biểu thức cho phân cựckhông phi tuyến tương đương với :

Chúng ta sẽ xem xét quá trình quang phi tuyến này với việc sử dụnghiểu biết cơ học lượng tử về lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian sẽđược trình bày ở chương sau.

Ch¬ng III: Mét sè bµi to¸n bµn vÒ c¸c hiÖu

øng cña

quang häc phi tuyÕn

3.1 Đánh giá độ lớn của các phần tử tenxơ ^d

Bài toán 1:

chuyển động của của điện tử khi nó có thêm yếu tố không điều hòa bổ sung

vào thế năng có dạng :

¨X +γ ˙X+ω02+D X2 =e E0

2m (e iωt +e −iωt),(3.1.1)

trong đó, X – dịch chuyển của điện tử khỏi vị trí cân bằng, mDX2 − ¿

lực hồi trả không điều hòa tương ứng với đại lượng mDX3/3− ¿khi khai triển

thế năng,

Vì chúng ta quan tâm tới độ lớn phần cực ở tần số 2ω, nên chúng ta sẽ

Dựa vào mối quan hệ này nhóm đã đưa ra bảng các phần tử của tenxơ

độ thẩm không tuyến tính và của tenxơ ^δ ở một số tinh thể dựa vào công thứcthực nghiệm:

4π ε0mr04,

với r0=5 A0,D ≈−1,6.1041m−1s−2nếu N=6.1028m−3,δ=3,9 10−13m V

3.2.Tenxơ phân cực phi tuyến

Chúng ta viết lại biểu thức (2.3.3) :

Thực hiện phép vi phân và cho rằng sự thay đổi biên độ phức của các

trường dọc theo trục z là “ đủ chậm ” sao cho :

d E 1i

2E 1i

d z2Chúng ta nhận được :

∇2E i(ω1 ) (z t) =1

2[k12E 1i(z)+2i k1d E 1 i (z)

dz ]e i(ω1t−k1z)+lhp(3.2.3)

Biểu thức tương tự có thể viết cho ∇2E(j ω3)(z t) và ∇2E k(ω3)(z t)

Đưa (3.2.3) vào (2.3.5) chúng ta nhận được phương trình sóng cho

trong đó, ∂ t ∂ =iω Chúng ta lại giả thiết rằng nếu số mode tham gia tương tác là

hữu hạn (có nghĩa là số ω n cũng là hữu hạn) thì phương trình (2.3.5) phải thỏa

mãn với từng thành phần phổ bức xạ (hấp thụ) một cách riêng rẽ

Thay tiếp tục [P ktt(ω1 )(z t )]i vào phương trình cuối cùng, nhờ “sự giúp đỡ”

của (3.2.1) và lưu ý rằng ω12μ0ε=k12 chúng ta đi tới biểu thức :

3.3 Điều kiện đồng bộ không gian ở các tinh thể khúc xạ kép

Bài toán 3:

Minh họa phương pháp thực hiện điều kiện đồng bộ không gian ở các

Tinh thể KDR là tinh thể đơn trục âm bởi n n (ω) <n0(ω) . Hình vẽ dưới đâychỉ

ra mặt cắt của các mặt chỉ số khúc xạ cho tia thường và tia bất thường ở tần số

ω và 2ω Nếu n n (2ω) <n0(ω) thì các mặt phẳng của chỉ số khúc xạ giao nhau, vàđiều kiện n n(2ω)(θ)=n (ω)0 được thực hiện khi 𝜃 =θ đb hay khi 0=π−θ

Nói một cách khác, đồng bộ không gian xuất hiện (chỉ) khi tia cơ bản(chính) là tia thường, và chiều lan truyền hai tia tạo thành góc θ đb với trụcquang học của tinh thể