Hệ phương trình chọn lọc và giải chi tiết trong các đề thi thử 2015

Tổng hợp những câu hệ phương trình hay và được giải chi tiết có bình luận thích hợp cho học sinh 10 11 12 và ôn thi ĐH CĐ .

L i m đ u ời mở đầu ở đầu ầu

1. (1  x ) 1   x (1  x ) 1  x   1  x2  1 2 2

(Trích Đ s 35 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ố 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:   1 x 1

(Trích Đ s 34 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ố 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x0;y0

Phương trình tương đương: ng trình 1 tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng:

(Trích Đ s 36 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ố 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n xác đ nh: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: ịnh: x    5;3 

… Suy ra hàm s ố 35 của ĐTN-Mathlinks) f t( ) đ ng bi n trên ồng biến trên ến trên ( 15; 3)  ; ngh ch bi n trên ịnh: ến trên ( 3;9)

Khi đó phương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng

ương trình tương đương: ương trình tương đương: ương trình tương đương: 3x x  4 x2 (lo i)ại)

V y phậy phương trình có nghiệm ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: x 2

(Trích Đ s 32 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ố 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Phương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng

2 2 2

T (1) và (2) đ d u b ng x y ra khi ch khi ừng cái bằng cách quy đồng với bình phương ể dấu bằng xảy ra khi chỉ khi ất phương trình tương đương: ằng xảy ra khi ảy ra khi ỉ khi x 1

V y nghi m c a b t phậy phương trình có nghiệm ện: ủa ĐTN-Mathlinks) ất phương trình tương đương: ương trình tương đương: ng trình x 1.

4. x2 9 x   1 x 11 3  x  2 x  3 ( Châu Thanh H i- ĐHKH Hu )ảy ra khi ến trên

Đi u ki n :ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

Phương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng:

 ( Châu Thanh H i- ĐHKH Hu )ảy ra khi ến trên

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x 3

Phương trình tương đương: ng trình 1 tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng:

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình trên có nghi m ện: ( ; ) x y   0; 3 ; 3;0 ; 1;2      

6. (5 x  4) 3 x  2 5 2   x  (6 x  1) x  3 ( Châu Thanh H i- ĐHKH Hu )ảy ra khi ến trên

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

13

x  x 

7. x 1 2 2x3(x1)(x2 2)

(Đ thi th ĐH Vinh 2014)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ử ĐH Vinh 2014)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x 1

Nh n th y ậy phương trình có nghiệm ất phương trình tương đương: x 1 tho mãn phảy ra khi ương trình tương đương: ng trình.

Xét x  1, phương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng

Do đó phương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng: x 3 0  x3

V y phậy phương trình có nghiệm ương trình tương đương: ng trình có 2 nghi m ện: x 1; x 3

8.

3 3

3 3

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x y ; 2 ;x y , 0 ;

10

x y

TH1: x y f y( ) f x( )

(*) 0 (*) 0

VP

PTVN VT

VP

PTVN VT

VP VT

3 3

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: 5 y2   0 5 y 5 Phư ng trình 1 tơng trình tương đương: ương trình tương đương: ng đương trình tương đương: :ng

10. x2 5 x  4 1   x3 2 x2 4 x 

(Trích đ thi th ĐH Vinh 2015)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ử ĐH Vinh 2014)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

B t phất phương trình tương đương: ương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng: (x22x 4) 3 x4 x x( 22x 4)

TH1:   1 5   x 0 Khi đó:x2 2 x   4 0;3 x  0 H n n a hai bi u th c không đ ng th i b ng 0ơng trình tương đương: ữa hai biểu thức không đồng thời bằng 0 ể dấu bằng xảy ra khi chỉ khi ức không đồng thời bằng 0 ồng biến trên ời bằng 0 ằng xảy ra khi .

Vì v y ậy phương trình có nghiệm (x2 2x 4) 3 x0 4 x x( 22x 4)

Suy ra   1 5   x 0 tho mãn b t phảy ra khi ất phương trình tương đương: ương trình tương đương: ng trình đã cho.

TH2: x   1 5 Khi đó x22x 4 0 Đ t ặt a  x2 2 x  4 0;  b  x  0 B t phất phương trình tương đương: ương trình tương đương: ng trình tr thành:ở thành:

a2 3 b2 4 ab  ( a b a  )(  3 ) 0 b     b a 3 b

2 2

(Trích đ thi th ĐH Vinh 2015)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ử ĐH Vinh 2014)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: 4 x2   0 2 x 2

Phương trình tương đương: ng trình đã cho tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng :

D u “=” (2)ất phương trình tương đương: ở thành: x y ra khiảy ra khi x0;x2

Đ t ặt t 3 x2  2 x Đi u ki n ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: t    1;2 

D u “=” x y ra (3) khi ất phương trình tương đương: ảy ra khi ở thành: x0;x2

T (2) và (3) chúng ta có nghi m c a phừng cái bằng cách quy đồng với bình phương ện: ủa ĐTN-Mathlinks) ương trình tương đương: ng trình (1) là x0;x2

V y phậy phương trình có nghiệm ương trình tương đương: ng trình trên có 3 nghi m ện: x0;x2

 ( Trích Đ thi th ĐH H ng Quang 2015)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ử ĐH Vinh 2014) ồng biến trên

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: xy 0

H phện: ương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng:

Do xy 0 không tho mãn, t phảy ra khi ừng cái bằng cách quy đồng với bình phương ương trình tương đương: ng trình (1) suy ra x5y0 l i có ại) xy 0 nên x0;y0

H phện: ương trình tương đương: ng trình  2 2

Th ến trên x5y vào (2) ta đượcc: x5;y1

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; )x y (5;1)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x y ; 0

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki ta có: ụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 ( x  1)(y 1)    x  y 2

T phừng cái bằng cách quy đồng với bình phương ương trình tương đương: ng trình 1 c a h , ta có: ủa ĐTN-Mathlinks) ện: 20 (  x  1)( y  1)( xy  4) (  xy  4)  x  y 2

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x y , 0

Phương trình tương đương: ng trình 2 c a h tủa ĐTN-Mathlinks) ện: ương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng:

4 2

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

0 2

x y xy

T ừng cái bằng cách quy đồng với bình phương (*) và (**) x y 1

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình ( ; )x y (1;1)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

2

2 2

0

2 0

2 0 0

(Huỳnh Kim Kha)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x 0

Xét x 0 không là nghi m phện: ương trình tương đương: ng trình.

Xét x 0 Phương trình tương đương: ng trình tương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng

(B n Bình Phại) ương trình tương đương: ng)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

2

3

0 2

T (4) và (5), ta suy ra ừng cái bằng cách quy đồng với bình phương x y 

D u “=” x y ra các b t đ ng th c khi ất phương trình tương đương: ảy ra khi ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 x y 1

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; )x y (1;1)

 ( Bình Phương trình tương đương: ng)

Vì x 0 không là nghi m nghi m c a h phện: ện: ủa ĐTN-Mathlinks) ện: ương trình tương đương: ng trình Xét 2 kh năng:ảy ra khi

 (Nguy n Thanh Tùng)ễn Thanh Tùng)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: y  0;0   x 2

T (3) và (5) ta suy ra ừng cái bằng cách quy đồng với bình phương y  2; x  1

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; ) (1;2) x y 

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

Đi u ki n:ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x1;y0

Áp d ng b t đ ng th c AM-GM: ụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 x y    1 2 x y (  1)

L y (3)+(4)ất phương trình tương đương:  4 x x y   4 x x4  3 y  4 x2 8 x  4

D u “=” x y ra ất phương trình tương đương: ảy ra khi  x 1 y0

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; )x y (1; 0)

 (B n BÌnh Phại) ương trình tương đương: ng)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

2 2

14 6

09

x y

xy y x

(Công phá kì thi THPT Quốc Gia)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

3

t   x   x t  

2 2

 (B n Bình Phại) ương trình tương đương: ng)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

0 0

Áp d ng b t đ ng th c AM-GM: ụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 6 4(3 x3y3)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

6 5

x 

;

1 5

y 

(1) (2)

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; )x y (2;1)

28. ( x2 2 x  1) x2   x 1 x3 4 x2 2 x  1 (Trích đ 28 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

 (Nguy n Minh Thành)ễn Thanh Tùng)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

0 0

x y

y y

 (Trích đ s 21 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ố 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

0 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

2 1

x x

x x

3

1 1 3

1 1 33

B t phất phương trình tương đương: ương trình tương đương: ng trình cu i đúng ố 35 của ĐTN-Mathlinks)

Suy ra 3 1 3  x4  2 x2  2 x x2 3

D u “=” x y ra khi và ch khi ất phương trình tương đương: ảy ra khi ỉ khi x 1 Vì b t phất phương trình tương đương: ương trình tương đương: ng trình d u l n h n.ất phương trình tương đương: ới ơng trình tương đương:

V y t p nghi m b t phậy phương trình có nghiệm ậy phương trình có nghiệm ện: ất phương trình tương đương: ương trình tương đương: ng trình S  \ 1  

2 6 1

 (Công phá kì thi THPT Qu c gia)ố 35 của ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x y xy     1 0

 (Công phá kì thi THPT Quốc Gia)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: xy  0

Ta ch ng minh b t đ ng th c sau:ức không đồng thời bằng 0 ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0

L y ất phương trình tương đương: (1) (2)  x y  2(x2y2)  xy

D u “=” x y ra khi ất phương trình tương đương: ảy ra khi x y   1

H phện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; ) (1;1) x y 

1 2 1

1

2 1 1

2

u x u v y

u v

 (Công phá kì thi THPT Quốc Gia)

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki, ta có:ụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0

Ta ch ng minh b t đ ng th c sau: ức không đồng thời bằng 0 ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 3(4x2y 3) 4x33y22

Th t v y, b t đ ng th c tậy phương trình có nghiệm ậy phương trình có nghiệm ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 ương trình tương đương: ng đương trình tương đương: ng: 3(4 x  2 y  3) 4  x3 3 y2 2

 Suy ra b t đ ng th c trên đúng.ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0

D u “=” x y ra khi và ch khi: ất phương trình tương đương: ảy ra khi ỉ khi x y   1

Ta thay vào PT(2) th y luôn tho mãn.ất phương trình tương đương: ảy ra khi

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; ) (1;1) x y 

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: 2 x 4

 (Bình Phương trình tương đương: ng)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

x x

x x

 (Trích đ 18 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x 0 T PT(2), ta có:ừng cái bằng cách quy đồng với bình phương

2 2

 (Huỳnh Kim Kha)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x  1; y  3

(1) (2)

 (Trích đ 41 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x   0; 2   x 2

(1) (2)

L y ất phương trình tương đương: (1) (2)    y  1   x  1 1    2  y2  x  y  2  y2  5

Ta có h phện: ương trình tương đương: ng trình m i: ới    

a a b a

1

1

x x

x  x x  x   x  (Trích đ 29 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Ta th y ất phương trình tương đương: x 0 ko là nghi m c a phện: ủa ĐTN-Mathlinks) ương trình tương đương: ng trình.

(3) (4)

 2 

2 2

x  x      (Trích đ s 37 c a ĐTN-Mathlinks)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ố 35 của ĐTN-Mathlinks) ủa ĐTN-Mathlinks)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: x 0

x x

x x

x a

x a b x ab xab b

mà

1 50

2

x  x 

V y phậy phương trình có nghiệm ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện:

1 52

2 2 2

V y h phậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; ) ( 2; 1) x y   

Bài t p tậy phương trình có nghiệm ương trình tương đương: ng t : ự:

 (Chi u Thu Th Ph m)ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ịnh: ại)

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki: ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 a b   2( a2 b2)  y  1  2 y xy x   2  2 3  y xy x   2 1 

Ta c n ch ng b t đ ng th c sau: ần giải 1 phương trình ức không đồng thời bằng 0 ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0  2  2

2 3 y xy x    1  2 y  2( y  2) x  10 y

 (x y 1)2 0

Suy ra b t đ ng th c luôn đúng ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0  y  1  2 y xy x   2  2 y2 2( y  2) x  10 y

D u “=” x y ra khi và ch khi ất phương trình tương đương: ảy ra khi ỉ khi x y   1

 (Châu Thanh H i)ảy ra khi

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

0;1 1;0

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện: y  1;0   x 1

2 5

D u “=” x y ra khi ất phương trình tương đương: ảy ra khi x   1 y  2

V y h ph ậy phương trình có nghiệm ện: ương trình tương đương: ng trình có nghi m ện: ( ; ) (1;2) x y 

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

Ta sẽ ch ng minh r ng: ức không đồng thời bằng 0 ằng xảy ra khi ( a2  b2)  a4 b4  4 a b2 2  2( a2 b2) 3  ab  

Mà theo b t đ ng th c AM-GM, ta có: ất phương trình tương đương: ẳng thức Bunhiacopxki ta có: ức không đồng thời bằng 0 a2 b2  2 ab

Đi u ki n: ề số 35 của ĐTN-Mathlinks) ện:

6 0