Cho tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng P và điểm S không thuộc P.. a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD.. b Nếu tứ giác ABCD không phải là một hình thang, tìm giao tuyến của S
Trang 1D
C B
A
O
I J
A
B C
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Cho tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và điểm S không thuộc (P).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Nếu tứ giác ABCD không phải là một hình thang, tìm giao tuyến của (SAB)
và (SCD); (SAD) và (SBC)
Giải:
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD:
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
⇒
⊂
∈
⊂
∈
) (
) (
SDB
BD
O
SAC
AC
O
O là điểm chung (SAC)
và (SBD)
⇒ SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
b) * Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD):
Ta có: S là điểm chung của (SAB) và (SCD)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của AB và CD
⇒
⊂
∈
⊂
∈
) (
) (
SCD
CD
I
SAB
AB
I
I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
⇒SI là giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD)
* Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Ta có: S là điểm chung của (SAD) và (SBC)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi J là giao điểm của AD và BC
⊂
∈
⊂
∈
) (
) (
SBC
BC
J
SAD
AD
J
⇒ J là điểm chung của (SAD) và (SBC).
⇒ SJ là giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2 Cho mp (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên
mặt phẳng (P) Giả sử ba đường thẳng AB, BC và AC đều cắt (P) CMR
ba giao điểm đó thẳng hàng
Giải:
Ta có A, B, C không thẳng hàng
⇒ Có 1 mp chứa 3 điểm A, B, C
Gọi (ABC) là mặt phẳng chứa A, B, C
M, N, K lần lượt là giao điểm của AB, BC, AC với (P)
⇒ N, N, K lần lượt thuộc hai mặt phẳng (Q) và (ABC)
Vậy M, N, K thẳng hàng
Trang 23 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một
điểm bên trong tam giác ACD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mp(AMN) và mp(BCD)
b) MP(DMN) và mp(ABC).
Giải:
a) Tìm giao tuyến của mp(AMN) và mp(BCD):
Trong ∆ABD gọi I là giao điểm của AM và BD
Trong ∆ACD gọi J là giao điểm của AN và CD
Ta có:
⇒
⊂
∈
⊂
∈
) (
) (
BCD
BD
I
AMN
AM
I
I là điểm chung của (AMN) và (BCD) Mặt khác:
⇒
⊂
∈
⊂
∈
) (
) (
BCD
CD
J
AMN
AN
J
J là điểm chung của (AMN) và (BCD)
⇒IJ là giao tuyến của mp(AMN) và mp(BCD)
b) Tìm giao tuyến của mp(DMN) và mp(ABC)
Trong ∆ABD gọi K là giao điểm của DM và AB
Trong ∆ACD gọi H là giao điểm của DN và AC
Ta có:
⇒
⊂
∈
⊂
∈
) (
) (
ABC
AB
K
DMN DM
K
K là điểm chung của (DMN) và (ABC)
⇒
⊂
∈
⊂
∈
) (
) (
ABC AC
H
DMN DN
H
H là điểm chung của (DMN) và (ABC)
⇒HK là giao tuyến của mp(DMN) và mp(ABC).
4 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD và DA
a) CMR tứ giác NMPQ là hình bình hành
b) Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AC và BD Tứ giác MRPS là hình gì?
c) Nhận xét gì về ba đoạn MP, NQ, RS ?
Giải:
A
B
C
D
M
N
J
H I K
Trang 3C I
A
M
Q
S R
a) CMR tứ giác MNPQ là hình bình hành:
* Cách 1:
Ta có:
MN // AC vì MN là đường trung bình của tam giác ABC
PQ // AC vì PQ là đường trung bình của tam giác
ACD
⇒ MN // PQ (1)
Mặt khác:
MQ // BD vì MQ là đường trung bình của
tam giác ABD
NP // BD vì NP là đường trung bình của tam
giác BCD
⇒ MQ // NP (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành (đpcm)
* Cách 2:
Ta có:
MN là đường trung bình của tam giác ABC
⇒
= AC
MN
AC
MN
2
1
//
(*)
Mặt khác:
PQ là đường trung bình của tam giác ACD
⇒
= AC
PQ
AC
PQ
2
1
//
(**)
=
⇒
PQ MN
PQ
MN //
Tứ giác MNPQ là hình bình hành (đpcm) b)Nhận xét về tứ giác MRPS:
* Cách 1:
Ta có:
MR // BC vì MR là đường trung bình của tam giác ABC
SP // BC vì SP là đường trung bình của tam giác BCD
⇒ MR // SP (3)
Mặt khác, ta lại có:
MS // AD vì MS là đường trung bình của tam giác ABD
RP // AD vì RP là đường trung bình của tam giác ACD
⇒ MS // RP (4)
Từ (3) và (4) ⇒ Tứ giác MRPS là hình bình hành
Vậy tứ giác MRPS là hình bình hành
* Cách 2:
Trang 4B
C
D
N M
Ta có:
MR là đường trung bình của tam giác ABC
=
⇒
BC
MR
BC
MR
2
1
//
(***)
Ta lại có:
SP là đường trung bình của tam giác BCD
=
⇒
BC
SP
BC
SP
2
1
//
(****)
Từ (***) và (****)
=
⇒
SP MR
SP
MR //
⇒ Tứ giác MRPS là hình bình hành c) Nhận xét về ba đoạn MP, NQ, RS
Ta có:
MP và NQ là hai đường chéo của hình bình hành MNPQ
⇒ MP cắt NQ tại trung điểm I của mỗi đoạn (5)
Mặt khác ta lại có:
MP và RS là hai đường chéo của hình bình hành MRPS
⇒ MP cắt RS tại trung điểm I của mỗi đoạn (6)
Từ (5) và (6) ⇒ MN, NQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
Vậy MN, NQ, RS đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn
5 Cho điểm S ở ngoài mặt phẳng của hình bình hành ABCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Một mặt phẳng (P) qua AD cắt SB và SC lần lượt tại M và N Tứ giác
ADMN là hình gì?
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC):
Ta có:
S là điểm chung của (SAD) và (SBC)
Gọi d là đường thẳng đi qua S và song với AD
⇒ d ⊂ (SAD) (*)
Mặt khác:
AD // BC vì ABCD là hình bình hành
⇒ BC // d
⇒d ⊂ (SBC) (**)
⇒ d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (ABC)
b)Nhận xét về tứ giác ADMN:
Ta có
(P) ∩(SBC) = MN
(P) ∩ (ABCD) = AD
Trang 5(ABCD) ∩(SBC) = BC
Mà BC // AD
⇒ MN // AD // BC ( Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Trong tứ giác ADMN có MN // AD ⇒ Tứ giác ADMN là hình thang.
6 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt
phẳng
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF CMR OO’//(ADF) và
OO’//(BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE CMR
MN//(CEF)
a) Chứng minh rằng OO’ // (ADF) và OO’ // (BCE)
* Chứng minh OO’ // (ADF)
Ta có:
OO’ là đường trung bình của
tam giác BDF
⇒ OO’ // DF
Mà DF ⊂ (ADF)
⇒ OO’ // (ADF) (đpcm)
*Chứng minh OO’ // (BCE)
Ta có:
OO’ là đường trung bình của
tam giác ACE
⇒ OO’ // EC
Mà EC ⊂ (BCE)
⇒ OO’ // (BCE) (đpcm)
b) Chứng minh MN // (CEF)
Ta có:
= AB
EF
AB
EF //
( Vì tứ giác ABEF là hình bình hành)
=CD
AB
CD
AB //
( Vì tứ giác ABCD là hình bình hành)
=
⇒
CD
EF
CD
EF //
⇒ Tứ giác CDEF là hình bình hành
⇒ ED⊂ (CEF).
Gọi I là trung điểm của AB ta có:
3
1
=
=
IE
IN
ID
IM
(Vì M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE)
⇒ MN // ED (Định lí talet đảo)
Mà ED ⊂ (CEF)
⇒ MN // (CEF) ( Điều phải chứng minh)
B
A
D E
C
O’
O F
I N
M
.
.