CHUYÊN ĐỀ II : PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC
( TÀI LIỆU SƯU TẦM ) PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH
A/ PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
a) Thí dụ :
1) Giải phương trình (*) : x2+10x+21 = 3 x+3 + 2 x+7 − 6 2) Giải phương trình : 3x+1 + 2x 3x – 18x – 27 = 0
3) Giải phương trình : ( x2 – 3x + 2 )3= x6− ( 3x – 2 )3
4) Giải phương trình : ( 2x2 – 3x – 1 )3 – ( x2 – 2 )3 – ( x2 – 3x + 1 )3=
0
5) Giải phương trình : ( x2 – 4x + 1 )3= ( x2 – x – 1 )3 – ( 3x – 2 )3= 0
6) Giải phương trình : ( x2 – 3x + 2 )3 + ( −x2 + x + 1 )3 + ( 2x – 3 )3=
0
7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) =− 36
8) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 23 x2 +5x−2 − 2
9) Giải phương trình : 3 1 x− + x+2 = 1
10) Giải phương trình : ( x + 2 )4 + x4 = 82
11) Giải phương trình : x4 – 5x2 – 2x + 3 = 0
12) Giải phương trình :
a x x
x
+ +9
a x x
a x x
+ +
+ +
8
10 2
2
( a là hằng số )
13) Giải phương trình : ( 4x – 1 ) x2 +1 = 2 (x2 + 1 ) + 2x – 1
14) Giải phương trình : ( x2 – 2x + 2 )4 – 20x2 (x2 – 2x + 2 )2 + 64x4 = 0
15) Giải phương trình : ( x +4 )4 = 2 ( 2x + 13 )3 + 50 ( 2x + 13 )
Trang 2
⇔ ⇔
16) Giải phương trình :
20 9
1
2+ x+
30 11
1
2+ x+
42 13
1
2 + x+
x
= 18 1 17) Giải phương trình :
4 5
1
2 + x+
28 11
1
2+ x+
70 17
1
2 + x+
130 23
1
2+ x+
13
4
18) Giải phương trình :
5
349 324
5 325
4 326
3 327
x
= 0
19) Giải phương trình :
8
12 2
6
2
2 + + x +
3
7
2+
x
20)Giải phương trình :
1
3 6
16 4
2 2
2
+
− +
+
x x
5
7 3
5
2
2 + + x +
x
21)Giải phương trình :
2 3
1
+ +
1 2
1
+ +
x
x+1+
1
= 1
HƯỚNG DẪN GIẢI
1) Giải phương trình (*) : x2+10x+21 = 3 x+3 + 2 x+7 − 6 (1)
Giải (1) ⇔ (x+3)(x+7) − 3 x+3 − 2 x+7 + 6 = 0
⇔ x+3( x+7 − 3 ) − 2 ( x+7 − 3 ) = 0
⇔ ( x+7 − 3 ) ( x+3 − 2 ) = 0
7
+
3
+
Vậy : x = 1 ∨ x = 2
2) Giải phương trình : 3 x+1 + 2x 3 x – 18x – 27 = 0
(2)
Giải
(2) ⇔ 3x ( 3 + 2x ) − 9 ( 2x + 3 ) = 0
⇔ ( 2x + 3 ) (3x− 9 ) = 0
Trang 3⇔ ⇔
2 3
3) Giải phương trình : ( x 2 – 3x + 2 ) 3= x 6− ( 3x – 2 ) 3
(3)
Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) 3− ( a 3 + b 3 ) = 3ab ( a + b ) (3) ⇔ [ x2 + ( −3x + 2 ) ]3− [ ( x2 )3 + ( −3x + 2 )3 ] = 0
⇔ 3x2 (−3x + 2 ) ( x2 – 3x + 2 ) = 0
⇔ 3x2 (−3x + 2 ) ( x – 1 ) ( x – 2 ) = 0
x – 1 = 0 x = 1
4) Giải phương trình : ( 2x 2 – 3x – 1 ) 3 – ( x 2 – 2 ) 3 – ( x 2 – 3x + 1 ) 3= 0
(4)
Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) 3− ( a 3 + b 3 ) = 3ab ( a + b ) (4) ⇔ [ ( x2 – 2 ) + ( x2 – 3x + 1 ) ]3− [ ( x2 – 2 )3 + ( x2 – 3x + 1 )3 ] = 0
⇔ 3 ( x2 – 2 ) ( x2 – 3x + 1 ) ( 2x2 – 3x – 1 ) = 0
x2 – 2 = 0
2x2 – 3x – 1 = 0
x = ± 2
2
5
3±
x =
4
17
3±
5) Giải phương trình : ( x 2 – 4x + 1 ) 3= ( x 2 – x – 1 ) 3 – ( 3x – 2 ) 3 = 0
(5)
Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b ) 3− ( a 3− b 3 ) = −3ab ( a − b ) (5) ⇔ [ ( x2 – x – 1 ) − ( 3x – 2 ) ]3− [( x2 – x – 1 )3− ( 3x – 2 )3 ] = 0
⇔ − 3 ( x2 – x – 1 ) ( 3x – 2 ) ( x2 – 4x + 1 ) = 0
x2 – x – 1 = 0
⇔ 3x – 2 = 0
x2 – 4x + 1 = 0
Trang 4⇔ ⇔ ⇔
x =
2
5
1±
3
2
x = 2 ± 3
6) Giải phương trình : ( x 2 – 3x + 2 ) 3 + ( −x 2 + x + 1 ) 3 + ( 2x – 3 ) 3 = 0
(6)
Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b ) 3 + ( b – c ) 3 + ( c – a ) 3= 3 ( a − b ) ( b – c ) ( c – a )
Với : a = x2− x − 1
b = 2x – 3
c = x2 + x − 4 (6) ⇔ [ ( x2− x − 1 ) − (2x – 3 ) ]3 + [ (2x – 3 ) − ( x2 + x − 4 ) ]3 + [ (x2 + x − 4 )
− (x2− x − 1) ]3 = 0
+ 1 ) ( 2x – 3 ) = 0
x2 + x + 2 = 0 x = 1 ∨ x = 2
2
5
1±
2 3
7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = − 36
(7)
Giải
(7) ⇔ [ ( x – 2 ) ( x + 6 ) ] [( x – 4 ) ( x + 8 ) ] = − 36
⇔ ( x2 + 4x – 12 ) (x2 + 4x – 32 ) + 36 = 0 (*) Đặt : y = x2 + 4x – 12
Phương trình (*) trở thành : y ( y – 20 ) + 36 = 0
⇔ y2 – 20 y + 36 = 0
⇔ ( y – 18 ) ( y – 2 ) = 0
x2 + 4x – 14 = 0
x = ± 34 − 2
x = ± 3 2 − 2
Trang 58) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 23 x2+5x−2 − 2
(8)
Giải
Đặt : y = 3 x2 +5x−2 ⇒ x2 + 5x = y3 + 2 (*) Từ đó : (8) ⇔ y3 – 2y + 4 = 0
⇔ ( y + 2 ) ( y2 – 2y + 2 ) = 0 ( vì : y2 – 2y + 2 = ( y – 1 )2 + 1 > 0 )
Thay y = − 2 vào (*) , ta dược :
x2 + 5x = − 6 ⇔ x2 + 5x + 6 = 0
⇔ x = − 2 ∨ x = − 3
9) Giải phương trình : 31 x− + x+2 = 1
(9)
Giải
+ Điều kiện : x ≥−2
+ Đặt : t = x+2 ( t ≥ 0 ) ⇔ x + 2 = t2 ⇔ x = t2− 2
(9) ⇔ 3 3 t− 2 + t = 1
⇔ 3 3 t− 2 = 1 – t
⇔ 3 – t2 = (1 – t )3
⇔ t3 – 4t2 + 3t + 2 = 0
⇔ ( t – 2 ) ( t2 – 2t – 1 ) = 0
t – 2 = 0 ( a)
t2 – 2t – 1 = 0 (b) Giải (a) , (b) ta được : t = 2 ∨ t = 1 + 2 2 /
10) Giải phương trình : ( x + 2 ) 4 + x 4 = 82
(10)
Giải Đặt : y = x + 1 => x4 = (y – 1 )4 (10) ⇔ ( y + 1 )4 + ( y − 1 )4 = 82
⇔ y4 + 6y2 – 40 = 0 Đặt : u = y2 ( u ≥ 0 ) , ta được :
u2 + 6u – 40 = 0
⇔ ( u – 4 ) ( u + 10 ) = 0
⇔ u = 4 ; u = – 10 ( loại )
u = 4 ⇒ y = ± 2
- Với y = – 2 ⇒ x + 1 = – 2 ⇒ x = – 2
- Với y = 2 ⇒ x + 1 = 2 ⇒ x = 1 /
Trang 6⇔
Chú ý : Đối với phương trình dạng ( x + a )4 + ( x + b )4 = c (*) ( a , b , c là hằng số )
ta đặt ẩn phụ y = x +
2
b
a+
thì phương trình (*) đưa được về dạng dy4 + ey2 + g = 0 ( d , e , g là hằng số )
11) Giải phương trình : x 4 – 5x 2 – 2x + 3 = 0
(11)
Giải
(Thêm, bớt x3 ; tách 5x2 nhóm hang tử rồi phân tích thành tích )
(11) ⇔ ( x4 + x3 – x2 ) − (x3 + x2 – x ) − 3 ( x2 + x – 1 ) = 0
⇔ x2 (x2 + x – 1 ) − x (x2 + x – 1 ) – 3 (x2 + x – 1 ) = 0
x2 + x – 1 = 0
x2 – x – 3 = 0
x =
2
5
1±
−
x =
2
13
1±
12) Giải phương trình :
a x x
x
+ +9
a x x
a x x
+ +
+ +
8
10 2
2
( a là hằng số ) (12)
Giải
Đặt : y = x2 + 9x + a (12) ⇔ y x = y y−+x x (*)
⇔ xy – x2 = y2 + xy
⇔ y2 + x2 = 0
Nhưng x = y = 0 thì (*) không có nghĩa nên phương trình (13) vô nghiệm với mọi a
13) Giải phương trình : ( 4x – 1 ) x2+1 = 2 (x 2 + 1 ) + 2x – 1
(13)
Giải
Đặt : x2+1 = y ; y ≥ 1 (13) ⇔ ( 4x – 1 ) y = 2y2 + 2x – 1
⇔ 2y2− ( 4x – 1 ) y + 2x – 1 = 0
⇔ (2y2− 4xy + 2y ) − ( y – 2x + 1 ) = 0
⇔ 2y( y – 2x + 1 ) - ( y – 2x + 1 ) = 0
Trang 7⇔
⇔
⇔ ( y – 2x + 1 ) ( 2y – 1 ) = 0
y – 2x + 1 = 0 2y – 1 = 0
y =
2
1 ( Loại , do y ≥ 1 )
y = 2x – 1
y = 2x – 1 ⇔ x2+1 = 2x – 1 ⇔ x2 + 1 = ( 2x – 1 )2
⇔ 3x2 – 4x = 0 ⇔ x ( 3x – 4 ) = 0
Vậy : x = 0 ; x =
3
4 /
14) Giải phương trình : ( x 2 – 2x + 2 ) 4 – 20x 2 (x 2 – 2x + 2 ) 2 + 64x 4 = 0
(14)
Giải
Đặt : y = ( x2 – 2x + 2 )2 ( y ≥ 0 ) (14) ⇔ y2 – 20x2y + 64x4 = 0
⇔ y ( y – 4x2 ) – 16x2( y – 4x2) = 0
⇔ ( y – 4x2 ) ( y – 16x2 ) = 0
y – 4x2 = 0 y = 4x2
y – 16x2 = 0 y = 16x2 ( x2 – 2x + 2 )2 = 4x2
( x2 – 2x + 2 )2 = 16x2 Vậy : x = 2 ± 2 ; x = 3 ±
7 /
15) Giải phương trình :
20 9
1
2 + x+
30 11
1
2 + x+
42 13
1
2+ x+
18 1
(15)
Giải
1 7 6
1 6
5
1 5
4
1
= + +
+ + +
+ +
x
Điều kiện : x ≠−4 ; −5 ; −6 ; −7
⇔
4
1
+
5
1
+
x +
5
1
+
6
1 6
1
+
+
7
1
+
x =
18 1
⇔
4
1
+
7
1
+
x =
18 1
⇔ x2 + 11x – 26 = 0
⇔ ( x + 13 ) ( x – 2 ) = 0
Vậy : x = − 13 ; x = 2
Trang 816) Giải phương trình :
4 5
1
2+ x+
28 11
1
2+ x+
70 17
1
2 + x+
130 23
1
2+ x+
13
4 ( Cách giải tương tự như bài 15 )
Giải
1
+
1
+
x + ( 7)( 10)
1
+
1
+
13 4 Điều kiện : x ≠−1 ; −4 ; −7 ; −10 ; −23
⇔
3 1
+
− +
+ +
− +
+ +
− +
+ +
−
1 10
1 10
1 7
1 7
1 4
1 4
1
1
1
x x
x x
x x
x
13 4
⇔
1
1
+
4
1
+
x +
10
1 10
1 7
1 7
1 4
1
+
+ +
− +
+ +
−
23
1
+
13
12
⇔
1
1
+
23
1
+
13 12 Giải ra ta được : x = 0 ; x = −14 /
17) Giải phương trình :
1700
294
−
x
+
1694
300 1696
298 1698
x
= 4 (17)
Giải
1 1700
294
x
1 1698
296
x
1 1696
298
x
+
1
1694
300
x
= 0
⇔
1694
1994 1696
1994 1698
1994 1700
x
= 0
1694
1 1696
1 1698
1 1700
1
= 0
⇔ x – 1994 = 0 ( vì :
1694
1 1696
1 1698
1 1700
1
+ +
Vậy : x = 1994
Trang 918) Giải phương trình :
5
349 324
5 325
4 326
3 327
x
= 0 (18)
Giải
Công 4 và trừ 4 vào vế trái của phương trình
+
+
+
+
5
349 1
324
5 1
325
4 1
326
3 1
327
x
= 0
⇔
5
329 324
329 325
329 326
329 327
x
= 0
5
1 324
1 325
1 326
1 327
1
= 0
⇔ x + 329 = 0 ( Vì :
5
1 324
1 325
1 326
1 327
Vậy : x = −329
19) Giải phương trình :
8
12 2
6
2
2+ + x +
3
7
2 +
x
(19)
Giải
2
6
2+
3
7
2 +
8
12
2+
x − 3 = 0
⇔
2
6
2+
3
7
2+
x -1 +
8
12
2+
x - 1 = 0
8
4 4
4 2
4
2
2 2
2 2
2
= +
− + +
− + +
−
x
x x
x x
x
Do x2 + 2 ; x2 + 3 ; x2 + 8 khác 0 Với mọi x nên
= > 4 – x2 = 0
Vậy : x = ± 2
20) Giải phương trình :
1
3 6
16 4
2 2
2
+
− +
+
x x
5
7 3
5
2
2 + + x +
x
(20)
Giải
Ta có :
6
16 4
2
2
+
+
x
6
2 2
2
+
−
x
x , do đó :
6
2 2
2
+
−
x
x
−
1
3
2 +
x =
5
7 3
5
2
2+ + x +
x
Trang 10⇔ 3 +
6
2 2
2
+
−
x
x
−
1
3
2 +
5
7 3
5
2
2 + − x +
+
− +
+
− +
+
−
5
7 1 3
5 1 1
3
x x
6
2 2
2
+
−
x
x
= 0
⇔
6
2 5
2 3
2 1
2
2
2 2
2 2
2 2
2
+
− + +
− + +
− + +
−
x
x x
x x
x x
x
= 0
+
+ +
+ +
+
1 5
1 3
1 1
1
2 2
2
⇔ x2 – 2 = 0 ( Vì :
6
1 5
1 3
1 1
1
2 2
2
2+ + x + + x + + x +
0 , ∀x ∈ R
Vậy : x = ± 2
21) Giải phương trình :
2 3
1
+ +
1 2
1
+ +
x
x+1+
1
= 1 (21)
Giải
Điều kiện : x ≥ 0 Nhân mẫu của mỗi phân thức với lượng liên hợp của từng mẫu ta được : (21) ⇔ ( x+3 − x+2 ) + ( x+2 − x+1 ) + ( x+1 −
x ) = 1
⇔ x+3 − x = 1
………
Vậy : x = 1