Chuyên đề đại số, số phức tổng hợp

Chuyên đề đại số, số phức tổng hợp

Chuyên đề

SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP

I SỐ PHỨC

A LÝ THUYẾT

I Dạng đại số (vẫn còn nhớ)

II Dạng lượng giác của số phức

zr i  (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0)

* r a2 b2 là môđun của z

*  là một acgumen của z thỏa

cos sin

a r b r











1 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu zrcosisin, z'r' cos '  isin ' thì:

* z z 'r r ' cos   'isin  ' * cos ' sin '

z r

i

z  r       

2 Công thức Moivre: nN* thì rcosisinn r ncosnisinn

3 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Căn bậc hai của số phức z rcosisin (r > 0) là cos sin

r  i 

  và r cos2 isin 2

B BÀI TẬP

1 (ĐH_Khối A 2009)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0 Tính giá trị biểu thức A z1 2  z2 2

ĐS: A=20

2 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 4z110 Tính giá trị của biểu thức

2

1 2

A

z z





ĐS: A=11/4

3 (CĐ_Khối A 2009)

a Số phức z thỏa mãn (1+i)2

(2i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo của z

b Giải phương trình sau trên tập số phức: z i

i z

i z

2 7

3 4











ĐS: a a=2, b=3

b z=1+2i, z=3+i

4 Tìm số phức z thoả mãn: z  2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị

ĐS: z 2 2 1 2 ,i z  2 2 1 2i

5 (ĐH_Khối B 2009)

Tìm số phức z thỏa mãn z2i  10 và z.z25

ĐS: z=3+4i hoặc z=5

6 Tìm số phức z thỏa mãn:

 

 

1

3

z

z i

z i

z i

 



 







 



HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1

ĐS: z=1+i

7 Giải phương trình:

4

1

z i

z i



  

ĐS: z{0;1;1}

8 Giải phương trình: z2 z 0

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z

ĐS: z{0;i;i}

9 Giải phương trình: z2  z 0

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z

ĐS: z=0, z=1, 1 3

z  i

10 Giải phương trình:

2

2

z

z z   z  

HD: Chia hai vế phương trình cho z2

ĐS: z=1±i, 1 1

z    i

11 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0

HD: Đặt thừa số chung

z  z   i z    i

12 Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương

trình:

a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c Có ba nghiệm phức

13 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:

a  = 25i b  = 2i 3 c  = 3 -i 2

14 Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a z3iz22iz2 = 0 b z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0

15 (ĐH_Khối D 2009)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z34i 2

ĐS: (x3)2+(y+4)2=4

16 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z   i z z 2i

4

x

y

17 Trong các số phức thỏa mãn 2 3 3

2

z  i  Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

HD: *Gọi z=x+yi 2 3 3

2

z  i   …   2 2 9

4

x  y 

* Vẽ hình |z|minz

18 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a

10

9

(1 i)

3 i



HD: Sử dụng công thức Moivre

ĐS: a Phần thực 1

16

 , phần ảo bằng 0, b Phần thực 0, phần ảo bằng 128

19 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20

HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN

ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210

+1

II ĐẠI SỐ TỔ HỢP

A LÝ THUYẾT

1 Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2) … 3.2.1, n≥0

2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

!

k n

n

A n k



 , n≥k>0

3 Số tổ hợp chập k của n phần tử:

!

!

k n k

n

C n k



4 Quy ước n!=0!=1

n n n n n n n n

n n

n n n n

b C ab C b a C b

a C b a C a C b

a  0  1  1  2  2 2  2 2  2   1  1 Công thức số hạng tổng quát: k n k k

n

B BÀI TẬP

1 (CĐ_Khối D 2008)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

18

5

1









x

x , (x>0)

ĐS: 6528

2 (ĐH_Khối D 2004)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

7

4











x

x với x>0

ĐS: 35

3 (ĐH_Khối A 2003)

Tìm số hạng chứa x8

trong khai triển nhị thức Newton của

n x









3

1

, biết rằng 14  3 7 3

(n nguyên dương, x>0, ( C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS: 495

4 (ĐH_Khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức  1!

3 3

4 1





n

A A

M n n , biết rằng C n21 2C n22 2C n23 C n24 149 (n là số nguyên

dương, k

n

A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS:

4

3



M

5 (ĐH_Khối A 2006)

Tìm số hạng chứa x26

trong khai triển nhị thức Newton của

n x









  7 4

1

, biết rằng

1

220 1 2 2

1

2

1

1

n n

C  , (n nguyên dương và C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS: 210

6 (ĐH_Khối D 2008)

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 12  23   22n1 2048

n n

C  (C n k là số tổ hợp chập k của n

phần tử)

ĐS: n=6

7 (ĐH_Khối D 2007)

Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10

ĐS: 3320

8 (ĐH_Khối D 2003)

Với n là số nguyên dương, gọi a 3n 3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n (x+2) n

Tìm n để a 3n3=26n

ĐS: n=5

9 (ĐH_Khối D 2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho C n0 2C1n 4C n2 2n C n n 243

ĐS: n=5

10 (ĐH_Khối B 2008)

n k

n k

C n

2

1

1 1 1



























(n, k là các số nguyên dương, k≤n, C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)

11 (ĐH_Khối B 2007)

Tìm hệ số của số hạng chứa x10

trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n, biết:

3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)n Cn n =2048 (n là số nguyên dương, C n k là số tổ hợp chập k của n

phần tử)

ĐS: 22

12 (ĐH_Khối B 2006)

Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất

ĐS: k=9

13 (ĐH_Khối B 2003)

n

n n

n C

C C

1

1 2 3

1 2 2

1

0















k của n phần tử)

ĐS:

1

2





n

n n

14 (ĐH_Khối B 2002)

Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết rằng số tam giác có các đỉnh

là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An,

tìm n

ĐS: n=8

15 (ĐH_Khối A 2008)

Cho khai triển (1+2x) n

=a0+a1x+ … +anx n , trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức

4096 2

2

1

n n a a

a  Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an

ĐS: a8=126720

16 (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh rằng 1 12 1 23 1 25 1 22 1 22 1

n n

k n

C là số tổ hợp chập k của n phần

tử)

17 (ĐH_Khối A 2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho 12 1 2.2 22 13.22 23 1 4.23 24 1 2 1.22 22 11 2005









n n

n n

(C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS: n=1002

18 (ĐH_Khối A 2004)

Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của [1+x (1x)]

ĐS: 238

19 (ĐH_Khối A 2002)

Cho khai triển nhị thức

n x n n

n x x

n n

x n x

n

n x

n

n x x

C C

C





























































































































3 1

3 2 1 1 3

1 2 1 1 2

1 0 3

2

1

2 2

2 2

2 2

2

(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó 3 1

5 n

C  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x

ĐS: n=7, x=4

20 Cho số phức z=1+i

a Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i) n

b Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+… S2=Cn1Cn3+Cn5…

21 Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250

o0o