Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và một số lưu ý...05 2.. Trong quá trình giảng dạy môn toán, tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng và còn nhiều vướng mắc khi làm bài

MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trang

I Lí do chọn đề tài 02

II Mục đích nghiên cứu 03

III Đối tượng nghiên cứu 03

IV Phương pháp nghiên cứu 03

PHẦN II: NỘI DUNG I Thực trạng 04

II Biện pháp 04

III Nội dung 05

1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và một số lưu ý 05

2 Một số yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình 06

3 Phân loại các bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình 09

4 Một số bài toán cụ thể về giải bài toán bằng cách lập phương trình 09

4.1 Dạng toán chuyển động……… ………….09

4.2 Dạng toán liên quan tới số học ………….12

4.3 Dạng toán về năng suất lao động:( “sớm- muộn”, “trước-sau”) ………….13

4.4 Dạng toán về tỉ lệ chia phần:( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”) ………….15

4.5 Dạng toán liên quan đến hình học ………….16

4.6 Dạng toán về công việc, vòi nước chảy ( “làm chung -làm riêng”) …….17

4.7 Dạng toán có nội dung vật lý, hoá học ………… 18

4.8 Dạng toán có chứa tham số ………….19

IV Kết quả đạt được 20

V Khả năng ứng dụng triển khai SKKN 21

VI Một số kinh nghiệm được rút ra 21

PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

Mục tiêu của ngành giáo dục hiện nay là đào tạo học sinh thành những conngười phát triển toàn diện, sáng tạo, có khả năng vận dụng linh hoạt hợp lí các vấn

đề cho bản thân và xã hội Quá trình dạy học không phải là một quá trình tiếp nhậnmột cách thụ động những tri thức khoa học, mà chủ yếu là quá trình học sinh tựnhận thức, tự khám phá, tìm tòi các tri thức khoa học một cách chủ động, tích cực,

là quá trình học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong quá trình giảng dạy môn toán, tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng

và còn nhiều vướng mắc khi làm bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình.Nhiều học sinh chưa nắm chắc phương pháp giải bài tập hoặc cách trình bày cònthiếu lôgic và chưa chặt chẽ

Đặc trưng dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xencủa nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toánhọc, vật lý, hoá học… Các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suyluận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng để dẫn đến lập phương trình Mặt khác loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế.Chính vì thế việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế Do đókhi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiệncủa ẩn, hoặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn Hoặc học sinhkhông khai thác hết các mối liên hệ ràng buộc của thực tế Kĩ năng phân tích, tổng

hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu Với những lý do đó mà họcsinh rất sợ và ngại làm loại toán này Tuy nhiên cũng có thể do trong quá trìnhgiảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinhthần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quátđược cách giải cho mỗi dạng Do đó giải bài toán bằng cách lập phương trình chỉđạt kết quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành những mốiquan hệ toán học Vì vậy nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập chohọc sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để giải bàitập

Xuất phát từ những lí do trên và qua thực tế giảng dạy, tôi soạn thảo đề tài

tổng kết kinh nghiệm “Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình”.

Với chút ít kinh nghiệm của bản thân và những kinh nghiệm học hỏi được từ đồngnghiệp… tôi hy vọng sẽ góp được một phần nhỏ trong việc nâng cao chất lượnggiảng dạy bộ môn

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Qua đề tài này tôi muốn giúp các em học sinh củng cố vững chắc kiến thức líthuyết và tự hoàn thiện các kĩ năng phân tích đề, rèn luyện cho các em kĩ năng nhạybén khi giải bài toán bằng cách lập phương trình Và từ đó sẽ tạo cho các em tự tin,hứng thú say mê tìm hiểu về dạng toán này

III ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Khách thể: học sinh lớp 8, lớp 9

- Đối tượng nghiên cứu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập toán không vượt qua chương trình THCS

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sáchgiáo khoa, sách tham khảo…từ đó đưa ra một số bài tập tiêu biểu SGK và cách giảiquyết cơ bản cho học sinh thực hiện

- Phương pháp điều tra: + Điều tra cách giải của học sinh lớp 8, 9 qua bài kiểm tra + Thống kê kết quả của học sinh qua bài kiểm tra

- Phương pháp thực nghiệm: Áp dụng, hướng dẫn cho học sinh lớp 8, 9 giải bài tập

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Rút ra các ưu điểm, nhược điểm của học sinhtrong phương pháp giải bài tập toán, từ đó đề các biện pháp hữu hiệu để khắc phục.

PHẦN II: NỘI DUNG

Tôi thu được kết quả ở 3 lớp như sau:

Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết, các em muốn học nhưng chưa biếtcách học, đang còn học một cách thụ động, các em chưa biết tư duy để tìm raphương pháp giải cho mỗi dạng bài tập loại này Lí do là các em tiếp xúc với loạitoán này nhiều khái niệm các em còn chưa hiểu rõ đầy đủ ý nghĩa của nó, hoặckhông nhớ mối quan hệ giữa các đại lượng trong đó, hoặc thời gian để các em rènluyện làm bài tập còn hạn chế Hơn nữa do điều kiện của địa phương với đặc thù làvùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc quan tâm đến học hành cònhạn chế nhiều về tinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em

II BIỆN PHÁP

Để giải được bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình, học sinh phải

nắm được phương pháp giải của dạng bài tập này Muốn làm được điều này giáo

viên phải hướng dẫn học sinh nắm vững các bước giải, tìm ra các phương pháp giải

thật dễ hiểu giúp học sinh tiếp thu một cách nhẹ nhàng.

III NỘI DUNG

1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và một số lưu ý:

1.1 Một trong những phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào quy tắc chung Nội dung của quy tắc gồm các bước:

 Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diện các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

 Bước 2: Giải phương trình

 Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận

1.2 Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình cần chú ý :

1.2.1 Đọc kĩ đề bài và tóm tắt bài toán để hiểu rõ: cái phải tìm các số liệu đãcho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần

1.2.2 Thường chọn trực tiếp cái phải tìm làm ẩn, chú ý điều kiện của ẩn sao chophù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế

1.2.3 Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biếtngay được

1.2.4 Khi đã chọn số chưa biết của một đại lượng trong một tình huống là ẩnkhi lập phương trình phải tìm mối liên quan giữa các số liệu của một đại lượngkhác hoặc trong một tình huống khác Mối liên hệ này được thể hiện

bởi sự so sánh ( bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp mấy lần )

1.2.5 Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phươngtrình đã học để tìm nghiệm của phương trình

1.2.6 Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình với điều kiện củabài toán và với thực tế để trả lời

1.2.7 Phân tích, biện luận cách giải, thay đổi các số liệu của bài toán để tạothành những bài toán khác nhằm giúp học sinh khá, giỏi phát huy tốt tư duy toánhọc

2 Một số yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Mặc dù có quy tắc trên song trong quá trình hướng dẫn giải bài toán này cầncho học sinh vận dụng theo những yêu cầu sau:

2.1 Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót nhỏ:

Để học sinh không mắc sai lầm này người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đềtoán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, kỹ năng tính Giáo viênphải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu với điều kiệncủa ẩn xem có thích hợp không?

Ví dụ 1: Mẫu của một phân số gấp 4 lần tử số của nó Nếu tăng cả tử và mẫu lên 2

đơn vị thì được phân số 21 Tính phân số đã cho

(Bài 34-Tr 25-SGK Toán 8-Tập 2)

Giải

Gọi tử số của phân số đã cho là x (x>0;xN)

Thì mẫu số của phân số là 4x

Theo bài ra nếu tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì được phân số 21 ta có phương trình: 4 22 21

Vậy tử số là 1, mẫu số là 4

Vậy phân số đó là 41

2.2 Lời giải toán phải có căn cứ chính xác.

Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bậtđược ý phải tìm Nhờ mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán thiết lậpphương trình (hệ phương trình), từ đó tìm được giá trị của ẩn số Muốn vậy, ngườigiáo viên phải làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn? Đâu là điều kiện? Có thoảmãn điều kiện hay không? Từ đó có thể xây dựng được cách giải?

Ví dụ 2: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 47 chiều rộng và có diệntích bằng 1792 m2 Tính chu vi của mảnh vườn ấy?

(Đề thi tốt nghiệp THCS TP Hồ Chí Minh, năm 2003-2004)

Bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật Học sinh thường là bài toán hỏi gì thì gọi là ẩn.Nếu ở bài toán này gọi chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là ẩn thì bài toán khó có lờigiải Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn:Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết cạnh của hình chữ nhật.

Vậy chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là 32m

Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là 74 32 = 56m

Vậy chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là 176m

2.3 Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.

Giáo viên phải hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rènluyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa

Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng 43 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm3dm, cạnh đáy giảm 2dm,thì diện tích tăng thêm 12dm2.Tính chiều cao và cạnh đáy

Theo bài ra ta có phương trình: 12 (x - 2)( 43 x + 3) - 21 x.43 x = 12

Giải phương trình trên ta được: x = 20 (TMĐK)

Vậy cạnh đáy có độ dài là 20dm Chiều cao có độ dài là 43 20 = 15dm

2.4 Lời giải bài toán phải đơn giản.

Lời giải ngoài việc phải đảm bảo ba yêu cầu nói trên cần phải chọn cách làm đơn giản mà đa số học sinh đều hiểu và có thể tự làm lại được

Ví dụ 4: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km Khi đi từ B trở về A,

người đó tăng vân tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian

đi 30 phút Tính vận tốc của xe đạp đi từ A đến B

(Đề số 1- Tr 51-Sách Ôn thi vào lớp 10 môn Toán, NXBGD 2010 )

24 24







x x

Giải phương trình ta được: x1 = 12; x2 = -15 < 0 (loại)

Vậy vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là: 12(km/h)

2.5 Lời giải phải trình bày khoa học.

Khoa học ở đây là mối quan hệ giữa các bước giải của bài toán phải logic, chặt chẽvới nhau, các bước sau tiếp nối các bước trước và được suy ra từ bước trước ,nó đãđược kiểm nghiệm và chứng minh là đúng hoặc những điều đó được biết từ trước

Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2

đoạn hơn kém nhau 5,6m Tính độ dài cạnh huyền của tam giác (Toán 9)

Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức:

Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m)

2.6 Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại.

Giáo viên hướng dẫn các bước giải phải không được chồng chéo lên nhau, hoặcphủ định lẫn nhau Các bước giải phải thật cụ thể và chính xác, cần rèn cho họcsinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hiểu hết các nghiệmcủa bài toán, nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình

Ví dụ 6: Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 100km, cả đi và về mất 10 giờ 25

phút Tính vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng Biết vận tốc dòng nước là 4km/h

(Bài 278-Tr 33-Sách 500 bài toán chọn lọc 9, NXB ĐHSP)

Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x (km/h) (x>0)

Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là x + 4 (km/h)

Vận tốc của tàu thuỷ khi ngược dòng là x - 4 (km/h)

Theo bài ra ta có phương trình:

3

25 4

80 4

3 Phân loại các bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình:

1/ Loại bài toán về chuyển động

2/ Loại bài toán có liên quan đến số học

3/ Loại bài toán về năng xuất lao động (“Sớm- muộn”; “trước -sau”)

4/ Loại bài toán về tỉ lệ chia phần (“Thêm -bớt”; “ Tăng -giảm”)

5/ Loại bài toán có liên quan đến hình học

6/ Loại toán về công việc, vòi nước chảy ( “làm chung -làm riêng”)

7/ Loại bài toán có nội dung Lí, Hoá

8/ Loại bài toán có có chứa tham số

4 Một số bài toán cụ thể về giải bài toán bằng cách lập phương trình:

4.1 Dạng toán chuyển động:

Bài 1: Một xe tải chở hàng từ Tân Kỳ đi thành phố Vinh Sau đó 1,5 giờ một xe

khách xuất phát từ thành phố Vinh đi Tân Kỳ với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải là7km/h Khi xe khách đi được 4 giờ thì nó còn cách xe tải là 25 km Tính vận tốcmỗi xe, biết rằng Tân Kỳ và thành phố Vinh cách nhau 120 km

*) Hướng dẫn cách giải:

Nếu gọi vận tốc xe tải là x km/h (x > 0)

Hãy biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn:

Vận tốc xe khách?

Quãng đường xe khách đi trong 4 giờ?

Xe khách đi được 4 giờ thì xe tải đã đi được mấy giờ?

Quãng đường đi của xe tải lúc đó?

Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng và điền các số liệu vào bảng:

Hãy tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong bảng để lập phương trình.

*) Sơ lược cách giải:

Gọi vận tốc xe tải là: x (km/h), x > 0

Vận tốc xe khách là: x + 7 km/h

Vì xe tải khởi hành trước xe khách là 1,5 giờ nên khi xe khách đi được 4 giờ thì xetải đã đi được 1,5 + 4 = 5,5 giờ

Khi đó: quãng đường đi được của xe tải là: 5,5.x km

quãng đường đi được của xe khách là: 4( x + 7) km

Theo đề bài thì khoảng cách giữa Tân Kỳ và TP Vinh là 120 km và hai xe còn cáchnhau 25 km nên ta có phương trình:

5,5x + 4( x + 7) + 25 = 120Giải phương trình ta được: x = 28 ( thoả mãn điều kiện )

Vậy vận tốc của xe tải là 28 km/h; vận tốc của xe khách là : 35 km/h

Chú ý: Ta chọn ẩn là vận tốc của xe khách cũng cách giải tương tự

Bài toán 2: Quãng đường AB dài 120km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A

đến B Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10km/h nên đến trước ô tô thứ hai

5

2

ô tô Tính vận tốc mỗi xe ô tô

(Đề thi tốt nghiệp THCS 2002-2003, tỉnh Bắc Giang)

*) Hướng dẫn cách giải:

Nếu gọi vận tốc xe thứ nhất là x km/h (x > 12)

Thì vận tốc xe thứ hai là bao nhiêu?

Hãy biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn:

Thời gian xe thứ nhất, xe thứ hai đi hết quãng đường AB?

Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng và điền các số liệu vào bảng:

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)

Hãy tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong bảng để lập phương trình

*)Sơ lược cách giải:

- Cần lưu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý:

+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệnghịch với nhau

+ Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phươngtrình như sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậmbằng thời gian thực đi trên đường Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dựđịnh thì cách lập phương trình làm ngược lại phần trên

+ Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về Athì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động

+ Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyểnđộng gặp nhau thì có thể lập phương trình: S1 + S2 = S

4.2 Dạng toán liên quan tới số học