Viết phương trình mặt phẳng P đi qua B sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng P là lớn nhất.. Viết phương trình mặt phẳng P chứa D sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng P là lớn nhất..
Trang 1« Tuyển tập những bài toán hay và khó trong không gian Oxyz
(Giải vào chiều thứ 6 , thứ 7 tới đây và tuần sau để chuẩn bị cho ôn tập hình học Oxy, lưu ý làm theo nhiều cách)
1 Cho đường thẳng (d):
= = ; ( ): 2 + + − 8 = 0 Tìm giao điểm A của (d) và (P), Viết
pt hình chiếu vuông góc của (d) lên mp (P)
2 Viết ptrình đt (d) qua (1; −1; 1) và cắt cả 2 đt ( ) à ( ) với : ( ): = 1 + 2 =
= 3 − , ( ): = −2 + = 3 − 2
=
3 Viết ph trình đường thẳng ( ) ∥ ( ): = 1 − = 3
= 5 + 5 và cắt cả 2 đường thẳng ( ) à ( ) có p trình:
( ): = = ; ( ) là giao tuyến của 2 mp ( ): − + 4 − 3 = 0; ( ): 2 − − + 1 = 0
4 Cho (0; 1; 2); (−1; 2; −3); (2; 0; 4) à ( ): = = Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho: a)
2 ⃗ − 3 ⃗ + 4 ⃗ nhỏ nhất b) + + nhỏ nhất
5 Cho (1; 1; 0); (3; −1; 4) à ( ): = = Tìm điểm M ∈ (d) sao cho: ( + )
6 Cho (3; 0; 3); (4; −2; −1) à ( ): = = Tìm điểm M ∈ (d) sao cho: | − |
7 Cho (−3; 5; −5), (5; −3; 7) à mặt phẳng (P): + + = 0 Tìm toạ độ giao điểm M thuộc (P) sao cho: a) + nhỏ nhất b) + 2 nhỏ nhất c) − 3 lớn nhất d) ⃗ + 2 ⃗
8 Cho (−1; 3; −2), (−3; 7; −18) và mp ( ): 2 − + + 1 = 0 Tìm M ∈ ( ) sao cho : ( + )
9 Cho (3; 1; 0), (−9; 4; 9) và mp ( ): 2 − + + 1 = 0 Tìm M ∈ ( ) sao cho : | − |
10 Cho 2 đường thẳng ∆ : = = ; ∆ : = = à ( ): − − + 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆∥ ( ); ∆ ắ ∆ , ắ ∆ à ∆⊥ ∆ ĐS: ∆: = =
11 Cho 2 đường thẳng ∆ : = = ; ∆ : = = à ( ): − − + 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆∥ ( ); ∆ ắ ∆ ạ , ắ ∆ ạ à
12 Trong không gian Oxyz, : = = ; : = = Viết phương trình đường thẳng song song với
mp ( ): + + 4 + 2 = 0 cắt tại M, cắt tại N sao cho = √2
13 Cho mp (P): 2 + 5 + + 17 = 0 , đường thẳng ( ) là giao tuyến của 2 mp (R): 3 − + 4 − 27 = 0; ( ): 6 + 3 − + 7 = 0 Gọi = ( ) ∩ ( ) Viết ph trình đt ( ) ⊂ ( ), ( ) đi qua A và ( ) ⊥ ( )
14 Cho mp (P): + − + 1 = 0, đường thẳng ( ): = = Gọi = ( ) ∩ ( ) Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng (P) ,(∆) ⊥ ( ) à ; (∆) = 3√2
Trang 215 Cho 2 đường thẳng ( ): = 2 + ; = 1 − ; = 2 , ( ): + 2 − 2 = 0 ( ) − 3 = 0 ( ) Tìm ∈ ( ), ∈ ( ) sao cho , viết phương trình đường vuông góc chung của ( ), ( )
16 Cho (2; 5; 3) , (1; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua B sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất ĐS:(P): 1( − 1) + 5( − 0) + 2( − 1) = 0
17 Cho (2; 5; 3) và đường thẳng ( ): = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (D) sao cho
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất
18 Cho đường thẳng ( ): = = , và mặt phẳng (Q): + 2 + 2 − 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (D) sao cho góc giữa mp (P) và mp (Q) là góc nhỏ nhất
19 Cho 2 đường thẳng ( ): = = , ( ): = = và mặt phẳng (Q): + 2 + 2 − 3 = 0 Lập phương trình mp (P) chứa (D) sao cho góc giữa mp (P) và đt (D’) là góc lớn nhất
20 Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều 2 đường thẳng ( ), ( ) với : ( ): = 1 + ; = 1 +
2 ; = 1 + 3 ( ): = − ; = 2 + ; = 1 +
21 Cho 2 điểm (1; 2; 3), (1; 0; 1) và mặt phẳng (P): − 2 + − 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trong (P) và mọi điểm trên (D) đều cách đều 2 điểm A và B
22 Cho đường thẳng ( ): = = , mặt cầu ( ): + − 8 + 2 + 4 + 7 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (D) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất
23 Trong không gian Oxyz, : = = ; : = = Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng ( ): + + 4 + 2 = 0 cắt tại M, cắt tại N sao cho = √2
24 Trong không gian Oxyz, : = = ; : = 1 + 2 =
= 1 +
Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng ( ): − + = 0 cắt tại M, cắt tại N sao cho MN bé nhất
25 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ): − − 1 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm (2; 1; −1), (0; 2; −2), (1; 3; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
26 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ): − 2 + 2 − 3 = 0; ( ): 2 + − 2 − 4 = 0 và đường thẳng : = = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈ ( ) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( ), ( )
27 Cho 2 mặt phẳng ( ): + 2 − 2 + 5 = 0; ( ): + 2 − 2 − 13 = 0 Viết phương trình của mặt cầu (S)
đi qua gốc tọa độ O, qua điểm (5; 2; 1) và tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng (P) và (Q)
28 Cho ∆ABC vuông cân tại B Tìm tọa độ B biết (5; 3 − 1), (2; 3; −4) và B ∈ ( ): + − − 6 = 0
29 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm (2; 1; 0), (0; 1; 2), (0; 0; 1) mặt phẳng ( ): + − + 2 = 0 Trong các điểm M thuộc mặt phẳng ( ) tìm điểm M sao cho = và
Trang 330 Cho mặt phẳng (P): 2 + + 2 + 1 = 0, đ ∆: = = và điểm (1; 1; −1) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) tại M và tiếp xúc với ∆
31 Cho mp (P): ( − 1) + + − 1 = 0 Tìm m để khoảng cách từ điểm (1; 1; 2) đến mp (P) lớn nhất
32 Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm (1; 2; −1), (2; 3; −2), mặt cầu (S): + + − 2 − 2 −
4 − 9 = 0 Tìm m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến có chu vi ( diện tích) nhỏ nhất
33 Cho mặt phẳng (P): ( − 1) + + − 1 = 0, mặt cầu (S): + + − 2 − 2 − 4 − 9 = 0 Tìm
m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến có chu vi ( diện tích) nhỏ nhất
34 Cho 2 đt ∆ : = = ; ∆ : = = Viết ptrình mp ( ) chứa ∆ và tạo với ∆ một góc nhỏ nhất
35 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua (1; 1; 1), vuông góc với đường thẳng ∆: { = ; = 1 + ; =
1 + 2 ( ∈ )} và cách điểm (2; 0; 1) một khoảng cách lớn nhất
36 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua (1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P): + + 2 + 999 = 0 và cách điểm (2; 0; 1) một khoảng cách lớn nhất
37 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua (1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P): + + 2 + 999 = 0 và cách điểm (2; 0; 1) một khoảng cách nhỏ nhất
38 Cho (0; 0; 0), đường thẳng ∆: = = ; ( ): = = Lập phương trình đường thẳng (D) qua
O, vuông góc với ∆ và cách (D’) một khoảng lớn nhất
39 Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua (0; −1; 2) và cắt đường thẳng ( ): = = sao cho khoảng cách từ (2; 1; 1) đến đường thẳng (D) là lớn nhất, nhỏ nhất
40 Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua (0; −1; 2) và cắt đường thẳng ( ): = = sao cho khoảng cách giữa (D) và (∆): = = là lớn nhất
41 Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua (−1; 0; −1) và cắt đường thẳng ( ): = = sao cho góc giữa (D) và (∆): = = là lớn nhất, nhỏ nhất
42 Cho 3 điểm (0; 4; 0), (−1; 2; −2), (1; 3; −4) và mặt cầu ( ): + + − 2 + 2 − 2 = 0 Tìm tọa
độ điểm D thuộc (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất, nhỏ nhất
43 * Cho 2 điểm (1; 1; 4), (4; 2; 5) , mặt cầu ( ): ( − 2) + ( − 1) + ( − 2) = 1 và mặt phẳng (P): + + − 1 = 0 Tìm điểm M thuộc giao tuyến của mặt cầu (S) và mp (P) sao cho ( ) nhỏ nhất
44 * Cho 2 điểm (4; 1; 2), (1; 4; 2), (1; 1; 5) , mặt cầu ( ): + + − 2 − 2 − 4 − 3 = 0 và mp (P): + + − 7 = 0 Tìm điểm ∈ ( ) ∩ ( ) sao cho + + đạt giá trị nhỏ nhất
45 Cho 2 điểm (1; 1; 1), (2; 1; 0) à đthẳng ∆: = = Viết ph trình mp (P) chứa ∆ sao cho tổng khoảng
cách từ A, B đến (P) là lớn nhất HyLink to:D:\Tailieutoan12\hinhhocgiaitichOxyz\đạilựckimcangchưỡng.pdf
Trang 4¯: MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC THỨC THƯỜNG GẶP :
1 BĐT Côsi: Cho , , … , ≥ , ta có: ⋯ ≥ Dấu “=” xảy ra khi = = ⋯ =
2 BĐT Bunhiacopxki: ( + + ⋯ + ) ≤ + + ⋯ + + + ⋯ + Dấu “=” xảy ra khi
= = ⋯ =
3 BĐT hình học: + + ⋯ + + + + ⋯ + ≥ ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − ) Dấu
“=” xảy ra khi và chỉ khi = = ⋯ = < 0
4 BĐT hình học: + + ⋯ + + + + ⋯ + ≥ ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) Dấu
“=” xảy ra khi và chỉ khi = = ⋯ = > 0
5 Hệ quả: Cho , , … , ≥ : áp dụng 2 lần Côsi ta có: ( + + ⋯ + ) + + ⋯ + ≥
6 Hệ quả: BĐT Svacxơ: Cho ∈ , ∈ : + + ⋯ + ≥( ⋯ ⋯ ) Dấu “=” xảy ra ⇔ = = ⋯ =
7 BĐT hàm lõm: Cho ∈ , , ∈ ∗ : ⋯ ≥ ⋯
8 CM bđt 7 cho trường hợp 2 số, 3 số:
≥ (∗) à ≥
9 BĐT Nesbit: Cho , , > 0: luc đó ta có: + + ≥
10 Cho , ∈ , ta có bđt sau: . ≤
11 ệ ả: ( + + ) ≤ ( + + ) ệ ả: ( + + ) ≥ + +
12 ( + + ) ≥ ( + + )
13 ( + + ) ≥ ( + + )
14 + = ( + )( + − ) = ( + )[( + ) − ] ≥ ( + ) ( + ) − =( ) ( xem 7)
15 ∀ , , ≥ ta luôn có ≥ ( + − )( + − )( + − )
16 BĐT Chebyshev: Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng tăng hoặc cùng giảm , … , và , , … , ta có:
+ + ⋯ + ≥ ( + + ⋯ + )( + + ⋯ + )
Nếu 2 dãy , … , và , , … , đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều
17 ệ ả: Cho , , … , > 0 ta có: … ≥
⋯
18 BĐT Holder: Với dãy số dương , , … , , ta có:( + )( + ) … ( + ) ≥ + …
19 + + − = ( + + )( + + − − − )
20 ( + )( + )( + ) = ( + + )( + + ) −
21 = + + + ↔ + + = ; ( ) +( ) ≥ ; √ + + √ − ≥ − , ∀ ∈ [ ; ]
22 Bổ đề:
+ ≥ (∗) với ≥ ; + ≤ , với ≤
23 ( + + ) = + + + [ ( + ) + ( + ) + ( + )] = + + + ( + )( + )( + ) ≥ + + +
24 ( + )( + )( + ) = ( + + )( + + ) −
25 ( + )( + )( + ) ≥ ( + + )( + + )
26 Nếu , , > 0; ≤ ( + + ≤ ) thì + + ≥ + + Thật vậy: + + ≥ = ≥ , …
27 BĐT Schur ( + + ) + ≥ ( + + )( + + )