Tích phân Ôn thi Đại học 2015_ThS Trương Nhật Lý

x dxVấn đề 2: Phương pháp đổi biến số A.. Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Vấn đề 5: Tích phân hàm vô tỉA.. Phương

x x

u u

ln (0 < a ≠ 1)

∫ sin udu = − cos u + C

2

Hệ quả:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp các hàm số sơ cấp Nguyên hàm

1 dx )

a ln

a m

1 dx

a

n mx n

∫ + = sin( ax + b ) + C

a

1 dx ) b ax cos(

∫ + = − cos( ax + b ) + C

a

1 dx

) b ax sin(

1 )

( cos

( sin

dx x f k dx x

dx x g dx x f dx x g x

[

b f(x)dx

a ∫ = F(x) ba = F(b) – F(a)

B CÁC DẠNG TOÁN

Chủ điểm 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp và công thức vi phân

Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:

3 3

dx

+ +

2 3

x

x

x4

5x -

23) ∫ + dx

x

1 - x

25) ∫ + dx

cosx 1

2 3

2 f(x) = 2

43

x

x − ĐS F(x) = C

x x

x

+ +

3 3

5 3

4 2

3

6 f(x) = 1 32

x

x − ĐS F(x) = 2 x − 33 x2 + C

9 f(x) =

2 sin

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) =

x x

x

2

2 cos sin

2 cos

3 ln

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1 + C

3 1

Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết rằng

1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3 2

3

+

− x

3 f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS f(x) =

3

40 2

4 f’(x) = x - 12 + 2

x và f(1) = 2 ĐS f(x) =

2

3 2

1 2

2

− +

2

+ +

dx sin x

∫ 14

π 4 4 0

dx cos x

π

3 3 2

3 π

3

sin x sin x

cotx dx sin x

4

+

π 3

π 6

x dx

Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

1 e

dx

1 e

− +

22)

tan 2cos

x

e

dx x

∫ 23) ∫ 1 − x 2 dx 24) ∫ 4 x − 2

28) ∫ x2 + x + 1

dx

29) ∫ cos3 x sin2 xdx 30) ∫ x x − 1 dx 31) ∫ ex + 1

dx

32) x3 x2 1 dx

3x 82

57) 58) cos 59) 60)

61) ∫ ( 3 x + 1 )4dx 62) ∫ − − + dx

x x

x

2 4

4 2

22

65) ∫ x x + 1 dx 66) ∫ ( ex + 1 )3dx 67) ∫ + dx

x 1

x

2 68) ∫ − + + dx

x x

x

2

31

x4

dx x

dx

− +

X 1

5) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x3, Sau đó đặt u = x + 1

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

B Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:

e

ln x

dx (x 1) +

∫ (Đặt u = lnx , dv = 1 2

(1 x) + .dx) 4)

2 2 1

ln x dx x

∫

5)

1

2 0

x + 1 dx

∫ (Đặt u = x2 + 1 , dv = dx) 6∗ )

π 4 3 0

dx cos x

π 2

2 0

x 0

1 sin x

e dx

1 cos x

+ +

2 1

x 2 0

e dx (x 1)

+ +

1 (2e 3)

Vấn đề 4: Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

b

b , 1 2

B Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:

1) I = 4x 3 dx

2x 1

+ +

2 0

2 0

2 1

x3

9 4

Vấn đề 5: Tích phân hàm vô tỉ

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

x2

9) ∫β + +

α

dx c bx

ax21

11) ∫β + +

α

dx c bx

ax2

12) ( x a x b dx )( )

β α

− +

x 1

dx 3x 1

+ +

0

x dx

1 x +

1

2 3 0

(1 x ) dx −

∫

10)

2 2

2 2

dx

x 1

+ +

−

∫

1

2 0

17)

1

dx x

+

∫

1

2 0

3x 2

dx (x 1) x 3x 3

Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác.

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

11) ∫ tan(ax + α ).cot( ax + β ) dx

12) ∫ cot(ax + α ).cot( ax + β ) dx

β α

0

I = ∫ sin x dx ( 15 8 ) 2 2

dx I

sin x.cos x

sin x dx I

sin x.cos x

dx I

sin x.cos x

= ∫

dx I

sin x.cosx

sin x.cos xdx I

0

I = ∫ cos 2x dx ( 3π 16 )

13

dx I

14 0

4sin x

1 cos x

= +

4 π 6

dx I

π sin x.cos(x )

2 0

I = ∫ cos 2x(sin x cos x) dx + ( → 0)

π 3 3 0

4 0

I = ∫ cos x.cos 2x dx ( → π 8 )

Bài 5:

0

4 1

π 4

I (sin x cos x) dx

−

2 0

π

5 2

4 0

4x − 4x 1 dx +

2 ) I2 =

π 0

1 cos2x dx +

I3 =

3π 4

π 4

| sin 2x | dx

π 0

1 sin 2x dx +

I5 =

π 0

| cos x | sin x dx

3 ) I6 =

2π 0

1 sin x dx +

Chủ điểm 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng

A Phương pháp

∇ Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:

x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho

bởi công thức sau:

S = b ∫ | f(x) | dx

∇ Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b

(a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau:

S = b ∫ | f(x) - g(x) | dx

Chú ý: • Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0.

• Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.

• Dùng (1): Nếu (S) giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì (C)

phải cắt Ox tại hai điểm có hoành độ là a, b ⇒ S = b | f(x) | dx

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 – 2x + 2,

trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (S = 4

3 đvdt)

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x4 – 2x2 + 1,

15 đvdt)

Bài 3: Tính diện tích giới hạn bởi (H): y = 2x

x 2

− +

trục hoành Ox và đường thẳng x = 2 (S = 4(1-ln2) đvdt)

Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0 ≤ x ≤ 2)

trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = 2 (S = 5

Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x3 − 2x2 + 4x 3 − (C) và tiếp tuyến của đường cong (C) tại

3 đvdt)

Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(P): y2 = 2x , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2; 2) (S = 4

3 đvdt)

Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2)

Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây:

6 đvdt)

Vấn đề 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay

A.Phương pháp

∇ Thể tích của vật thể tròn xoay Vox sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục

Ox, được cho bởi công thức sau đây: Vox =π b 2 ∫ f (x)dx

thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng này quay quanh trục Ox

Bài 1: Miền D giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x – x2 Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:

15 đvtt)

3 đvtt)

Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e.

(ĐS: π(e 2) − đvtt)

Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = tgx , x = 0, x = π

3 , y = 0 a) Tính diện tích của D

b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox

( ĐS: S = ln2 đvdt , V = π ( 3 π

3

− ) đvtt )

Bài 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

hai đường cong y = x2 , y = x quay quanh trục Ox (ĐS: 3π

10 đvtt)

Bài 5: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 và y = (x – 2)2 Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:

5 đvtt)

3 đvtt)

Bài 6: Miền D giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0 và x + y - 3 = 0

Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox

(ĐS: 153π

5 đvtt)

Bài 7: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 - x và y = x2 + 2

Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y= x2−2x+3 y x= +3 ĐS : 109

6

S = Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

2

2 0

I =∫ x −x dx

ĐS : I =1 Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân :

2

11 1

x I

I = Bài 8 (ĐH D2004) : Tính tích phân :

3

2 2

I =

Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân :

I = Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân :

I = Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân :

1

2 0

e

Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y= +(e 1)x, y= +(1 e x x) ĐS : 1

2

e

S= − Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x= lnx, y=0 , x e= Tính thể

tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox ĐS :

3

(5 2)27

e

V =π − Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân :

e

I = −

Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân :

4

0

sin( )

4sin2 2(1 sinx cos )

2

3 1

3

2 1

2

1

ln(ln 2)

1

3(2 ) ln

e

I = − Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân :

4

0

sin ( 1) cossin cos

3

2 0

Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân :

3

2 1

1 3

4 2 0

2 2

2 1

1ln

1

2 0

2 2 2 1

3 1+ ++

x x ĐS: 1 + ln3

Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I =

π 4 0

1

2ln KQ: 2e3 1

9 +9Bài 5 CĐ Khối A, B – 2005

dxx

x

I KQ: 6 ln3 8−

Bài 7 CĐ GTVT – 2005

dxxx

3 2

3.e 534

π+Bài 9 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005

dxxx

sin 2 1

π

dx x

x

2Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005

dx

18

πBài 12 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005

∫

=

e

dxx

xI

= 2

0sin 1

3cos

π

dxx

x

I KQ: 2 3ln 2−

Bài 15 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005

2 3

+

∫ ∫ KQ: I ln 2 , J= = −π 3

3 4Bài 16 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005

dxxx

π −Bài 18 CĐSP Hà Nội – 2005

dxx

xxx

I=∫2 + ++ +

0

2

2 3

4

942

KQ: 6

8

π+

xdx

8Bài 20 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005

= e

xx

dxI

1 1 ln2 KQ: 6

πBài 21 CĐSP Hà Nội – 2005

= 2

0

2004 2004

2004

cossin

sin

π

dxxx

x

4πBài 22 CĐSP KonTum – 2005

sin4

π

dxx

Bài 24 Tham khảo 2006

10

5

dxI

( )

1

2 0

I=∫x ln 1 x dx+ KQ: ln 2 1

2

− (Đổi biến t 1 x= + 2, từng phần)Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006

( )

2

2 1

1

2 0

ln2 2x

x 0

3 2

1

2 3 0

π

xdxx

I=∫x ln 1 x dx+ KQ: ln 2 1

2

−

3 0

I=∫ x cos x sin x dx+ KQ: 5

4Bài 50 CĐ GTVT III – 2006

I 1 tg x dx

π

=∫ − KQ: 76

105Bài 52 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006

4

2 3

( )

1

2 0

2

2 1

π −Bài 60 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006

e

2 1

dxI

I sin 2x 1 sin x dx

π

=∫ + KQ: 15

4Bài 64 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006

4

2 0

6

dxI

Bài 71 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x v y= 2 à = 2 −x2 KQ: 1

2 3

π +Bài 73 Tham khảo khối D – 2007

( )

1 2 0

π −Bài 75 CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y x= 2 −2;

y x; x= = −1; x 0= KQ: 7

6Bài 76 CĐ GTVT – 2007

3 2

xln x dx

∫ KQ: 1 5e 2( 3 )

27 −Bài 80 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007

4

2 1

cos 2 (sin cos )

(| 2 1| | |)

−

=∫ − − đs: 5/2

11 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx

a) Tìm các số A , B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)

b) Tính

/4 0

( )( )

g x dx

17.

3 4

2 0

19

1

0

13

11

x

x

++

=

+

∫ đs: 2

6π

31

1 4

6 0

11

3 44

cos 2(sin cos 3)

x x

dx T

=

+ + +

∫ đs: 2 ln23−31

5

1 2 1 3

dx B

dx D

61.

3 2 1

65.

/4

6 6 0

sin 4sin cos

73.

/2

0 2 cos

dx Q

2

2 1

.1

x dx R

5 41

sinsin cos

84.

1

2 0

− +

3

2 2

ln( 1 )

Q=∫ x+ +x dx đs: ln(1+ 2)− 2 1+

100.

1 21

ln( 1)1

− +