CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường:

1/ x 3 6 x 3; 2 / x 4 1 x 1 2 ;3/ x x  9 5 2x4; 4 / x x(  1) x x( 2)  x x( 3)

5 / 2x 8x 6 x  1 2x2;6 / x x(  1) x x( 2) 2 x ;7 /( 1 x 1)( 1  x 1) 2x

8 / x x11 x x114;9 / x2 x 1 x2 x 1 2;10 / x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1

2 2 2 2

4x  x  4x  x    x 2 x  2 x  x

16 / ( )f x  x   x 5 x 8x 4 5 f(x) nb’ khi x  4 2 5 và đb’ khi 21 1

2

x 

Pt có ngdn x = 2

17 / 2x  1 x 3x 2 2x 2x 3 x   x 2 2x 2x 3 2x  1 x   x 2 x 3x 2 0

18 / 7x x x 5 3 2 xx (x 1);19 / 3 x x  2 x x 1( 5  t 1 t t,   0 t 1)

20 /x2 x 1 ( x 1 1) x   x 0 ( x 1 1)( x  1 1 x x)  0 x 2

2

21/ 4x 1 4x  1 1(x1/ 2VT VP x 1/ 2); 22 / (x2)(2x 1) 3 x  6 4 (x6)(2x 1) 3 x2 ( ) ( 6 2).( 2 1 3) ( ) ( ) 4 5

biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7

   

23/ (x1)(4x) x 2(4 x 1); 24 / x  1 3 x4(x0); 25 / x 3 2x 8 7x( 4;5  6;7 )

26 / x 2 3 x 5 2 ( 2 x   x 2); 27 / x 3x 2 x 6x 5 2x 9x7(x  5; 1)

 

28 / x 4x 3 2x 3x  1 x 1 1 (4 13) / 2;1/ 2 ; 29 /( x3) x  4 x 9(x 13/ 6;x3)

2 2 2

2

1 1 4 4

30 / 4 ( 1 1) 4( 1 8);31/ 3 3(1 1 4 ), ( 1/ 2 0) (1 1)

x

32 / , ( 3; 2 4);33 / ( 1) 1 1 2( 5 / 4)

11 2 9

2 ( 2) 1 1

x

2

7 21 11 13

36 / 1 4 2 1( 0);37 / 5 9 1 ; ;9 ;38 / 2 6 1 1( 0;0 2)

39 / 3 1 2 4 3

304

x  x   x Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là 2;0

41/

II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ:

1/ x 3x 3 x 3x 6 3; 2 / 3x 15x2 x 5x 1 2;3/x 7x 4 4 x x( 2)( x   t t 1; 2)

4 / x   x 4 x   x 1 2x 2x9;5 / 3 x x  2 x x 1;6 /x  x 1131

2

7 / 3(2 x2)2x x6(x   t 2 x 3;(11 3 5) / 2)

8 /xx/ x  1 2 2(x 1) x x /(x  1) 2x / x      1 8 t 2t 8 0

9 / 2x 5x 1 7 x 1(u x 1 0;v x   x 1 0);10 / 2(x 3x 2) 3 x 8;11/ 2(x  2) 5 x 1

12 /x 2x 4 2 x 4 ;13/x x 1 x 3 2 (x1)(x3) 4 2 (x t x 1 x3);

14 / x 4 x 4 2x2 x 16 12;15 / 3 x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x2

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

18 /(4x1) x  1 2x 2x1(y x   1 y 0,5; 2x1);19 / 2(1x) x 2x 1 x 2x1

20 /x 3x  1 (x 3) x 1; 21/x 5x  1 (x 4) x  x 1; 22 /x 17x x 17x 9

23/ 1 1x x(1 2 1 x )(xsint, 0 t / 2 t / 2; / 6); 24 / x  x 5 5( x 5 t)

23'/ 1x 4x 3 , (x xcosx;0    x  x 2 / 2; 2 2 / 4); 24'/x 6 6x  4 4 0, (x 2;1 3)

25 /x  x 1 1; 26 / 3 3 x x, ( 3 x t); 27 /x  1 2 2x1, ( 2x 1 t); 28 /(3x )  3 x t, (  3 x )

1 2 3

27 '/ 8x  1 162x27 u  1 3 3u 1 u 3u  1 0 8x 6x 1 0;xcosy2cos y3   1 0 x x x; ;

29 /x a(3a )3 3x(a 3) , (a t 3x(a 3) );30 / 2a   x 1 x1, (u 2x v;  x1)

3 3

31/ x 7 x1;32 /    x 1 1 x2;33/ x 4 x 3 1, (u x4;v x 3 u  v 7)

34 / 2x 1 x 1 3x1;35 / 2x 1 x 16 2x1;36 / x 7x 8 x 6x 7 2x 13x123

37 / 2;38 / 2 4 , 1; ;39 / 1 1 1 1 1

38'/ 2x1532x 32x20 2x158(2x1) 28 u148u 28; u14 ku u 14k u  k 2

2 2

n

x  x  x  x  x  x  x  x   u v   

2 3

2

3 3

1

46 / 6 2 ( ) 0 5 7; 47 / 1 (: ; )

3

2

a b

a

x x

x x

a b



48 / 2 5 4 2 4 3, ( 1 4 3 1 4 3); 49 / 5 10 1 7 2 , 3; ;1

50 / 4 (4 x)(2x)x 2x12(x 1 5);51/ (x x4)  x 4x (x 2) 2(2 3  x 2 3)

0

52 /(x  1) (x  1) 3x x 1 0, (tx x  1 2 3 / 9   t 3t 2 0,TMn :x 1)

0

x

                  

0 2

54 / ( 1) 2 0, : (1;1, 25) (5 / 3; )

x



2

55 / x   1 x 3 2(x3) 2x2(*), (u( x1;x3),v(1;1).(*)u v   u v   x    1 x 3 x 5)

2

56 /x x 1 3 x 2 x 1, (u( ;1),x v( x1; 3x)u v   u v   x 1 x 3  x x 1;1 2)

III.Biện luận PT và BPT vô tỉ:

Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm:

2

1/ 2 x 2 x (2x)(2x)m t;(  2 x 2   x t 4 2 (2x)(2x)  2 t 2 2

2

           

3

x

x





2

4 / x 3 6  x m (x3)(6x), (3 24,5 m 3);5 / x 9   x x 9x m , ( 2, 25  m 10)

6 /x 2x  1 m m, (  2 / 2);7 /x2m x1, (m5 / 8);8 / 4x mx m 2, (m 4 / 3;m0)

9 / 2x 2(m4)x5m10   3 x 0( PTf x( )(x1) /(2x 5) m có nghiệm x  3 m 3)

10 / 3 x 1 m x 1 2 x 1, (  m 2t 3 ;0t  t (x1) /(x     1) 1 1 m 1/ 3)

4

11/ x 1 4m x 3x 2 (m3) x 2 0, ( m f t( ) (3t 1) /(t 4 );0t     t 1 m 3/ 4)

12 /( 1 x x)  x(1x)m t, (  1 x x1; 2 f t( ) t (t 1) / 2   m 1 m 2 20,5)

 

13/ ( 1m x  1x 2)2 1x  1x  1x , (t 1x  1x  2 2; 2 2 m (5t 6 t ) /t

2 4

2 1;1 );14 / ( )f x x 1 x m f x, ( '( ) 0 x 0 m 0;1 )

15 /x x x12m( 5 x 4x); ( )f x (x x x12) /( 5 x 4x) là hs đồng biến trên đoạn

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

0; 4 2 154 3 m 12;16 / x 2x 2 2m 1 2x 4 , (x m 1)

2

17 / x6 x 9 x6 x 9 (x m ) / 6;m6(t  3 t 3 )  t 9 f t( )27, (t x 9 0)

18 /m2 xx / 3 x 1x t;  x 1 x 1; 2  m t (t 1) / 3 (1; 2 1/ 3) 

x m x   m f x  x x 

(3x 1) / 2x 1 2x 1 ax

2

( a (3x2) / 2x 1 (3t 1) / 2 ;t t  0 PT có nghiệm duy nhất với mọi a )

x  x m  x  x m   x  x m   m x  x KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm

2

x

2x 2mx 1 3 4x 2x

3

24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt: 2

x  x  m x

2 0

(n :x2;x  2 m f x( ) (x 2)(x4)  f x'( )3 (x x  4) 0 nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và x2 2)

x  x m x x  x x m

- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm a 0;1 thì nó cũng có nghiệm 1 – a Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì

a = 1-a  a 1/ 2 2 m 2m3  m 0; 1

- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT

x  x x m m

2

28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi   2 2 2

0;1 : ( 1) 2 4

x x   m x x  

(tx x  2 0; 3 m f t( )    t t 3  3;3, 25 m 3)

a x   x a

2

x

x

x  x x x  x m m 

x   x x x  x m  m

x  x m x x 

m f x  x  x x x   f x  x  x  x x x    m