Phương pháp giải và ví dụ minh hoạ Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất Bước1.Đặt điều kiện cho ẩn số nếu có Bước 2.. Biến đổi phương trình về dạng ax+b=0 Xét các trường h
Trang 1*Giải bài tập kỳ trước
Bài 1
1 a) Để hàm số có nghĩa thì
4
1 0
1 0
x
x
+ ≥
ư > ⇔ < <
ư >
.
b) Để hàm số có nghĩa thì x ư > ⇔ >x 0 x 0
Vậy tập xác định của hàm số là (0,+•)
2
a) Để hàm số có nghĩa thì
1
4
x m
m
≤ +
+ ư ≥
⇔
ư + ≥ ≤
Nếu 1
4
m
m+ ≥ thì tập xác định là ( ,
4
m
ư∞ ) Để hàm số xác định với mọi x>0 thì
(0,+•)Ã ( ,
4
m
ư∞ ), điều này không xảy ra
Nếu 1
4
m
+ <
m thì tập xác định là ( ư∞ ,m+ 1 ), tương tự ta phải có (0,+•)Ã ,
điều này cũng không xảy ra
( ư∞ ,m+ ) 1
Vậy với mọi giá trị của m hàm số không thể xác định với mọi x>0
b) Để hàm số có nghĩa thì
2 0
+ ≠ ≠ ư
Vậy tập xác định D =[2-m, +•)
Để hàm số xác định với mọi x>0 thì (0,+•)ÃD Ô2-m Ê0Ô m≥2
3) a) Để hàm số xác định thì 2m+1-xπ 0 Ôxπ2m+1
Vậy tập xác định của hàm số là D=R\{2m+1}
Để hàm số xác định trên (-1;0) thì (-1;0) à D Ô 2m+1 œ(-1;0)
1 2 0
2
m m
≤ ư
+ ≤ ư
⇔
+ ≥ ≥ ư
b) Để hàm số xác định thì 2 0
2
m
ư > >
⇔
ư ư ≥
2 1
m
≥ ư ⇔ ≤ thì tập xác định là ∆
2 1
m
< ư ⇔ > thì tập xác định là D=( ;2 1]
2
m
mư
Trang 2Để hàm số xác định trên (-1;0) thì (-1;0) Ã D Ô 1 0 2 1
2
m
m
≤ ư < ≤ ư
Điều này không xảy ra với 2
3
m>
Bài 2
2) Nếu f vừa chẵn,vừa lẻ thì f∫0
Thật vậy, vì f chẵn nên f(-x)=f(x) " x Œ R
Vì f lẻ nên f(-x) =-f(x) " x Œ R
Từ đó f(x) =f(-x) " x Œ R Ô f(x) =0 " x Œ R
3)
Đặt
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( )
2
g x
h x
+ ư
=
ư ư
=
Khi đó g là hàm chẵn,h là hàm lẻ và ta có f(x) =g(x)+h(x)
4) Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình f(x) =g(x) Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất
Thật vậy giả sử còn có x1 π x0 là nghiệm của phương trình Không giảm tính tổng quát có thể giả thiết x1> x0
Khi đó ta có g(x1)=f(x1) ( do x1 là nghiệm)
> f(x0) ( do f là hàm tăng (ngặt))
=g(x0) ( do x0 là nghiệm)
>g(x1) ( do g là hàm giảm ngặt)
vậy g(x1)> g(x1) điều này là vô lý
Bài 2:
Phương trình và hệ phương trình bậc nhất
A Phương pháp giải và ví dụ minh hoạ
Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất
Bước1.Đặt điều kiện cho ẩn số (nếu có)
Bước 2 Biến đổi phương trình về dạng ax+b=0
Xét các trường hợp :
i) a π0: phương trình có nghiệm duy nhất x=-b/a
ii) a=0, bπ0: phương trình vô nghiệm
iii) a=b=0: phương trình có vô số nghiệm
Chú ý: Trong trường hợp i) và iii) cần so sánh giá
trị của nghiệm số với điều kiện nếu có
Trong trường hợp a chứa tham số, khi a=0 ta sẽ
tìm được giá trị cụ thể của tham số, ta nên thay
giá trị của tham số này để được một phương trình
cụ thể
Trang 3Ví dụ1: Giải và biện luận phương trình
(m2+m)x=m+1 (*)
Giải
Phương trình đã có dạng ax+b =0 Ta xét các trường hợp
i) m2+m π0 Ô m π 0, m π -1 Khi đó (*) có nghiệm duy nhất x= 1 1
( 1)
m
+ = + ii) m2+m =0 Ô m=0, m=1
* m=0 (*) có dạng 0x=1: phương trình vô nghiệm
* m=-1 (*) có dạng 0x=0 Ô x Œ R
Tóm lại:
* m π 0, m π -1 phương trình có nghiệm duy nhất x 1
m
=
* m=0 : phương trình vô nghiệm
* m=-1: phương trình có tập nghiệm là R
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình
2
x m x
= + ư (*)
Giải
Điều kiện: x π ±1
Ta có (*) Ô (x-m)(x-1)= (x-2)(x+1) Ô mx= m+2
i) m π 0: phương trình có nghiệm x m 2
m
+
= Cần so sánh với điều kiện:
+) x π 1 Ôx m 2
m
+
= π 1Ô 2 π 0 luôn đúng
+) x π -1 Ô x m 2
m
+
= π -1 Ô m+2 π -m Ô m π -1 ii) m=0:
Ta có (*) Ô 0x = 2: Vô nghiệm
Tóm lại:
- Nếu m π 0, m π -1 phương trình có nghiệm duy nhất x m 2
m
+
= -Nếu m=0 hoặc m=-1, phương trình vô nghiệm
Dạng 2 : Tìm tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho trước
-Đặt điều kiện cho ẩn số nếu có -Biến đổi phương trình về dạng ax+b=0
- Tuỳ theo điều kiện đầu bài ta tìm tham
số để thoả mãn điều kiện đó
Trang 4Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 1
1
x m x
+ = +
Giải
Điềukiện: x π m, x π 1
Ta có (*) Ô mx= 2-m
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì cần phải có
0 0
2
{ 2,0,1}
1
m m
m
m
m
≠
≠
≠ ⇔ ≠ ⇔ ∉ ư
≠
≠
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì m khác các giá trị -2,0,1 ( Tương tự hãy tìm điều kiện để phương trình vô nghiệm)
Ví dụ 4 Tìm m để phương trình có nghiệm
2 2
4 1
x
+ ư ư = ư
3 + (*)
Giải
Điều kiện: x>1
Biến đổi phương trình ta có : (*) Ô 2m+1-4(x-1) =x-2m +3
Ô 3x =3m +1
Ô 3 1
3
m
x= +
Để phương trình có nghiệm thì ta phải có 3
3
m
= >1 Ô 2
3
>
m
Trang 5Dạng 3 Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất
Cho hệ phương trình
' '
ax by c
a x b y c
+ =
' '
a b
ab a b
a b = ư
DX= ' '
' '
c b
cb c b
c b = ư
DY= ' '
' '
a c
ac a c
a c = ư Biện luận:
a)Nếu D π 0 hệ có nghiệm duy nhất x X ,y Y
b) Nếu D=0 , thay trực tiếp giá trị của tham số vào hệ phương trình để xét xem hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm
Ví dụ 5 Giải và biện luận hệ phương trình
3
1 2
x my m
+ =
+ = +
Giải
Ta có
2
2
1
1 (1 )(1 ) 1
3
2 (1 )
1 2 1
1 3
3 2 1 (1 )(1 3
1 2
X
Y
m
m
m m
m D
m D
+
Biện luận
a) Nếu D π 0 Ô (1-m)(1+m) π 0 Ô m π ±1
Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
2 1
3 1 1
X
Y
m x
m y
D D
+
b) Nếu D=0 Ô m=1, m=-1
+) m=1 Thay m=1 vào hệ phương trình , hệ có dạng
3
3 3
x y
x y
x y
+ =
⇔ + =
+ =
Trang 6Do đó hệ này có vô số nghiệm
+) m=-1 Thay vào hệ phương trình ta được hệ có dạng
3 3
ư = ư ư = ư
⇔
ư + = ư ư =
Hệ vô nghiệm
Dạng 4 Tìm tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện chi trước
Ví dụ 6: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm
2 1
mx my m
m x my
m
ư = ư
Giải
Để hệ vô nghiệm thì trước hết D=0 Ô D= 3
m
m
ư
= = ⇔ =
ư Ngược lại với m=0, thay trực tiếp m=0 vào hệ , khi đó hệ trở thành
0 0
0 0 3
x y
x y
ư = ư
+ =
1
nên hệ vô nghiệm
Vậy đáp số là m=0
Ví dụ7: Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm
2( 2) (5 3) 2( 2)
Giải
Để hệ vô số nghiệm thì trước hết D=0 Ô (m+2)(3-m)=0 Ô 3
2
m m
=
= ư
+) Với m=-2 hệ có dạng
8
3
y
x y
x y
y
= ư
+ = ư
⇔
+ = ư
Hệ vô nghiệm
+) Với m=3 hệ có dạng
10 18 2
5 9
5 9 1
x y
ư =
1
ư =
Hệ vô số nghiệm
Vậy đáp số là m=3
Ví dụ 8 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Khi đó hãy tìm m nguyên
để nghiệm duy nhất của hệ là nguyên
2
1
mx y m
+ =
+ = +
Giải
Hệ có nghiệm duy nhất Ô D= m2-1 π 0 Ô m π ±1
Trang 7Ta có DX=2m2-m-1=(2m+1)(m-1)
DY=m2-m =m(m-1)
Do đó
2
1 1
X
Y
m x
m y
D D
Do đó m, x,y Œ Z Ô m, 1
1
m+ Œ Z Ô m+1= ±1 Ô 0
2
m m
=
= ư
So sánh với điều kiện m π ± 1 ta có đáp số m=0, m=-2
B Bài tập tự giải
Bài 1: Giải và biện luận phương trình
2 2
x m x
ư + ư =
ư b)
1 2 1
x m x
ư + ư =
Bài 2
1) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
a) (m-1)2x=4x+m+1
2
x m x
ư + ư =
2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a) m2 (x-1)=4x-3m+2 với x>0
2
x
ư + ư = +
1
ư
0
4
m
1
Bài 3 Giải và biện luận hệ phương trình
a) 1 0 b)
2 0
mx y
x my
ư + =
+ + =
( 2) 2
0
x my m
+ + ư =
+ ư =
Bài 4
1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
8 4 4
( 1) ( 2) 3
+ = ư
2)Tìm m để hệ phương trình sau vô số nghiệm
(ưm4x my++6)x+= +21y= +m3
3)Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên
a) ( 2 1) 2 2
2
+ ư = ư
ư = +
b)
6 0
1 2
mx y
+ ư =
+ = +