Chuyên đề đầy đủ - mặt phẳng - đường thẳng - mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng   chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d Có thể phát biểu bài toán dưới dạng như, cho biết tọa độ 3 điểm A, B, C.. Viết phương trình mặt phẳng   chứ

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)

2

A Kiến thức chung

1 Phương tr ình mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt

- PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng  P qua M0( , , )x y z0 0 0 và có vtpt (vectơ pháp tuyến) ( , , )

- Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z 0, (Oyz) là x 0 và (Oxz) là y 0

2 Vị trí tương đối của mặt thẳng và mặt phẳng:

.sin( ,( ))

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M o (x o ;y o ;z o ) và thoả mãn điều kiện

Loại 1 : Có một vectơ pháp tuyến

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

a Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng  

b Viết phương trình mặt phẳng   chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d

Có thể phát biểu bài toán dưới dạng như, cho biết tọa độ 3 điểm A, B, C Viết phương trình mặt phẳng (P)

đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC thì khi đó n P  BC

= n ,thật vậy vì mặt phẳng Q  P song song với mặt phẳng (Q) nên hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau hay nP

= k.nQ

, vì k  0 nên chọn k = 1 để nP

=

Q

n Tương tự như thế trong bài 2b ta chọn k = 1 đển =  u , từ đó ta có nhận xét d

+ Hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng vtpt

+ Nếu mặt phẳng  P chứa hai điểm A và B thì AB

- Vectơ pháp tuyến cũng có thể cho ở hình thức là vuông góc với giá của vectơ a nào đó, khi đó ta

phải hiểu đây a là vectơ chỉ phương

Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ a  6; 2; 3  

vàA  1;2; 3  Viết phương trình mặt phẳng   chứa điểm A và vuông góc với giá của vectơ a

Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng đi

qua điểm M2;6; 3  và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ

Giải:

Nhận xét :

- Các mặt phẳng toạ độ ở đây là Oxy; Oyz; Oxz Thoạt đầu ta thấy các mặt phẳng này không thấy vtpt , nhưng thực ra chúng có vtpt, các vtpt này được xây dựng nên từ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i

= (1;0;0) ;j

= (0;1;0) ; k

= (0;0;1), các vectơ này được coi là các vtcp

- Bây giờ ta sẽ viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M và song song với mặt phẳng 0xy còn các mặt phẳng khác làm tương tự

Cách 1:

Mặt phẳng  P đi qua M2;6; 3  và song song với mặt phẳng Oxy  mặt phẳng  P đi qua M và

vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) đi qua M nhận vectơ nP

= k làm vtpt có phương trình là : 0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0 hay  P :z 3 0

] = (0;0;1) là vtpt nên  P :z 3 0Tương tự (P) // Oyz và đi qua điểm M nên  P :x 2 0

(P) // Oxz và đi qua điểm M nên  P :y 6 0

- Quay lại loại 1

Bài tập giải mẫu:

Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

 P đi qua điểm A0; 1;2  và song song với giá của mỗi vectơ u  = (3;2;1) và v = 3;0;1

Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

  đi qua điểmM2; 1;2 , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng

- Mặt phẳng   đi qua điểm M2; 1;2  A.2B.( 1) C.2D0 1 

- Mặt phẳng   song song với trục Oy n j.0 A.0B.1C.0 0 2  

- Mặt phẳng   đi qua điểm M A.0B.1C.2D0 1 

- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d n u.d 0 A.2B.1C 1 0 2    

- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d ’

Nếu điểm A d (hoặc Ad') thì bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng   chứa d (hoặc d')

và song song với d' (hoặc d )

Bài tập tự giải:

Bài 1:

a Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm M3;4;1 , 2;3;4 , 1;0;2  N  E  Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm E và vuông góc với MN

(Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)

b Viết phương trình mặt phẳng   đi qua K1; 2;1  và vuông góc với đường

b Song song với đường thẳng d (hoặc trục Ox, Oy, Oz)

c Có khoảng cách từ điểm M tới là h

d Tạo với một góc  Q một góc 

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

  đi qua hai điểm M1;0;1 , 5;2;3 N  và vuông góc với mặt phẳng   : 2 –x yz– 7 0

Giải:

Cách 1 :

Mặt phẳng   đi qua hai điểm M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng ()

 mặt phẳng   đi qua điểm M và n

Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mặt phẳng Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai

điểm A3;0;0 , 0;0;1 C  và tạo với mặt phẳng Oxy một góc = 60o

Giải:

Cách 1:

Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 60o nên mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng

Oxy tại điểm B(0;b;0) Oykhác gốc toạ độ O  b  0

mặt phẳng (Q) là mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trinh là :



26

326

99

9

6b  b2   b b2  b Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là :

(Q1) : x – 26 y + 3z – 3 = 0

(Q2) : x + 26y + 3z – 3 = 0

Cách 2: vì A Ox và C  Oz

Gọi AB là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng 0xy Từ O hạ OI  AB

Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB  CI  OIC 600

Trong  vuông OIC ta có OI = OC.tan OIC = 1.tan60o =

33

Trong  vuông OAB ta có 12 12 12

OB OA

1313

 B1(0; 26 ;0)  Oy hoặc B2(0; 26;0)  Oy Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn là

13

26

z y

Mặt phẳng   đi qua hai điểm M2;1;3 , N1; 2;1  và song song với đường thẳng d

 mặt phẳng   đi qua điểm M và n MN

Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết

phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng

51

Bài 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng

 Q :x2y3z 3 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q)

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua

I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng300

Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A1;0;1 , 2;1;2 B  và mặt phẳng

 Q :x2y3z 3 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q)

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm M1;2;3 , 2; 2;4 N   và song song với Oy

(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)

- Thay vào phương trình (1) ta được phương trình mặt phẳng  P

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

  đi qua ba điểm M3;0;0; N0; 2;0 vàP0;0; 1 

12

3  



z y

x

hay   : 2x3y6z6 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN, biết M và N có toạ độ cho trước

Phương pháp:

- Tính tọa độ trung điểm I của MN và tính MN

- Mặt phẳng trung trục của đoạn MN là mặt phẳng đi qua I và có vtpt nP MN

- Biết một điểm và một vtpt ta được phương trình mặt phẳng cần tìm

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình trung trực

của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3)

Giải:

Cách 1:

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB  I(3;2;5) Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi trung điểm

I của A,B và vuông góc với đoạn thẳng AB  mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua I và nhận vectơ AB

'7.2

'3.214

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHSP HN 2 – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình là

t y

t x

21

022

y

z x

a Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau

b Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’

Vậy PT mp() là: 3x – y – 4z + 7 0

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng (Q 1 ) và Q 2 (với Q 1 và

Q 2 song song với nhau)

Chú ý:

- Sử dụng công thức khoảng cách

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là

(P) : 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q) : 3x – y + 4z + 8 = 0

Viết phương trình mặt phẳng () song song và cách đều (P), (Q)

Giải:

Vì n = P n = (3;-1;4) và 2  8 nên (P) // (Q), chọn điểm M(0;2;0)(P) và điểm N(0;8;0)(Q) Q

Mặt phẳng   song song với (P) và (Q) luôn có dạng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì   cách đều (P) và (Q) nên d M ,  d N ,  



161

9

'0.4

'0.480.3

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với một mặt cầu (S) và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt hoặc vtcp

- Bước 2: Từ điều kiện cho trước xác định vtpt n , giả sử P nP a b c; ; 

khi đó mặt phẳng  P có dạng '

axbyczD 0 với D ' 0 (1)

- Bước 3: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I P ,  R, từ đây được phương trình theo D, giải phương trình (tại tuyệt đối) được D’ thay vào (1) ta được phương trình mặt phẳng  P cần tìm

- Bước 4: Kết luận (thường có hai mặt phẳng thỏa mãn)

Chú ý: Điều kiện cho trước là

- Song song với mặt phẳng  Q cho trước nPn Q

- Vuông góc với đường thẳng d cho trước nP ud

- Song song với hai đường thẳng d1 và d2 cho trước nP u u  1, 2

- Vuông góc với hai mặt phẳng  Q và  R cho trước nP n n  1, 2

- Song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng  Q cho trước n P  u n d, Q

Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T93) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

  tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình  S :x2 y2z2 – 10x2y26z170 0

và song song với hai đường thẳng

')13.(

5)1

 1 : 4x + 6y + 5z + 51 + 5 77 = 0

 2 : 4x + 6y + 5z + 51 – 5 77 = 0

Bài 2: (SBT – Ban Nâng Cao T138) Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc

với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình lần lượt là :

Bài 3: (SGK – Ban Nâng Cao T90 – ĐHGTVT – 1998 ) Trong không gian Oxyz Viết phương trình

mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là :

Mặt phẳng (Q) có vtpt n Q 4;3; 12 

Mặt cầu (S)  (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16

 mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kinh R = 4

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)

Bài 4: (Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình

mặt phẳng () song song với trục Oz, vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0

Giải:

Mặt phẳng (P) có vtpt nP

= (1;1;1) Mặt cầu (S)  (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9

 mặt cầu (S) có tâm I1; 1; 2   và có bán kính R = 3

Mặt phẳng () song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P)

 mặt phẳng () có n

 k ;n

Bài 5: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho mặt cầu

(S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4;3;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm M

Bài tập tự giải:

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu

  S : x22 y12 z12 9 và vuông góc với đường thẳng

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu

 S :x2 y2z22x2y4z 3 0 và vuông góc với đường thẳng : 1 2

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa một đường thẳng  cho trước và thoả mãn điều kiện

Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và vuông góc với mặt phẳng  

3 Lấy một điểm M trên 

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt

3 Lấy một điểm M trên 

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với một

3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước

Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và tạo với mặt phẳng   (hoặc đường

thẳng d ) một góc 

Loại 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và cách một điểm M không thuộc 

một khoảng h

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

04

z y x

z y

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q) và (P)  mặt phẳng (P) chứa giao tuyến 

 mặt phẳng (P) đi qua ba điểm Mo; M và N

 (P) đi qua điểm Mo và có vtpt n = [P M M0

,M N0

4

114

77

;4

77

;4

Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)

Nhận xét:Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng)

023

y x

z y

x

Chọn hai điểm M 5;0; 13   và N(1;1;0) 

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (),  và vuông góc với mặt phẳng  

 mặt phẳng (P) chứa giao tuyến  và vuông góc với mặt phẳng  

 mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt nP

y x

z y

Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)

Bài 2: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng

 mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt nP

= [u1,u2] = (2;0;-1)

Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : –x yz– 3 0 và   : 3xy5 – 1 0z  đồng thời song song với mặt

03

z y x

z y x

4

;

3

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của () và () đồng thời song song với mặt phẳng ()

 mặt phẳng (P) chứa giao tuyến  và song song với mặt phẳng ()

 mặt phẳng (P) đi qua điểm M và luôn có dạng: x + y + 2z + D’ = 0

 P đi qua điểm M nên 3 + 

4 + D’ = 0  D’ = 1 Vậy mặt phẳng (P) có phương trình x + y + 2z + 1 = 0

Hoặc: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n P u n, 

, mặt phẳng  P song song với  

 nP

và n

cùng phương 

2.2

31

1

A B B

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1;3; 2 ,   B3;7; 18  và mặt phẳng

 P : 2xy  z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P)

Viết phương trình mặt phẳng () đi qua d và tạo với d’ một góc300

vuông góc với và u

Đồng thời tạo với đường thẳng d’ một góc300 tức là

2

160cos)'

;cos(n u  0

2

0

2 2

)(6

3

C A B C

C A A A

C A B

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1;3; 2 ,   B3;7; 18  và mặt phẳng

 P : 2xy  z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P)

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007) Đs:   : 3x  z 5 0

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa hai đường thẳng  và 1  cắt nhau hoặc song song 2với nhau

Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và  ’

Phương pháp:

1 Tìm VTCP của  và  ’ là u và u'



2 VTPT của mặt phẳng   là: n   uu'

3 Lấy một điểm M trên 

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 song song  và  ’

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐH – D 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

- Chứng minh d1 và d2 song song với nhau ,ta có

d1 đi qua điểm M(1;-2;-1) và có vtcp u1

chọn hai điểm N(-3;5;0) và Q(12;0;10)  d2 Mặt phẳng (P) chứa d1 // d2  mặt phẳng

(P) đi qua ba điểm M,N và Q  mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n P MN MQ, 

, MN] = (15;11;-17) (với u1

và MN không cùng phương)

 mặt phẳng (P) có phương trình là :

15(x – 1) + 11(y + 2) – 17(z + 1) = 0 hay (P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0

Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo)

Mặt phẳng (P) chứa d1 // d2  mặt phẳng (P) đi qua điểm và chứa d2

Mặt phẳng (P)  chùm mặt phẳng xác định bởi d2 có dạng

α(x + y – z – 2) + β(x + 3y – 12) = 0 (α2 + β2  0)

 (α + β)x +(α + 3 β)y – αz – 2α – 12β = 0 vì M (P)

(α + β).1 + (α + 3 β)(-2) – α(-1) – 2α – 12β = 0  - 2α - 17β = 0 chọn α = 17 và β = -2

Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là : 15x + 11y – 17z – 10 = 0

Bài 2: (SBT – Ban Cơ Bản T115) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

d1 :

4

53

22

t y

t x

21

22

37

0123

z y

y x

;3

1 Mặt phẳng () chứa d1 và

d2 là mặt phẳng đi qua ba điểm M1,M2 và I

hướng dẫn : Làm tương tự như dạng

Cách 4: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo)

Mặt phẳng () chứa d1 và d2  mặt phẳng () chứa d1 và đi qua điểm M2  d2

Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q :x y z 2 0 và cách nó một khoảng h  3

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1;2;3 và tạo với mặt phẳng Ox, Oy các góc

22

21sin 30

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng mặt  Q trong các trường hợp sau:

a Vuông góc với các mặt phẳng    P1 , P2 có phương trình lần lượt là x z 2 0; xy  z 1 0và đi qua gốc tọa độ

b Tạo với các mặt phẳng    P1 , P có phương tr2 ình lần lượt là x z 2 0; xy  z 1 0 các góc tương ứng là  450 và góc  với cos 1

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH  HI HI lớn nhất khi A  I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

)31

;

;21

.Gọi  là đường thẳng qua điểm A4;0; 1 

song song với d và I  2;0;2 là hình chiếu vuông góc của A trên D Trong các mặt phẳng qua  , hãy viết

phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến là lớn nhất

Giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng  , thì ( ) //( )P D hoặc

( )P D Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Ta luôn có

Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

a c

Gọi tâm mặt cầu là I Giả sử I( ; 1 2 ;2 )  t t t  

Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:

Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng  Q :xyz0

B = 8

5

A

 Chọn A 5 , B    1 (1) C3 thì  P : 5x8y3z0

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình

(S):x2y2z24x4y2 16 0z  ; ( ) : 2P x y2z 1 0.Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) bằng 3

| 8 | 9

17

D D

Vậy phương trình của  Q : 2xy2z17 0

Bài 9: (ĐH – D 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x

 y + z  1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2

Giải:

Ta thấy M thuộc miền trong của (S) và (S) có tâmI  1; 2; 3 , R 14 Do đó,

(P) qua M cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

là VTPT của (P) Vậy (P) có phương trình là y  z 1 0

Bài 11: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường

- Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2

- (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

Bài 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)

a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG

b Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C

Chứng minh rằng : ABC là tam giác đều

Ta có: ABBCCA3 2 ABC là tam giác đều

Bài 14: (SGK – Ban Nâng Cao T89) Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P)

Đi qua điểm G(1;2;3) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC

Đi qua điểm H(2;1;1) và cắt các trục toạ độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam

3  

z y x

Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D(–1; 1; 1)

và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP

Do mặt phẳng (P) vuông góc với d, nên có pt 2x – y + z + c = 0

Mặt phẳng (P) cắt Oz tại A(0; 0; -c), cắt d’ tại B(1- c; -2c; -2-c)

Theo giả thiết

Bài 20: Cho điểm M(1; 2; 3) Lập phương trình mặt phẳng (P) biết rằng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần

lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC

Giải:

Do A, B, C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên ta gs A(x A ; 0 ; 0), B(0 ; y B ; 0), C(0 ; 0 ; z C)

Vì M là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có 

M C B A

M C B A

z z z z

y y y y

x x x x

333

C B A

z y

z y x

.018236:)

Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3) Viết phương trình

mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P)

Vậy có 2 mp thoả mãn:  P1 : 6 x3y4z0 ;  P2 : 6x3y4z0

Bài 23: Trong hệ trục Oxyz cho M(2;4;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và cắt các trục Ox,

Oy, Oz tại A, B, C tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho 4OA = 2OB = OC

Giải:

A,B,C là điểm nằm trên Ox, Oy, Oz tương ứng có hoành độ, tung độ và cao độ dương và

4OA = 2OB = OC suy ra A(a;0;0) , B(0;2a;0) và C(0;0;4a) với a 0

Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5

Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3

Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) có phương trình : a x 1b y 1c z 20 (a2 b2 c2 0)

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) bán kính R = 2

Nên c 0 Từ (I) Phương trình mặt phẳng  P : 2c x 12c y 1c z 20

Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết

phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng

3

Đs: x y z 20 ; 7x5y z 20

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;2;3).Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba

tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1)

song song với d và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên d Trong các mặt phẳng qua  , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến d là lớn nhất

Bài 12: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 8 11 8 30 0

Bài 13: Cho mặt cầu (S): S :x2  y2 z2 10x2y26z170 0 ;

Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A1;2;3 và B  2;3;4 và cắt mặt cầu

 S :x2 y2 z2 2 – 6x y4z15 0 theo giao tuyến là một đương tròn có chu vi 8

Bài 15: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 1: 5 1 13

 đồng thời tiếp xúc với mặt cầu  S : x2 y2 z2 10x2y26z1130

Bài 16: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A2,3,1 và vuông góc với mặt phẳng

 Q : x y  z 1 0 đồng thời tiếp xúc với mặt cầu  S :x2 y2z22x2y4 –1 0z 

Bài 17: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A2,1, 1  đồng thời song song với hai đường

Bài 19: Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A0;0;1 ; 3;0;0 B  đồng thời

a Tạo với mặt phẳng Oxy một góc 60o