Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm... + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính... + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, r
Trang 1Trường THPT Nguyễn Huệ
Chuyên đề:
Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT
Năm học 2010 – 2011
Trang 2Trường THPT Nguyễn Huệ
(Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT)
A) Tóm tắt kiến thức cơ bản:
Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau :
1) Bảng các nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp
C
x
dx= +
∫
( 1)
1
1
≠ +
+
α
α
x
( 0)
ln + ≠
=
x
dx
C e
dx
e x = x +
∫
(0 1)
ln + < ≠
=
a
a
dx
C x
∫cos sin
C x xdx= − +
∫sin cos
C x dx
cos
1
2
C x dx
sin
1
2
kdx kx C= +
∫
1
+
+
=
α
α
a dx b ax
( 0)
ln 1
≠ +
+
= +
a b ax dx
C e
a dx
e ax+b = ax+b +
a dx b
∫cos 1sin
a dx b
(ax b)dx= a (ax+b)+C +
cos
1
2
+
sin
1
2
C u
du= +
∫
( 1)
1
1
≠ + +
α
α
u
( 0)
ln + ≠
=
u du
C e du
e u = u +
∫
(0 1)
ln + < ≠
=
a
a dx
C u
∫cos sin
C u
∫sin cos
C u du
cos
1
2
C u du
sin
1
2
2) Các tính chất tích phân:
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
a
a
f x dx=
f x dx= − f x dx
b
a
k f x dx=
b
a
k f x dx∫ ( k là hằng số)
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
f x dx= f c dx+ f x dx
3) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
Trang 3Trường THPT Nguyễn Huệ
* sin2a = 1 cos 2
2
a
−
* cos2a = 1 cos 2
2
a
+
c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
a b= a b+ + a b−
2
a b= a b+ + a b−
2
a b= − a b+ − a b−
4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
* n a =a1n và n a m =a m n
* n a b.n = n a b ; n n
n
a a b
b =
* a0 = 1; a1 = a ; a-n = a1n
* a aα. β = aα β+ ; a a
a
α
α β
β = −
* ( )a b α =a bα α; a a
b b
α α α
=
÷
* ( )aα β =aα β.
5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a2 – b2 = (a+b)(a – b)
2
a b± =a ± ab b+
a ± = ±b a b a ma b b+
a b± = ±a a b+ ab ±b
B) Ví dụ và bài tập:
phương pháp từng phần hay đổi biến Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm Hãy nghiên cứu các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) I1 =
1
3 0
(3x−1) dx
2 2 0
x
e− + dx
∫ c) I3 =
0
1
3
2x 1dx
Giải:
a) I1 =
1
3 0
(3x−1) dx
0
x− = − − − =
Trang 4Trường THPT Nguyễn Huệ
b) I2 =
2 2 0
x
e− + dx
2 2 0
1 1
x
e− +
− = – ( e – 2+2 – e2) = e2–1 c) I3 =
0
1
3
2x 1dx
3 (ln1 ln 3) 2
− − = 3ln 3
2
Ví dụ 2: Tính các tích phân
a) J1 = 2( 2 )2
0 1
x + dx
∫ b) J2 =
1
0
2
x dx x
+
−
∫ c) J3 =
6 1
2
x x
dx x
+
∫ Giải:
a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1
suy ra J1 = 2( 2 )2
0 1
x + dx
2
0 (x +2x +1)dx
2
0
2
x x
x
+ +
206 15
x
+ = − +
suy ra J2 =
1
0
2
x dx x
+
−
0 0
1
−
c)
1/2 1/6 6
1/2 1/6 1/3 1/6
6
x x x x
x x
−
3
4
x + dx= x + x
+ × − +
101
4 = 25,25
Ví dụ 3: Tính các tích phân
a) K1 = 4
0 sin3 cosx xdx
π
∫
b) K2 = 8 2
0
cos 2xdx
π
∫
c) K3 =
1
2 1 0
1
x
e − − dx
∫
Giải:
a) Ta có: sin3x.cosx = 1(sin4 sin2 )
suy ra K1 = 1
2
4
0 (sin4x s in2 )x dx
π
π
1 2
Trang 5Trường THPT Nguyễn Huệ
b) K2 = 8 2
0
cos 2xdx
π
∫
Ta có: cos22x = 1 cos 4
2
x
+
suy ra K2 = 1
2
8
0 (1 cos 4 )x dx
π
π
1
+ −
π
+
c) K3 =
1
2 1
0
1
x
e − − dx
∫
Ta có : e2x–1 – 1 = 0 ⇔e2x–1 = 1 = e0 ⇔2x – 1 = 0 ⇔ x = 1
2 ∈[ ]0;1 Suy ra K3 =
1
1 2
1 0
2
e − − dx + e − − dx
1
1 2
1 0
2
e − x e − x
− + −
−
− − −
0
1
− − −
1 1
2e
−
2e
−
Vậy K3 = 1 1 1
1
2e 2e
−
• Các bài tập tự luyện:
Tính các tích phân:
0
2
4 3 2)
5 6
2) I = ∫4 −
6
2
3
sin
sin
1
π
π
dx x
x
KQ: I =
2
2 2
3 + −
x
x
9
4 ln 10
3 +
−
x
x x
∫2 −
1
2
2
2
KQ: K = – 2
5) M = 12∫
0
5 sin 7 sin
π
xdx
6) N =
4
1
2
x− dx
2 7) P = 3 2
0
sin 3xdx
π
6
π
Trang 6Trường THPT Nguyễn Huệ
8) Q = 4 2
0
tan xdx
π
4
π
−
9) R =
/4
/6sin cos
dx
x x
π
3
b
a
f x dx
∫
1) Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm Đổi cận: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai Đổi cận.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Ví dụ 4: Tính tích phân
a) I1 =
2
2 0
4 x dx−
∫
b) I2 =
3 2 0
1
9+x dx
∫
Giải:
a) I1 =
2
2 0
4 x dx−
∫
+ Đặt x = 2sint , t ;
2 2
π π
∈ −
(u(t) = 2sint) ⇒ dx = 2costdt
+ Đổi cận: x= 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒sint = 0 ⇒ t = 0
x = 2 ⇒ 2sint = 2 ⇒sint = 1 ⇒ t =
2
π
+ I1 =
2
2 0
4 x dx−
0
4 4sin 2cott dt
π
−
0
1 sin cott dt
π
−
0 cos costt dt
π
0
cos tdt
π
∫
I1 = 22
0 (1 cos 2 )t dt
π
+
0
1 sin2 2
t t
π
Chú ý:
+ Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số π
là 3,141592654
+ Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể
0
a
a −x dx
2 2
π π
∈ −
(u(t) = asint) ⇒ dx = acostdt rồi thực
hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ
b) I2 =
3
2 0
1
9+x dx
∫
Trang 7Trường THPT Nguyễn Huệ
2 2
π π
∈ − ÷
2t)dt + Đổi cận:
x = 0 ⇒ 3tant = 0 ⇒tant = 0 ⇒ t = 0
x = 3 ⇒ 3tant = 3 ⇒tant = 1 ⇒ t =
4
π
+ I2 =
3 2 0
1
9+x dx
2 0
3(1 tan )
9 9 tan
t dt t
π
+ +
2 0
3(1 tan ) 9(1 tan )
t dt t
π
+ +
3 4
0
dt
π
∫ = 1
3 t 4
π = 1
3 4
π
= 12
π
Chú ý:
Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ
0
1
a
dx
a +x
2 2
π π
∈ − ÷
2t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự
2) Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm Đổi cận: Nếu hai Đổi cận là α và β thì α =u(a) β = u(b)
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.
Ví dụ 5: Tính các tích phân
a) J1 = 2
2
1
x
xe dx
∫
b) J2 =
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
c) J3 =
1
3 4 5 0
x x − dx
∫ d) J4 =
2
2 0
4−x xdx
∫ e) J5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
π
+
∫
Giải:
a) J1 = 2
2
1
x
xe dx
∫
+ Đặt u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒xdx = 1
2 du + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 12 = 1; x = 2 ⇒ u = 22 = 4 (α = 1, β = 4)
+ J1 = 2
2
x
xe dx
4
1 2
u
e du
2
4 1
u
e = 1
2( e4 – e1) = 1
2( e4 – e)
Trang 8Trường THPT Nguyễn Huệ
+ Vậy J1 = 1
2( e4 – e) b) J2 =
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
+ Đặt u = 1 ln x+ ⇒u2 = 1 + lnx ⇒2udu = 1
xdx + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1+ = 1; x = e ⇒ u = 1 ln e+ = 2
+ J2 =
1
1 ln
e
x dx x
+
2
1
u.2udu
3
2 3 1
u = 2
3
( 2) −1 ) = 2(2 2 1)
+ Vậy J2 = 2(2 2 1)
Ghi nhớ:
• Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx⇒du = 1
xdx
• ln1 = 0 và lne = 1
c) J3 =
1
3 4 5 0
x x − dx
∫
+ Đặt u = x4 – 1 ⇒ du = 4x3dx ⇒x3dx = 1
4du + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 – 1 = –1; x = 1 ⇒ u = 14 – 1 = 0
+ J3 =
1
3 4 5 0
x x − dx
0 5 1
1 4
−∫ = 1
4
0 6
1 6
u
−
24
−
+ Vậy J3 = 1
24
−
d) J4 =
2
2 0
4−x xdx
∫
+ Đặt u = 4 x− 2 ⇒u2 = 4 – x 2 ⇒2udu = – 2xdx ⇒xdx = –udu
+ Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 4 0− 2 = 2; x = 2⇒ u = 4 2− 2 = 0
+ J4 =
2
2 0
4−x xdx
0
2
u.(−u du)
0 2 2
u du
−
3
2 3 0
u = 8 3 + Vậy J4 = 8
3 e) J5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
π
+
∫
+ Đặt u = 1 + sinx⇒ du = cosxdx
+ Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 +sin0 = 1; x =
2
π ⇒ u = 1 + sin
2
π
= 2
Trang 9Trường THPT Nguyễn Huệ
+ J5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
π
+
2 4 1
du u
2 4 1
u du−
∫ = 1
3
−
2 3 1
u− = 7
24 + Vậy J5 = 7
24
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
0
cos sin 4
1
π
KQ: I =
6
1 3
b) J = ∫2 x − x dx
0
2
∫1 −
0
.
2
KQ: K =
e
e
2
1
−
d) L = ∫e + x x dx
1
) ln 3
(
KQ: L =
8 13
e) M = ∫21 +
0
2
7 x
dx
KQ: M =
7 3
π
g) N = ∫1 +
0 2 x
x
e
dx
e
KQ: N = ln
3
2 e+
h) P =
1
2010 0
x x− dx
4046132
(Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10 -7 )
2) Tính các tích phân:
a) I1 = 2
0
(2sinx 3) cosxdx
π
+
b) J1 =
2
2 1
3
x x + dx
3
−
c) P =
1
2
0
1
x
dx
x x
+
+ +
2 0
5 tan
cos
x dx x
π
+
e) L1 =
2
1
1 3ln
ln
e
x xdx x
+
g) N1 =
2 e x
dx
Trang 10Trường THPT Nguyễn Huệ
III) Phương pháp tích phân từng phần:
• Công thức:
b a
udv uv= − vdu
• Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ) ( )
b
a
I =∫P x Q x dx
Dạng
hàm Q(x): sinkx hay P(x): Đa thức
coskx
P(x): Đa thức Q(x):e kx P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)
P(x): Đa thức Q(x): 2
1
1
cos x
Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích phân
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân
* u = ln(ax + b)
* dv = P(x)dx * u = P(x)* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới dấu tích phân
Ví dụ 6: Tính các tích phân
a) I1 =
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫
b) I2 =
1
2 0
(x+1)e dx x
∫
c) I3 =
3
2
2 ln(x x−1)dx
∫
Giải:
a) I1 =
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫
• Đặt: u = 2x ⇒ du = 2dx;
dv = cos2xdx ⇒ v = 1
2sin2x
• I1 =
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫ = x.sin2xπ0/4 –
/4
0
sin 2xdx
π
π
π π − +
π + π −
4 2
π −
Vậy: I1 = 1
4 2
π −
b) I2 =
1
2 0
x+ e dx
∫
• Đặt: u = x +1 ⇒ du = dx;
dv = e2xdx ⇒ v = 1
2 e2x
Trang 11Trường THPT Nguyễn Huệ
• I2 =
1
2 0
(x+1)e dx x
1 2 0
1
2
x
x+ e –
1 2 0
1 2
x
e dx
0
x
e e e
4
e −
Vậy: I2 =
2
4
e −
c) I3 =
3
2
2 ln(x x−1)dx
∫
• Đặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = 1
1
x− dx;
dv = 2xdx ⇒ v = x2
• I3 =
3
2
2 ln(x x−1)dx
2 ln( 1)
x x− –
x dx
x−
3
2
1
1
x dx x
+ +
−
∫
= 9ln2 –
3 2
2
2
x
x x
2 Vậy: I3 = 8ln2 – 7
2
• Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu
Đặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = 1
1
x− dx;
dv = 2xdx ⇒ v = x2 – 1 = ( x + 1)( x – 1)
Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x Như đã biết
2
2xdx x= +c
tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn
Ví dụ 7: Tính các tích phân
a) J1 = ∫4
0
2
cos
π
x xdx
b) J2 =
2
2 1
ln xdx
x
∫
Giải:
a) J1 = ∫40 cos 2
π
x xdx
• Đặt: u = x ⇒ du = dx;
dv = 12
cos x dx ⇒ v = tanx
• J1 = ∫40cos 2
π
x xdx = x.tanx0π/4–
/4
0
tan xdx
π
π
ln
π + = ln 2
4
π −
Trang 12Trường THPT Nguyễn Huệ
b) J2 =
2
2 1
ln xdx
x
∫
• Đặt: u = lnx ⇒ du = 1
x dx
dv = 12 dx
x
− (HD: 2
2
1
x x
−
1
x x
−
= −
• J2 =
2
2 1
ln xdx
x
2
1
1
ln x
x
2 2 1
1
dx x
∫ =
2
1
ln 2 ln1
Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I 1=
1
1
(x 3)e dx x
−
+
e
−
b) I2 = ∫e − x xdx
1
ln ) 2 1
2
1−e2
c) I3 = ∫4
0
2
cos
π
x
4
π
– ln 2
d) I4 = 2
1
2ln
e
x dx x
e
2 )
2) Tính các tích phân:
a) K1=2
0
.cos sin
x x xdx
π
8
π
b) K2 =
2
3
1
ln x
dx x
16 8−
c) K3 = ∫1
0
dx
e x
KQ: J = 2
d) K4 = 2
1
ln
e
x xdx
9
e +
IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và
y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = ( )
b
a
f x dx
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x =
b
−
∫
Trang 13Trường THPT Nguyễn Huệ
Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2 Giải:
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = ( )
b
a
f x dx
2 2 0 1
x − dx
∫
• Phương trình: x2 -1= 0 ⇔x = ±1 , nghiệm x = 1 ∈[0;2]
1 2 0 (x −1)dx
2 2 1 (x −1)dx
1 3
0
3
x x
− +
2 3
1
3
x x
Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x
Giải:
• Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x ⇔x2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 và x = -2
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = ( ) ( )
b
a
f x −g x dx
1 2 2
2
x x dx
−
+ −
∫
1 2 2
2
x x dx
−
+ −
1 2 2
(x x 2)dx
−
+ −
1
2
2
x x
x
−
+ − = 9
2 (đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b] tức là biểu thức dưới dấu tích phân không có nghiệm trên ( a; b)
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
Cơ sở lí thuyết:
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = 2( )
b
a
f x dx
π∫ (3)
Ví dụ 10:
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
Giải:
• Phương trình 2x – x2 = 0 ⇔ x = 0 và x = 2
• Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = 2( )
b
a
f x dx
π∫
Ta có V =
0
4
x
x x
π − + = 16
15
π
(đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
Giải:
• Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = 0 và x = –1
• Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: V1 =
0
2 2 1 ( x ) dx
π
−
−
5
• Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: V2 =
0
3 2 1 ( )x dx
π
7
Trang 14Trường THPT Nguyễn Huệ
Vậy thể tích V cần tính là: V = V V1− 2 = 2
35 (đvtt)
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành
KQ: S =
3
32 đvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x – 2
KQ: S =
2
9 đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3]
KQs: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
5
162π
đvtt
V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước cĩ liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2002 )
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
1 x 2 x
1 x x x 2
2 3
+ +
− +
3 1
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=
2 x
12 x 10
x2
+
−
− và trục hoành Ox
(TNTHPT năm 2003 )
Bài 3: Cho hàm số y =
3
1
x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và
Bài 4: Tính tích phân: I = ∫/2 +
0
2 ).cos sin
(
π
dx x x
Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :
y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1
b Tính tích phân: I = ∫/2 −
0
2
cos 4
2 sin
π
dx x
x
(TNTHPT năm 2006)
x
x
1
2
ln
Bài 7: Tính tích phân I
1
1
x x dx
−
Bài 8: Tính tích phân I =
0 (1 cos )
x x dx
π
+
Bài 9: Tính tích phân
1
