Phát triển phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (Development of isogeometric finite element methods) NCS. Thái Hoàng Chiến

Việc kết hợp giữa phương pháp đẳng hình học và các lý thuyết tấm sẵn có hay các lý thuyết tấm mới do tác giả và thầy hướng dẫn đề xuất cho phân tích của kết cấu tấm được thực hiện trong

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

THÁI HOÀNG CHIẾN

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Công trình được hoàn thành tại:

Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên

Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS.TS NGUYỄN XUÂN HÙNG

2 GS.TS TIMON RABCZUK

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

Phản biện 2: PGS.TS Trương Tích Thiện

Phản biện 3: TS Nguyễn Văn Hiếu

Phản biện độc lập 1: TS Nguyễn Trọng Phước

Phản biện độc lập 2: TS Vũ Duy Thắng

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án họp tại Vào lúc giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM

2 Thư viện Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM

TÓM TẮT

-  Phương pháp giải tích đẳng hình học (ĐHH) là một phương pháp mới cho phân tích tính toán kỹ thuật. Mục tiêu chính của giải tích ĐHH là hợp nhất giữa mô hình hình học (thiết kế) và xấp xỉ nghiệm bài toán (tính toán) thông qua  hàm  cơ  sở  NURBS  (Non-Uniform  Rational  B-Spline).  Do  việc  dùng chung hàm cơ sở NURBS nên dữ liệu từ mô hình thiết kế được sử dụng trực tiếp cho mô hình phân tích mà không cần phải trải qua quá trình tạo lưới như trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) thông thường. 

-  Mục đích của đề tài này là phát triển hơn nữa phương pháp giải tích ĐHH này  cho  phân  tích  đàn  hồi  và  đàn  dẻo  của  kết  cấu  tấm.  Việc  kết  hợp giữa phương pháp đẳng hình  học và các lý thuyết tấm sẵn  có  hay các  lý thuyết tấm  mới do tác giả (và thầy hướng  dẫn) đề xuất cho phân tích của kết cấu tấm được thực hiện trong đề tài này. 

-  Các lý thuyết tấm khác nhau đã được áp dụng trong đề tài này như sau: 1) Lý thuyết tấm cổ điển. 

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

-  Ngày  nay,  các  phần  mềm  phần  tử  hữu  hạn  thương  mại  như  ANSYS, ABAQUS, LS-DYNA, NASTRAN, vv   được sử dụng rộng rãi trong việc tính toán và mô phỏng các bài toán kỹ thuật. Trong đó, phương pháp phần tử hữu hạn đã được biết đến như là một phương pháp phổ biến nhất để giải các bài toán kỹ thuật. Tuy nhiên, phương pháp PTHH vẫn còn có những hạn chế nhất định liên quan đến kỹ thuật phần tử (phần tử bậc cao), kỹ thuật tạo lưới (hình  học  phức  tạp)  và  chi  phí  tạo  lưới  v.v…  Do  đó,  việc  đề  xuất  những phương pháp tính mới để đáp ứng những yêu cầu ngày càng cao trong phân tích mô phỏng các bài toán trong công nghiệp hiện nay là cần thiết. 

-  Gần đây, Hughes và cộng sự đã đề xuất phương pháp giải tích đẳng hình học (hay phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học). Ý tưởng thú vị của phương pháp số hiện đại này là hợp nhất giữa mô hình hình học và xấp xỉ nghiệm bài toán thông qua hàm cơ sở NURBS. Giải tích đẳng hình học không đòi hỏi bất kỳ chương trình tạo lưới như trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. Giải tích đẳng hình học cho phép: 1) duy trì hình học chính xác 

mà không cần truy xuất lại mô hình “computer-aider design” (CAD) ban đầu; 3) tăng hoặc giảm bậc hàm cơ sở của nghiệm xấp xỉ được thực hiện rất đơn giản; 4) tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ tương ứng với bậc của hàm cơ sở; 

xấp xỉ).  

-  Trong những thập kỹ gần đây, việc phát triển trong khoa học kỹ thuật đã tạo ra động lực nghiên cứu cho các nhà khoa học tìm ra những vật liệu mới như: vật liệu nhiều lớp (composite) hay vật liệu có tính chất cơ lý thay đổi (functionally graded material). Những vật liệu này đang dần chứng tỏ được 

ưu thế vượt trội cũng như việc ứng dụng ngày càng nhiều vật liệu trên trong rất nhiều ngành kỹ thuật. Tấm là một phần quan trọng trong nhiều kết cấu. 

Do đó để sử dụng hiệu quả, một sự hiểu biết tốt về các ứng xử như: chuyển 

vị, ứng suất, tần số dao động tự nhiên, tải ổn định của kết cấu này là cần thiết.  

-  Thông thường các bài toán thực tế là dùng mô hình ba chiều (3D) để tính toán mô phỏng. Nhưng mô hình tính toán 3D thường rất phức tạp và tốn rất nhiều chi phí tính toán. Để giảm mức độ phức tạp và khó khăn trong mô hình 

tính  toán  3D,  người  ta  giả  thuyết  rằng  ứng  suất  theo  phương  trục z  bằng 

hình tấm). Tổng quát, các lý thuyết tấm thường hay được sử dụng trong tính toán như sau: 

liên tục C1 của các mô hình lý thuyết tấm cổ điển hay lý thuyết biến dạng cắt bậc cao một cách tự nhiên. Nhờ vào liên tục bậc cao của hàm NURBS, giải 

1

1( )0

i i i

-  Hình 1 minh họa hàm cơ sở bậc 2 (quadratic) trong 1D và 2D tương ứng với vectơ knot   {0,0, 0,1 / 2,1,1,1}. 

2.1.1.  Một vài đặc điểm quan trọng của Hàm cơ sở B-spline 

a.  Tổng hàm cơ sở bằng 1,  ,

1

( ) 1

i p i

j p i j

trong đó: N i p,   là hàm cơ sở B-spline thứ i của bậc p,

1

n

i p i i

sự khác biệt giữa PTHH và giải tích ĐHH nằm ở mục đích sử dụng hàm cơ 

sở, nó được thể hiện như sau: 

  Phương pháp PTHH: hàm cơ sở được chọn để xấp xỉ nghiệm của bài toán thì cũng được chọn để xấp xỉ hình học. 

  Giải tích ĐHH: hàm cơ sở dùng để biểu diễn hình học thì cũng được chọn để xấp xỉ nghiệm của bài toán. 

-  Ví  dụ  trong  không  gian  hai  chiều  (2D),  cả  hình  học  (tọa  độ  vật  lý)  và trường chuyển vị được xấp xỉ như sau 

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM NHIỀU LỚP DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT1

3.1 Giới thiệu

-  Chương này trình bày giải tích ĐHH cho phân tích tĩnh, động và ổn định của tấm nhiều lớp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) hay còn gọi là lý thuyết Mindlin. Phần tử NURBS bậc hai (quadratic), ba (cubic) và bốn (quartic) được chọn để khảo sát. Khi áp dụng lý thuyết FSDT cho phân tích  kết  cấu  tấm  thường  xảy  ra  hiện  tượng  “shear  locking”  và  kết  quả  số không phù hợp với thực tế khi tấm trở nên rất mỏng. Tương tự phần tử dùng nội suy “Lagrange”, công thức đẳng  hình  học dùng NURBS vẫn bị “shear locking” khi tấm rất mỏng, do hiệu ứng cắt vẫn còn trong công thức. Để khắc phục điều này, một công thức ổn định cho số hạng cắt đã được đề xuất, bằng cách áp dụng kỹ thuật ổn định vào trong số hạng cắt. Công thức này rất đơn giản nhưng rất hiệu quả cho phân tích kết cấu tấm. Đây chính là điểm mới của chương này. 

3.2 Công thức đẳng hình học cho tấm Mindlin-Reissner nhiều lớp

International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(6):571-603, 2012. 

w x

Để  khắc phục  hiện  tượng  này,  một  kỹ  thuật  ổn  định  được  thêm  vào  trong biến dạng cắt. Kỹ thuật này rất đơn giản nhưng giải quyết được cho phần tử NURBS bậc thấp. 

kỹ thuật ổn định vào trong số hạng cắt. Công thức này đơn giản nhưng hiệu quả cho các phần tử NURBS bậc thấp (bậc 2, 3 và 4). 

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM COMPOSITE VÀ SANDWICH DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT TỪNG LỚP (LAYERWISE)2

4.1 Giới thiệu

-  Việc kết hợp giữa phương pháp đẳng hình học và lý thuyết biến dạng cắt từng lớp (layerwise) được áp dụng đầu tiên cho phân tích tấm “composite” 

và “sandwich”. Trường chuyển vị của lý thuyết này được giả thuyết là biến đổi tuyến tính qua từng lớp và áp liên tục chuyển vị tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp. Do đó hệ số hiệu chỉnh cắt được bỏ qua, đây chính là điểm khác biệt 

so  với  lý  thuyết  biến  dạng  cắt  bậc  nhất.  Kết  quả  đạt  được  từ  lý  thuyết 

“layerwise” cho phân tích tấm “composite” và “sandwich” chính xác hơn lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất khi so sánh với lời giải đàn hồi 3D.  

4.2 Công thức đẳng hình học dùng lý thuyết biến dạng layerwise

-  Mô hình chuyển vị layerwise trong chương này giả thuyết là biến đổi bậc nhất qua từng lớp và áp liên tục chuyển vị tại lớp tiếp giáp. Để minh họa rõ ràng, tấm composite 3 lớp (xem Figure 3) được chọn để giảm kích thước và phức tạp trong công thức layerwise. Lý thuyết hiện tại cũng dễ dàng mở rộng 

áp dụng cho tấm có số lớp bất kỳ. 

2 Chien  H.  Thai,  A.J.M.  Ferreira,  E.  Carrera,  H.  Nguyen-Xuan.  Isogeometric  analysis  of  laminated 

composite and sandwich plates using a layerwise  deformation theory. Composite

Structures, 104: 196-214, 2013. 

-  Trường chuyển vị tại mặt phẳng trung hòa của lớp giữa (thứ 2) thì được định nghĩa như sau 

0

0 (2)

h h

k y

k

k x

z

w x w y

(32) 

h h

h h

-  Phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng trong hệ trục tọa độ tổng thể được viết lại như sau  

-  Công thức cuối cùng cho phân tích tĩnh, động và ổn định của tấm nhiều lớp dùng thuyết thuyết biến dạng cắt layerwise được trình bày như sau: 

CHƯƠNG 5 PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM

“COMPOSITE” VÀ “SANDWICH” DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO3

3 Chien H. Thai, A.J.M. Ferreira, T. Rabczuk, S.P.A. Bordas, H. Nguyen-Xuan. Isogeometric analysis of  laminated composite and sandwich plates using a  new inverse trigonometric shear  deformation theory. 

European Journal of Mechanics- A/Solids, 43: 89-108, 2014. 

5.1 Giới thiệu

-  Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới xuất phát từ lý thuyết cổ điển được 

đề xuất trong chương này. Một công thức dùng giải tích đẳng hình học kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới này thì được trình bày cho phân tích của tấm “composite” và “sandwich”. Lý thuyết hiện tại yêu cầu liên tục 

Kết quả đạt được từ lý thuyết hiện tại tốt hơn các lý thuyết khác đã công bố trước khi so với lời giải chính xác đàn hồi 3D. 

5.2 Công thức đẳng hình học cho tấm nhiều lớp và sandwich dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

w

u x y z u x y z f z x y

x w

w x w y w

5.3 Các ví dụ số

-  Phần kết quả số được trình bài chi tiết trong bài báo3 hay trong luận văn. 

5.4 Kết luận

-  Giải tích đẳng hình học kết hợp với lý thuyết biến dạng bậc mới cho phân tích tấm “composite” và “sandwich” được trình bày. Điều kiện ứng suất cắt 

tự do tại mặt trên và mặt dưới của tấm của lý thuyết hiện tại được thỏa do đó 

hệ số hiệu chỉnh cắt được bỏ qua. Lý thuyết bậc cao dùng hàm phân bố mới này, kết quả đạt được tốt hơn các lý thuyết khác đã công bố trước so với lời giải chính xác đàn hồi 3D. 

-  Lý thuyết  hiện  tại  dễ  dàng áp  dụng  cho  các  lý  thuyết bậc cao  khác  bằng 

cách thay đổi hàm phân bố f(z) dọc theo chiều dày của tấm. 

CHƯƠNG 6 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TỔNG QUÁT CHO TẤM CÓ TÍNH CHẤT CƠ LÝ THAY ĐỔI DÙNG XẤP

XỈ ĐẲNG HÌNH HỌC4

6.1 Giới thiệu

-  Lý thuyết biến dạng tổng quát kết hợp với giải tích ĐHH cho phân tích tĩnh,  động  và  ổn  định  của  tấm  có  tính  chất  cơ  lý  thay  đổi  (Functionally Graded Material (FGM)) được trình bày trong chương này. Có hai hàm phân 

bố mới được đề xuất trong công thức hiện tại. Những hàm này xác định phân 

bố ứng suất và biến dạng qua bề dày của tấm. Lý thuyết hiện tại xuất phát từ 

lý thuyết cổ điển nên hiện tượng “shear locking” không xảy ra. Lý thuyết này 

có cùng số bậc tự do với lý thuyết FSDT nhưng không cần hệ số hiệu chỉnh cắt. Từ lý thuyết này, lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm 

cổ điển được xác định bằng cách thiết lập hàm phân bố ứng suất và biến dạng qua chiều dày của tấm. Kết quả đạt được từ phương pháp trên phù hợp với các kết quả công bố khác. 

6.2 Lý thuyết biến dạng tổng quát cho tấm có tính chất cơ lý thay đổi

6.2.1.  Công thức bài toán 

-  Có  ba loại  tấm  FGM  khác nhau  được  định  nghĩa  trong  chương  này:  1) tấm FGM đẳng hướng; 2) tấm sandwich với lớp giữa (core) FGM và hai lớp ngoài (skin) đẳng hướng; 3) tấm sandwich với lớp giữa đẳng hướng và hai lớp ngoài FGM. 

6.2.1.1. Tấm FGM đẳng hướng (kiểu A) 

-  Vật liệu FGM đẳng hướng được tạo từ hai vật liệu khác nhau gồm gốm (ceramic) ở mặt trên và kim loại (metal) ở mặt dưới.  Đối với vật liệu này, các thông số vật liệu thay đổi thay đổi qua bề dày của tấm bởi quy luật hàm 

số mũ như sau: 

1( )

2

n c

-  Tấm sandwich với lớp giữa FGM và hai lớp ngoài đẳng hướng (xem Hình 4a). Lớp giữa FGM thì được định nghĩa như sau: 

1( )2

n c c

n c

c

n c

không thì lý thuyết biến dạng cắt bậc cao sẽ quay về lý thuyết cổ điển (xem phương  trình  (59)).  Tuy  nhiên,  khi  thiết  lập  f z( ) z  và  thay  thế 

,

có thể đạt được. 

( , , )( , , )( , , )

7.1 Giới thiệu

-  Chương này trình bày phân tích giới hạn cận trên (upper bound) của tấm mỏng (Kirchhoff) theo tiêu chuẩn “von Mises” dùng giải tích đẳng hình học. Bài  toán  tối  ưu trong  phân  tích  giới  hạn  được  thiết  lập  bằng  cách  cực  tiểu công tiêu tán và chịu các ràng buộc gồm điều kiện biên và công ngoại. Chỉ 

có bậc tự do chuyển vị (không có góc xoay) được xấp xỉ trong bài toán tối 

ưu. Bài toán này được biến đổi sang dạng phù hợp để tìm nghiệm tối ưu bằng chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP). 

7.2 Công thức đẳng hình học cho phân tích giới hạn của tấm mỏng Kirchhoff

vị  theo  phương  trục  z.  Biên  động  học và  biên  tĩnh  học lần  lượt  được  định 

Phương trình cân bằng:  chọn  trường  moment  uốn  T [ , , ]

T p

I I I

p

T i

i i i

i p

NG

p i i i i

i i T

ec e

i c

CHƯƠNG 8 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

8.1 Kết luận

-  Trong luận văn này, phương pháp giải tích đẳng hình học đã được áp dụng cho phân tích đàn hồi và đàn dẻo của kết cấu tấm. Mục tiêu của phương pháp giải tích ĐHH là hợp nhất giữa mô hình hình học và xấp xỉ nghiệm bài toán thông qua hàm cơ sở NURBS. Hình học dùng trong giải tích ĐHH là hình 

học chính xác. Các kỹ thuật làm  mịn lưới (h-refinement) hay tăng bậc của  hàm  cơ  sở  (p-refinement)  trong  phương  pháp  đẳng  hình  học  giống  với  phương pháp phần tử hữu hạn thông thường. Môt kỹ thuật mới (k-refinement)  được  xuất  trong  giải  tích  ĐHH  bằng  cách  kết  hợp  “h-refinement”  và  “p-

refinement”. Thông  qua các ví dụ số đã được kiểm tra, phương pháp đẳng hình học phù hợp cho phân tích đàn hồi và đàn dẻo của kết cấu tấm. Một vài kết luận được rút ra như sau: 

-  Đề xuất được công thức ổn định không bị  khóa cắt (shear locking), khi kết hợp giữa phương pháp phân tích đẳng  hình  học và lý thuyết biến  dạng cắt bậc nhất cho phân tích của kết cấu tấm. 

-  Phân tích đẳng hình học của kết cấu tấm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt từng lớp (layerwise) được giới thiệu đầu tiên. Trong lý thuyết này trường chuyển vị được giả thuyết là biến đổi tuyến tính qua từng lớp và áp liên tục chuyển vị tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp. Do đó hệ số hiệu chỉnh cắt được bỏ qua, đây chính là điểm khác biệt so với lý thuyết FSDT. Ứng suất cắt đạt được từ mô hình “layerwise” chính xác hơn mô hình FSDT. 

-  Lý thuyết biến dạng bậc cao mới được đề xuất trong luận văn này. Bốn hàm phân bố biến dạng và ứng suất mới qua bề dày tấm được đề xuất. Dùng những hàm phân bố mới này, kết quả đạt được tốt hơn các lý thuyết khác đã công bố trước đây, khi so với lời giải chính xác đàn hồi 3D. 

-  Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng quát được đề xuất. Từ lý thuyết này, chúng ta có thể tìm lại được lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết 

cổ bằng cách thiết lập hàm phân bố ứng suất và biến dạng qua chiều dày của tấm. 

-  Bài toán tối ưu hóa cho phân tích giới hạn cận trên của tấm mỏng dùng giải tích ĐHH được thành lập. Chỉ có bậc tự do chuyển vị được xấp xỉ trong bài toán ưu (không có bậc tự do góc xoay). Điều kiện biên chính cho góc xay được áp dụng trực tiếp mà không dùng bất kỳ một kỹ thuật nào khác (phương pháp  phạt, phương  pháp  “Lagrange”…).  Đây  chính  là  điểm  mới  và  chỉ  áp dụng được trong phương pháp đẳng hình học. 

8.2 Hướng phát triển

-  Phương pháp hiện tại thể hiện rất hiệu quả cho phân tích kết cấu tấm thông qua các bài toán thông dụng (benchmark problems). Đề tài có thể phát triển hơn nữa với những hướng nghiên cứu sau: 

  Phương pháp giải tích ĐHH kết hợp với các lý thuyết tấm khác nhau 

có thể mở rộng cho bài toán biến dạng lớn (hình học và vật liệu) của kết cấu tấm/vỏ. 

  Vật  liệu  nano-composite  có  thể  được  phân  tích  khi  dùng  giải  tích ĐHH và các lý thuyết tấm trên. 

  Phân tích giới hạn của kết cấu tấm dễ dàng mở rộng cho phân phân tích giới hạn của kết vỏ. 

  Phương pháp hiện tại nên được áp dụng cho cấu trúc vi mô dùng lý thuyết đàn hồi không cục bộ (nonlocal elasticity theory) và lý thuyết ứng suất kết hợp hiệu chỉnh (modified couple stress theory). 

  Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao có thể mở rộng sang lý thuyết biến 

dạng cắt giả 3D (quasi-3D) (kể thêm biến dạng theo phương z).