Bài giảng Toán kinh tế Bài 2 - PGS.TS. Trần Lộc Hùng

Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh... Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh... Hàm hai biến số2 Giới hạn lặp,

Trang 1

Toán Kinh tế

PGS.TS Trần Lộc Hùng

Trường Đại học Tài chính - Marketing thành phố Hồ Chí Minh

Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 05 năm 2011

Bài 2 Hàm hai biến số

PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)

Trang 2

Chú ý

Gửi các bạn tham gia lớp ôn tập

tập Toán Kinh tế được lưu trên đường link sau

code.google.com/p/tlhungvn − ufm − economaths

được kiến thức toán để thi vào cao học QTKD, hoàn toànmiễn phí

khác nếu chưa được sự đồng ý của tác giả

Trang 3

Hàm hai biến số

2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời

3 Hàm liên tục

4 Đạo hàm riêng

5 Vi phân toàn phần

6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn

nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện)

Trang 4

3 Hàm liên tục

Trang 5

Trang 6

Trang 7

Trang 8

Trang 9

Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y)

Định nghĩa

thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là

hàm hai biến số thực Ký hiệu

gọi là miền giá trị của hàm số f

4 Hàm n biến số y = f (x1,x2, ,xn)được định nghĩa tươngtự

Trang 10

Định nghĩa

Trang 11

Định nghĩa

Trang 12

Định nghĩa

4 Hàm n biến số y = f (x1,x2, ,x n)được định nghĩa tươngtự

Trang 15

Giới hạn của dãy các điểm

Giả sử dãy các điểm z n= (x n, y n) ∈ R2và z0= (x0,y0) ∈ R2

Trang 16

Giới hạn của dãy các điểm

Giả sử dãy các điểm z n= (x n, y n) = (1n,1n)và

n =0

Trang 17

Giới hạn của hàm hai biến số

Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D chứa điểm

Trang 18

Các định nghĩa tương đương

Trang 19

Các định nghĩa tương đương

z0= (x0,y0).Giả sử dãy điểm (xn, y n) ∈ D

Định nghĩa 3

Ta nói số thực L là giới hạn của hàm số z = f (x, y), khi

(x, y) → (x0,y0),nếu với mọi dãy (xn, y n) hội tụ về điểm (x0,y0)

Trang 20

Chú ý

2 Giới hạn của một hàm, nếu tồn tại thì duy nhất

3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp

lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) 6= lim

Trang 21

Chú ý

3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp

lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) 6= lim

Trang 22

Chú ý

Trang 23

3 khi y → 0, có điều phải chứng minh

Trang 24

3 khi y → 0, có điều phải chứng minh

Trang 25

Trang 28

giới hạn lim(x,y)→(0,0) x2xy+y2

Trang 29

Tính liên tục của hàm hai biến

Định nghĩa

Hàm hai biến z = f (x, y) liên tục tại điểm (x0,y0),nếu

1 Tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y)

2 Có đẳng thức lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = f (x0,y0)

Trang 30

Định nghĩa

Hàm hai biến z = f (x, y) liên tục tại điểm (x0,y0),nếu

1 Tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y)

2 Có đẳng thức lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = f (x0,y0)

Trang 31

Định nghĩa

(x0,y0)là điểm liên tục của hàm số z = f (x, y)

1 Nếu không tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y), thì điểm

(x0,y0)là điểm gián đoạn loại 2

2 Nếu lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) 6= f (x0,y0),thì điểm (x0,y0)là

điểm gián đoạn loại 1

Trang 32

Định nghĩa

(x0,y0)là điểm liên tục của hàm số z = f (x, y)

1 Nếu không tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y), thì điểm

(x0,y0)là điểm gián đoạn loại 2

2 Nếu lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) 6= f (x0,y0),thì điểm (x0,y0)là

điểm gián đoạn loại 1

Trang 33

Trang 34

(0,0) là điểm gián đoạn loại 1 của hàm z = f (x, y)

Trang 35

2 Phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm riêng ∂∂x f và đạo

hàm dx df

Trang 36

hàm dx df

Trang 37

2 Phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm riêng ∂∂y f và đạo

hàm dy df

Trang 38

hàm dy df

Trang 39

Các ví dụ

Ví dụ 7

riêng theo các biến x và y

Trang 44

Đạo hàm riêng cấp cao theo biến x

Trang 45

Đạo hàm riêng cấp cao theo biến x

Trang 46

Đạo hàm riêng cấp cao theo biến y

Trang 47

Đạo hàm riêng cấp cao theo biến y

Trang 48

Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp theo biến x và y

Giả sử điểm (x0,y0) ∈D.

Định nghĩa

Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp, (theo hai biến x và y) của hàm

số f(x,y) tại điểm (x0,y0)là

Trang 49

Định lý Schwarz

Định lý

Nếu hàm số z = f (x, y) có đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp liên

tục, (theo hai biến x và y) tại điểm (x0,y0),thì

Trang 50

Các ví dụ

Ví dụ 11

Trang 51

Các ví dụ

Ví dụ 11

Trang 52

Các ví dụ

Ví dụ 11

Trang 53

Các ví dụ

Ví dụ 11

Trang 54

∆f (x0,y0) =A∆x + B∆y + o(∆x) + o(∆y)

thì hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0,y0)và biểu thức

A∆x + B∆y là vi phân toàn phần của hàm số f (x, y), ký hiệu

df (x0,y0)

Trang 55

Chú ý

df (x0,y0) =A∆x + B∆y

2 Hai hằng số A và B không phụ thuộc vào ∆x và ∆y

3 Hai đại lượng o(∆x) và o(∆y) là các vô cùng bé bậc cao hơn ∆x và ∆y khi ∆x → 0 và ∆y → 0, tức là khi

Trang 56

Chú ý

df (x0,y0) =A∆x + B∆y

3 Hai đại lượng o(∆x) và o(∆y) là các vô cùng bé bậc cao hơn ∆x và ∆y khi ∆x → 0 và ∆y → 0, tức là khi

Trang 57

Chú ý

df (x0,y0) =A∆x + B∆y

hơn ∆x và ∆y khi ∆x → 0 và ∆y → 0, tức là khi

Trang 58

4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂f (x∂0,x y0)

và ∂f (x∂0,y y0),chưa chắc hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm

(x0,y0).

Trang 59

(x0,y0).

Trang 60

(x0,y0).

Trang 63

3 Các đạo hàm riêng ∂f (x∂0,x y0) =0 và ∂f (x∂0,y y0) =0, nhưng

hàm f (xy) không khả vi tại điểm (x0,y0)vì nó không liên

tục tại điểm (x0,y0)(xem chứng minh ở phần liên tục)

Trang 64

3 Các đạo hàm riêng ∂f (x∂0,x y0) =0 và ∂f (x∂0,y y0) =0, nhưng

hàm f (xy) không khả vi tại điểm (x0,y0)vì nó không liên

tục tại điểm (x0,y0)(xem chứng minh ở phần liên tục)

Trang 65

Trang 66

Điều kiện để hàm hai biến khả vi

Định lý

Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng ∂∂x f và ∂∂y f liên tục,

(theo hai biến x và y) tại điểm (x0,y0),thì nó khả vi tại điểm

df (x0,y0) = ∂f (x0,y0)

∂f (x0,y0)

Chú ý, do x và y là hai biến số độc lập, nên có thể có ∆x = dx

và ∆y = dy, nên

Trang 69

Chú ý

1 Tính khả vi của hàm n biến u = f (x1,x2, ,x n)cũng hoàn

toàn tương tự như hàm hai biến z = f (x, y)

2 Vi phân toàn phần của hàm n biến có dạng

Trang 70

Chú ý

1 Tính khả vi của hàm n biến u = f (x1,x2, ,x n)cũng hoàn

toàn tương tự như hàm hai biến z = f (x, y)

Trang 71

Ứng dụng của vi phân toàn phần

Trang 72

2 Chọn x0=1, y0=1, ∆x = −0.05, ∆y = 0.02

3 Các đạo hàm riêng ∂∂x f = x2−y+y2 và ∂∂y f = x2 +x y2 liên tục với

mọi (x, y) 6= (0, 0) nên hàm hai biến f (x, y) khả vi tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), cụ thể hàm f(x,y) khả vi tại điểm (1, 1).

4 Theo công thức xấp xỉ

arctg 1.020.95

'

' arctg 1

1

+ ∂f (1, 1)

Trang 73

arctg 1.020.95

'

' arctg 1

1

+ ∂f (1, 1)

Trang 74

arctg 1.020.95

'

' arctg 1

1

+ ∂f (1, 1)

Trang 75

0.95

'

1

+ ∂f (1, 1)

Trang 76

Đạo hàm hàm hợp z = f (x(u, v ), y(u, v ))

trong đó các biến độc lập x và y là các hàm hai biến của u và v,

x = x(u, v ), y = y(u, v ).

Định lý

Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi theo x và y Giả sử các hàm số

x = x(u, v ), y = y(u, v )có các đạo hàm riêng ∂∂x,∂∂x v,∂∂y,∂∂y v.Khi

đó, tồn tại các đạo hàm riêng ∂∂f,∂∂v f,sao cho

Trang 80

Đạo hàm hàm hợp z = f (x(t), y(t))

trong đó các biến độc lập x và y là các hàm một biến của t,

Trang 81

Trang 84

Đạo hàm hàm hợp z = f x, y(x)

trong đó y = y(x), là hàm một biến của x.

Trang 85

Trang 94

Cực trị của hàm hai biến số

Trang 96

Điều kiện cần của cực trị

của điểm (x0,y0) ∈D ⊆ R2

Định lý

Nếu hàm số z = f (x, y) đạt cực trị (địa phương) tại điểm

(x0,y0),và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng ∂∂x f,∂∂y f,thì

Trang 97

Điều kiện đủ của cực trị

z = f (x, y) đạt cực trị hay không tại điểm (x0,y0)

Trang 98

2 Hệ phương trình cho nghiệm (-2, 1)

3 Dễ thấy, A=2, B=2, C=0 nên C2− AB = −4 < 0 và

A = 2 > 0

4 Kết luận hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (-2, 1)

Trang 99

3 Dễ thấy, A=2, B=2, C=0 nên C2− AB = −4 < 0 và

A = 2 > 0

Trang 100

A = 2 > 0

Trang 101

A = 2 > 0

Trang 102

Chú ý

2 Đẳng thức z = (x + 2)2+ (y − 1)2+3 = 3 khi và chỉ khix=-2 và y=1

3 Trùng với kết quả trước

Trang 103

Chú ý

x=-2 và y=1

3 Trùng với kết quả trước

Trang 104

Chú ý

x=-2 và y=1

Trang 105

2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (1, 1) và (0,0)

3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị

4 Tại điểm (1,1) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu,

fcực tiểu= −1

Trang 106

fcực tiểu= −1

Trang 107

fcực tiểu= −1

Trang 108

fcực tiểu= −1.

Trang 109

2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0)

fcực tiểu= −8

Trang 110

fcực tiểu= −8

Trang 111

fcực tiểu= −8

Trang 112

fcực tiểu= −8.

Trang 113

Giá trị lớn nhất và bé nhất

Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định và liên tục trong một

Định lý Weierstrass

Hàm hai biến z = f (x, y) xác định và liên tục trong một miền

đóng và giới nội đạt giá trị lớn nhất (fmax)và bé nhất (fmin)trongD

Trang 114

Trang 123

1 Điểm (x0,y0)thỏa mãn điều kiện ϕ(x0,y0) =0

f (x, y) ≤ f (x0,y0)(f (x, y) ≥ f (x0,y0))

Định dạng
Số trang	156
Dung lượng	1,03 MB

Bài giảng Toán kinh tế Bài 2 - PGS.TS. Trần Lộc Hùng

Phương pháp nhân tử Lagrange (tiếp)