Hướng dẫn giải đề số 06 "Thử sức trước kỳ thi" trên TH&TT tháng 3 năm 2011

Tìm k để tồn tại hai tiếp tuyến với C phân biệt nhau có cùng hệ số góc k đồng thời đường thẳng đi qua hai tiếp điểm cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OB = 2011.OA... Hình chiếu của S lên đá

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ : “THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI”

ĐỀ SỐ 06 – THÁNG 03 NĂM 2011 PHẦN CHUNG

CâuI y x 33x29x3

1 Khảo sát - Bạn đọc tự giải

2 Tìm k để tồn tại hai tiếp tuyến với (C) phân biệt nhau có cùng hệ số góc k đồng thời đường thẳng đi qua hai tiếp điểm cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OB = 2011.OA.

Gợi ý: y' 3 x26x  9 k 3x26x 9 k0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2   ' 3k18 0  k6.

Tiếp tuyến (d) tại A x y có phương trình: 1( ; )1 1 y k x x (  1)y1 Tiếp tuyến (d’) tại A x y có phương trình:2( ; )2 2

y k x x  y Có x1x2 2 và x x1 2  9 k Đường thẳng qua A và 1 A có phươngt rình:2

x x y y

x x y y



2 1

;0

x y x y A

y y



2 1

B

x x



0 (1)

x y x y

x y x y x y x y



(1) k 6 loại

(2) x  x k  2 2011.x  x  k 2013; k2009 6 (loại) Vậy k 2013

CâuII

1 Giải hệ phương trình:

x y x y xy







(1) (x y x )(  2 ) 0y   xy x; 2y xy

Với xy thay vào (2) được 2 x2 2x13 x314 x 2 (ĐK:x 1 2;x 1 2

3

2

3

x x

 

(do với điều kiện x 1 2;x 1 2 thì 8(x2 2x1) 6( x 2)3 x314 0  6 x2 2x 1)

Thử lại được x  1 2 là nghiệm của phương trình

2 Giải phương trình: 23x 32x 17

  (*) Gợi ý: (*) 8x 91x 17

Khi x 0, xét hàm số f x  ( ) 8x 91x 17;

Có

1 2

4

x

1

4

x



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S {1; log 9}8

x

"( )

f x

'( )

f x

( )

f x

0 1  log 98 2 

0

Câu III Tính tích phân

3

3 2 2011 1



2011

2

2011 2011 2

( 1)

t t dt



dùng khai triển Niutơn cho

2011

2011 0

k



CâuIV:

Chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a;  ABC30 ; (0 SAB)và ( SAC cùng tạo với )

đáy một góc 60 Hình chiếu của S lên đáy thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.0

Gợi ý:

60

3

3

2













30 ;

ABC BC a ta tính được S ABC  V S ABC.

CâuV Cho các số thực dương x y z, , thoả mãn x y  1 z Tìm GTLN của

3 3

2

x y P

x yz y zx z xy



Gợi ý:

(x yz y zx )(  )xy xyz z x( y )xy z( 1)z x y(  )  2xy xy z( 1) z x y(  )

xy x y x y x y x y x y xy x y x y

3 3

x y

P

6 3

1

xy xy xy

xy xy



t P t



5

max

P  f   

5

x y xy













PHẦN RIÊNG

CâuVIa.

1 Tam giác ABC có A1(1;1);B1( 2;3); C1(2;4) lần lượt là chân các đường cao Viết phương trình đường thẳng BC.

A A

C

K I

S

Gợi ý:

Dễ thấy các tứ giác BC HA A HB C BC B C là các tứ giác nội tiếp nên1 1; 1 1 ; 1 1

C BH C A H C BH B CH B CH B A H  C A H B A H

Hay A H là đường phân giác trong của 1 C A B , từ đó ta suy ra được cách 1 1 1

viết phương trình đương thẳng BC bằng cách

+) Viết phương trình đường phân giác trong ( )d của góc 1 B A C1 1 1

+) Viết phương trình đường thẳng BC qua A và vuông góc với 1 ( )d 1

2 A(1;2;-7); B(-4;0;0); C(5;0;-1) và mặt cầu 2 2 2

( ) :S x y z  2x 4y 7 0 Tìm M thuộc (S) sao cho tứ diện MABC có thể tích lớn nhất, nhỏ nhất.

Gợi ý:

+) Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

+) Bước 2: Kiểm tra xem (ABC) có cắt mặt cầu (S) hay không, nếu cắt thì không có điểm M thuộc (S)

để thể tích khối MACB đạt GTNN

+) Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua tâm cầu và vuông góc với (ABC), đường thẳng đó cắt cầu tại hai điểm; điểm có khoảng cách tới (ABC) bé hơn là điểm làm cho thể tích khối chóp MABC đạt GTNN, điểm có khoảng cách tới (ABC) lớn hơn là điểm làm cho thể tích khối chóp MABC đạt GTLN

CâuVII.a Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2z 3 i biết 3z i 2 z z 9

Gợi ý:

Dễ thấy nếu M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z và N(c;d) là điểm biểu diễn của số phức w thì điểm biểu diễn của số phức z+w có được bằng cách tịnh tiến M theo ON

Số phức z a bi  ( ,a b ) khi đó 2z  3 i (2a3) (2 b1)iw; 3z i 2 9a2(3b1)2;

2 2

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn (2 ; 2 )P a b của số phức 2z là hình tròn (C) tâm (0; 3)

4

4

R 

Xét (3; 1)u  là vectơ biểu diễn cho số phức 3 i khi đó điểm biểu diễn của số phức 2z 3 i có được bằng cách tịnh tiến điểm biểu diễn (2 ; 2 )P a b của số phức 2z theo vectơ (3; 1)u  hay là hình tròn (C’) có đươcj sau khi tịnh tiến (C) theo (3; 1)u 

CâuVI.b

1 M(2;-1), đường tròn ( ) :C1 x2y2 9 Viết phương trình đường tròn ( )C có bán kính bằng 4 và cắt2 1

( )C theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.

Gợi ý:

1

( )C có tâm là O(0;0) và bán kính R=3 Đường tròn ( )C cắt 2 ( )C tại dây cung AB có độ dài1

hay H M(2; 1) Các bước giải bài toán như sau:

+) Viết phương trình đường thẳng qua M nhận Om làm vectơ pháp tuyến, cắt ( )C1

tại A và B tính độ dài AB

2

4

IM AB

AB

IM R











xác định được tâm I của ( )C2  viết ptrình( )C2

A

1

A

1

B

1

A M H O B

2 Tứ giác ABCD với A(1;2;1), C(2;4;-1) Hai đỉnh B và D thuộc đường thẳng : 1 2

x y z

sao cho BD=4 Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác và S ABCD 2011.S IAD Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Gợi ý:

d     Viết phương trình đường thẳng AC; I là giao của AC và BD  xác định được

toạ độ cảu điểm I

 ( ; ) ( ; )

1

2

S  d  d  BD=2011 ( ; )

1

2

S  d  DI  tính đựoc DI Suy ra toạ độ điểm D  toạ độ điểm B và khoảng cách từ D đến đường thẳng AC

CâuVII.b Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z biết rằng z2 z 2 6

Gợi ý:

Gọi số phức z a bi  ( ,a b ) có điểm biểu diễn là M a b ( ; ) z2 (a2)bi  (a2)2b2 ;

2 2

z  a  bi  a b Xét điểm F 1( 2;0) và điểm F2(2;0) khi đó

z  z   MF MF  Mặt khác F F   nên tập hợp tất cả các điểm M(a;b) là Elip có hai 1 2 4 6 tiêu đỉêm là F 1( 2;0) và F2(2;0) với trục lớn bằng 6 có phương trình là 2 2 1

x y

A B

I