Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.. Chứng minh rằng KO.. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A I không trù
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2
n n 2 không chia hết cho 3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2
n 17 là một số chính phương
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2
b) Giải hệ phương trình:
2 2
2x+y = x 2y+x = y
Câu 3 (3,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 4x+32
Câu 4 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = 2
BC b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh rằng K(O)
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng B
1.
a,
(2,5)
n 3 n n 3 nên 2
n n 2 3 (1)
n 3 n 2 3
2
(2)
Từ (1) và (2) n Z thì 2
n n 2 3
b,
(2,5)
Đặt 2 2
m n 17 (m N)
Do m + n > m - n
n 17 64 17 81 9
2.
a,
(2.5)
Giải phương trình 2
x 4x+5=2 2x+3 (1) Điều kiện: 2x+3 0 x - 3
2
(1) 2
2
2x+3=1
x 1
thỏa mãn điều kiện
b,
(2.5)
Giải hệ phương trình
2 2
2x+y=x 2y+x=y
Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 2 2
x y x y
(x y)(x y 1) 0
Ta có:
(1) (2)
Trang 3*) x y x y
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)
(*)
Vì phương trình 2
y y 1 0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
3.
Tìmgiá trị nhỏ nhất của A 4x+32
Ta có:
2
2 2
Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2
Vậy Amin 1 khi x = -2
4.
a,
(2,5)
H
K
E
I
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC AI BC
Ta có: BHI BCE (g, g)
Ta có: CHI CBF (g, g)
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2
b,
(2,0)
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra HCB KCB
Mà FAI HCI (do tứ giác AFIC nội tiếp)
tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) K (O)
5.
BAC 90 BIC 900
F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính
EF đi qua điểm O cố định
hoặc x = 3
Trang 4F
E
O
A
B
C
I
+ Khi BAC < 900 BIC > 900
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF
(cùng bù BIC)
EKF EIF (Do I và K đối xứng qua EF)
AKFE
(cung chắn KF) (1)
IEF KEF (Do K và I đối xứng qua EF) (2)
IEF BIK (cùng phụ KIE) (3)
Từ (1), (2), (3) KAB BIK
AKBI là tứ giác nội tiếp
K (O)
Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng + Khi BAC > 900 BIC < 900 chứng minh tương tự
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định
Hết