Vận dụng t/c tỷ lệ thức vào giải toán lớp 7

Trong dạy toán, giáo viên không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản mà còn phải chú trọng và hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán.. Đối với học sinh lớp 7 vì p

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ:

Với mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, bên cạnh giáo dục kỹ năng sống cho học sinh, mỗi giáo viên còn phải đảm nhận trách nhiệm chính là làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình ngày một tiến bộ, sáng tạo và linh hoạt trong việc nắm bắt kiến thức mới Đặc biệt là đối với bộ môn toán hoc, một bộ môn khoa học cơ bản và gần gũi trong đời sống hàng ngày Chính vì vậy đối với giáo viên toán phải thường xuyên tìm hiểu mục tiêu, nội dung chương trình của sách giáo khoa, phải nắm vững phương pháp dạy học để từ đó tìm ra những phương pháp dạy học có hiệu quả Trong dạy toán, giáo viên không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản mà còn phải chú trọng và hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán Từ đó giúp các em hoàn thiện

kỹ năng, kỹ xảo và nhân cách con người

Toán học có vai trò và vị trí quan trọng trong đời sống xã hội Vì vậy nó rất cần thiết cho mọi người Đối với học sinh lớp 7 vì phải đối mặt với một lượng lớn các kiến thức về bài toán tỷ lệ thức, nên việc " Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức vào các bài toán lớp 7 " nhiều em còn lúng túng, chưa định hình được cách giải, nên phần lớn các em đều gặp khó khăn trong qúa trình giải

Với những trăn trở và suy nghĩ như trên , tôi đã mạnh dạn đào sâu, tìm hiểu các bài tập về tỷ lệ thức và từ đó viết kinh nghiệm " Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức vào các bài toán đại số lớp 7 "

II THỰC TRẠNG VÀ SỐ LIỆU BAN ĐẦU:

1 Quan sát:

Qua nhiều năm giảng dạy môn toán lớp 7 và kết hợp tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp, bản thân tôi nhận thấy các bài tập liên quan đến tính chất của tỷ lệ thức thì phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc vận dụng các tính chất đã học để giải các dạng toán này Đặc biệt một số bài tập đòi hỏi có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải, dẫn đến học sinh không làm được hoặc làm sai

2 Điều tra:

Để nắm bắt được khả năng " Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức vào các bài toán đại số lớp 7 " của học sinh, tôi đã đưa dạng bài tập này vào bài kiểm tra 15 phút và kết quả như sau:

Điểm

Như vậy với chất lượng nêu trên, rõ ràng khả năng vận dụng tính chất tỷ lệ thức của các em còn khá yếu Vì vậy tôi đã mạnh dạn nghiên cứu, đào sâu và tích cóp các dạng toán về tỷ lệ thức để từ đó hình thành các giải pháp sau:

III NHỮNG GIẢI PHÁP:

1 Những kiến thức cơ bản về tỷ lệ thức:

- Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số ký hiệu:

a c

b  d

b  d

; b c; a d; a d; b c

- Từ ad = bc (a, b, c, d 0)

b  d

= ma nc pe

mb nc pf

b  d

2 2

   

     

3 3

   



   

   

2 Qua nhiều năm giảng dạy trên lớp, bản thân tôi luôn tìm tòi, học hỏi và tích lũy được một số dạng bài tập trong chương trình toán lớp 7 về vận dụng tính chất tỷ lệ thức như sau:

a Dạng toán tìm một số hạng chưa biết trong tỷ lệ thức:

Phương pháp tìm:

- Biến đổi về dạng tỷ lệ thức a c

b  d hoặc a : b = c : d

- Suy ra a b c. ;b a d. ;c a d. ;d b c.

Ví dụ 1: 1 2: 5 : 2

2 5 x Giải:

2

1 2

: 5 :

5 5

4 x

 

2

4

x

2

x

Ví dụ 2: Tìm x, biết: 3 2

2 1



Giải:

2 1



  (3x)(1x)(2x x)( 2)

 3 - 3x - x + x2 = 2x - 4 + x2 - 2x

4

x

  Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

5

3 x 5x 10

    

4

x

 

b Dạng toán toán tìm nhiều số hạng chưa biết:

Trường hợp 1: Cho biết

Giả thiết 1: x y

a  b Giả thiết 2: x + y = m ( a, b, m là các số cho trước )

Cách 1: Phương pháp chung

 x = ak, y = bk Thay vào x + y = m được ak + bk = m

m k

 

 Từ đó tìm được:



 ; y =

m b



 Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau





 ; y =

m b





Ví dụ 1: Tìm 2 số x, y biết:

4x = 5y và y + 2x = 5 Giải:

4x = 5y 

x y



Cách 1: 2 2 5

10 4 10 4 14

 10.5

2

14

x

28 4

x

20 10

14 7

Cách 2:

Đặt

x y

 = k  x =5k, y = 4k Thay vào y + 2x = 5 được:

4k + 2 5k = 5

14k = 5 hay k = 5

14

14 14

14 7

 

a  b và x

2

+ y2 = m

a  b = k Ta còn cách giải sau:

a  b

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2



 x2 =

2

2 2

a m

a b , y

2

=

2

2 2

b m

a b Từ đó suy ra x, y

Ví dụ 2: Tìm x, y biết:

3 4

 và x2 + y2 = 100 Giải:

3 4



2 2 2 2

100

4



 x2 = 9.4 = 36  x 6

2

y

Ví dụ 3: Tìm x, y biết: 2x = 5y và x3 + y3 = 133

Giải:

2x = 5y

3 3 3 3

133 1



x3 = 1.125  x = 5

y3 = 1.8  y =2

Trường hợp 3: Cho biết x y

a  b và x y = m

Phương pháp 1: Ta biến đổi

2

 

     

 

2 2

Thay x vừa tìm được vào x y = m tìm được 2 giá trị tương ứng của y

a  b = k  x y = ak bk = m

 k2 = m

ab  k =

m ab



Lần lượt thay k vào x y

a  b = k ta tìm được x, y

Ví dụ 4: Tìm x, y biết

3 4

Giải: Phương pháp 1:

3 4

 = k  x = 3k, y = 4k

 x y = 3k 4k = 48  k2= 4

 k = 2

Với k = 2  x = 3 2 = 6, y = 4 2 = 8

Với k = -2  x = -6, y = -8

Phương pháp 2:

3 4

2

48 4

 x2 = 36 hay x =  6

Với x = 6  y = 8

Với x = -6  y = -8

Phương pháp 3:

3 4

4

 

4 y y   y  4  8

y

  

Với y = 8  x = 6

Với y = -8  x = -6

a  b  c và m1x + m2y + m3z = m

Phương pháp 1: Giải theo cách thông thường

a  b  c = k

- Rút x, y, z theo k và thay vào m1x + m2y + m3z = m Tìm được k

a  b  c = k tìm được x, y, z

Phương pháp 2: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau

a  b  c =

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Suy ra x =

1 2 3

am

bm

cm

m am bm c

Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết:

2x = 3y = 5z và x + 2y - z = 87

Giải:

30 30 30

15 10 6

3

15 20 6 15 20 6 29

 

 x = 15 3 = 45, 2y = 20 3 = 60 hay y = 30, z = 6 3 = 18

Trường hợp 5: Cho biết

1 2

;

Phương pháp giải:

- Tìm BCNN(b1, b2) ( Giả sử bằng b1.b2)

- Quy đồng:

2 1 2 2 1 1

a b b b b b c b

- Dựa vào giả thiết 2, ta biến đổi như sau:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

- Suy ra x = 3

2 1 2 1

m

ab b b cb ab2 , y = 3 2 1 2 1

m

ab b b cb b1b2 , z = 3 2 1 2 1

m

ab b b cb cb1

Ví dụ 6: Tìm x, y , z biết

5x = 2y, 3y = 7z và xyz = 7350

Giải:

Từ giả thiết 5x = 2y, 3y = 7z suy ra: ;

2 5 7 3

3 3 3

7350

1

14 35 15 14.35.15 7350

     

        

     

3

3

14

x

x

 

      

 

Tương tự: y = 35, z = 15

Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết:

xy = -30, yz = 42 và x - z = 12

Giải: Phương pháp 1:

5

x y



7

z y

12

1

5 7 5 7 12

 x = 5, z = -7, y = -6

Phương pháp 2:

Ta có: yz - xy = 42 + 30 = 72

12

y



 x = 5, z = -7

c Dạng toán chứng minh:

Từ tỷ lệ thức a c

b  d suy ra các tỷ lệ thức

n  f

Phương pháp 1:

b  d = k

 a = bk, c = dk

Tính m e;

n f theo k Từ đó rút ra kết luận

n  f

Phương pháp 2: Vận dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau:



 

 và dùng tính chất hoán vị trung tỷ, ngoại tỷ để biến đổi thành tỷ

n  f

Phương pháp 3:

b  d  ad = bc

- Thêm hoặc bớt (cộng đại số) vào hai vế của đẳng thức với cùng một tích

- Đặt nhân tử chung ở hai vế rồi biến đổi về tỷ lệ thức để được m e

n  f

b  d (a, b, c, d 0 và a b, c d)

ab cd

Giải:

Phương pháp 1: Vận dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau:

b  d







Phương pháp 2:

Chuyển về tích và cộng đại số vào 2 vế:

b  d  ad = bc  -ad = -bc

ac - ad = ac - bc  a(c - d) = c(a - b)

Phương pháp 3:

b  d = k  a = bk, c = dk

Thay vào

1

ab bk b  k 

cd  dkd  k 

Phương pháp 4:

b  d

  

ab cd

Phương pháp 5: Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi:

b  d  ad = bc

ab  ab d  ad bd  bcbd cd

ab  cd

Bằng các cách trên ta chứng minh được các tỷ lệ thức sau:

ab  cd ;



2009 2010

 Giải: Phương pháp 1:

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau:



x

y



2009 2010



Phương pháp 2:

- Nhân tích 2 đường chéo và rút gọn ta được kết quả

Phương pháp 3:

k

1

k k





1

2009 1

k





y + 2010 = ky - 2010k  y = 2010(1 )

1

k k





1

2010 1

k







2009 2010



b  d thì

2009

2009 2009

2009

2009 2009







Giải:

Nhận xét: + a, b, c, d đều có lũy thừa là 2009

+ Hệ số của a, c đều bằng 2 + Hệ số của b, d đều bằng 5

Từ nhận xét trên ta biến đổi như sau:

b  d

2009 2009 2009 2009 2009 2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009





b  d

2009

2009 2009

2009

2009 2009





2009

2009 2009

2009

2009 2009







Ví dụ 4: Cho bốn số a, b, c, d khác 0 Biết b2 = ac, c2 = bd và b3 + c3 + d3  0 Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3 3



Giải:

Định hướng 1: Làm xuất hiện các tỷ số a b c; ;

b c d

Định hướng 2: Biến đổi thành

3 3 3

3; 3; 3

a b c

b c d

Định hướng 3: Áp dụng dãy tỷ số bằng nhau

b2 = ac a b

 

3 3 3

3 3 3



3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

vậy

3 3 3

3 3 3



d) Vận dụng vào giải toán về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi các đại lượng cần tìm thông qua các chữ cái a, b, c, ( hoặc x, y, )

Bước 2: Dựa vào các tỷ lệ cho biết, hoặc xem xét mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán để lập ra dãy tỷ số bằng nhau

Bước 3: Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức ( hoặc dãy tỷ số bằng nhau ) để tìm các đại lượng chưa biết )

Bước 4: Trả lời

Ví dụ 1: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số tỷ lệ với 1, 2, 3

Giải:

Gọi ba chữ số cần tìm là a, b, c (a, b, c  N , 1  a + b + c  27 )

Vì các số tỷ lệ với 1, 2, 3 nên:

1 2 3 1 2 3 6

 

 (a + b + c)  6

vì a + b + c là B(18) và 1  a + b + c  27 nên

a + b + c = 18

18 3

1 2 3 6

 a = 1.3 = 3; b = 2.3 = 6; c = 3.3 = 9

vì số phải tìm là B(18) nên có 2 số thỏa mãn là 396 hoặc 936

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có 2

3 chiều dài bằng

3

4 chiều rộng và hiệu các bình phương của chúng bằng 68 Tìm các kích thước của hình chữ nhật ? Giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là a, b ( a, b > 0, a > b )

Ta có 2

3a =

3

4b

2 1 3 1

3 6 4 6

9 8

 

vì hiệu các bình phương của chúng bằng 68 nên a2 - b2 = 68

Từ

2 2 2 2

68 4



 a2 = 81 4 = 182 hay a = 18

b2 = 64 4 = 162 hay b = 16

Vậy chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là 18, 16

Ví dụ 3: Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hỏa tỷ lệ với các số 10; 2 và 1 Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ Hỏi tàu hỏa chạy từ A đến B mất bao lâu ?

Giải:

Gọi x, y, z lần lượt là thời gian đi từ A đến B của máy bay, ô tô và tàu hỏa ta có:

y - x = 16

vì đi cùng quãng đường từ A đến B nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ

lệ nghịch Vậy do vận tốc tỷ lệ với 10; 2 và 1 thì thời gian tỷ lệ nghịch với 10; 2

và 1

Suy ra 10x = 2y = z



1 5 10

x y z

 

16 4

10 5 1 4

z yx



 z = 10 4 = 40

Vậy tàu hỏa chạy từ A đến B mất 40 giờ

Ví dụ 4: Ba kho thóc có tất cả 290 tấn thóc Nếu chuyển đi nơi khác 1

2 số thóc

ở kho I; 1

3 số thóc ở kho II và 1

4 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của ba kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc ?

Giải:

Gọi a, b và c lần lượt là số thóc của kho I, II và III

Số thóc còn lại ở kho I sau khi chuyển là a - 1

2a = 2

a

Số thóc còn lại ở kho II sau khi chuyển là b - 1

3b = 2

3

b

Số thóc còn lại ở kho III sau khi chuyển là c - 1

4c = 3

4

c

Ta có: a + b + c = 290

2 3 4 2 6 3 6 4 6

290 10

a b c a b c

 a = 120; b = 90; c = 80

Vậy số thóc lúc đầu của kho I, II, III lần lượt là 120 tấn thóc; 90 tấn thóc; 80 tấn thóc

e) Bài tập áp dụng:

Câu 1: Tìm x, y biết:

a 62 25

16

x

x







4 7

Câu 2: Tìm x, y, z biết:

a 2x = 3y = 5z và x - y + z = -33

b 5x = 2y ; 3y = 5z và x + y + z = 270

d

2 3 5

  và 2x2 + y2 - z2 = -8

e

3 4 5

2 3 4 9

  và x3 + y3 z3 = -1009

b  d Chứng minh:





c (a + 2c)(b + d) = (a + c)(b + 2d) d

2 2

2 2

ab a b

cd c d





 Câu 4: Chứng minh rằng nếu:





b ac = b2 thì a(b2 + c2) = c(a2 + b2)

c a c a





1 1 1 1 2

   

x  y  z

Câu 5: Tính diện tích hình chữ nhật, biết tỷ số giữa hai cạnh là 2

3 và chu vi hình chữ nhật là 20

Câu 6: Tỷ số tiền của An và Bình là 0,9 và An có ít hơn Bình là 120 ngàn Tính

số tiền của An và Bình ?

Câu 7: Một người mua 177 cuốn tập gồm ba loại 1000 đồng một cuốn; 1200 đồng một cuốn và 1600 đồng một cuốn Biết tổng số tiền mua mỗi loại bằng nhau Tìm số tập mỗi loại ?

Câu 8: Biết độ dài ba cạnh của một tam giác tỷ lệ với 3; 4 ; 5 và cạnh lớn nhất dài hơn cạnh nhỏ nhất là 6m Tính chu vi của tam giác ?

Câu 9: Tìm tỷ lệ ba cạnh của một tam giác, biết rằng chu vi tam giác bằng

62cm và nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả sẽ là 5 : 7 : 8

Câu 10: Chia số 267 thành ba phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỷ lệ nghịch với 1

3 và

1

5 Phần thứ nhất và phần thứ ba tỷ lệ nghịch với

1

7 và

1

11

IV KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Với kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy lớp 7 Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm này, bản thân đã vận dụng vào dạy lớp 71, 72 chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập chương và qua khảo sát bài kiểm tra ngày 22/4/2010 Bản thân tôi nhận thấy tỷ lệ học sinh biết cách vận dụng tính chất của tỷ lệ thức vào việc giải một số dạng toán ở lớp 7 đã tăng lên khá cao so với đầu năm học Cụ thể như sau:

Điểm

Như vậy qua qua trình hướng dẫn cho học sinh thì số học sinh giải được dạng toán này đã tăng lên rõ rệt Qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM:

Qua qúa trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, bản thân tôi đa rút ra được một số kinh nghiệm sau:

1 Đối với giáo viên:

+ Phải thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh

+ Thường xuyên theo dõi, động viên và giúp đỡ học sinh trong việc tự học, tự rèn Qua đó giúp học sinh rèn kỹ năng tính toán, kỹ năng biến đổi và thực hành giải toán

+ Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán cơ bản về tỷ lệ thức

và từ đó nâng dần cũng như khai thác thêm một số bài toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh

+ Giáo viên phải lên kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, cụ thể, biết lồng ghép nội dung vào bài dạy một cách phù hợp

2 Đối với học sinh:

+ Thường xuyên thực hành các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp theo yêu cầu của giáo viên

+ Phải kiên trì và chịu khó trong qúa trình học tập

+ Biết vận dụng khéo léo các phương pháp mà giáo viên đã hướng dẫn trên lớp + Thường xuyên trao đổi, học hỏi qua bạn bè và thầy cô để nâng cao kiến thức cho bản thân

VI KẾT LUẬN:

Nội dung " Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức vào việc giải toán đại số lớp 7" là một nội dung khá rộng và sâu nó còn xuyên suốt nhiều ở các lớp trên Vì vậy, đòi hỏi người học phải có kỹ năng tính toán, kỹ năng biến đổi và những thủ thuật giải toán hiệu quả Qua đó phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán

Do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tầm qua sát tổng thể chương trình toán THCS chưa cao nên khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Vì vậy để sáng kiến kinh nhiệm của tôi thực sự có hiệu quả trong qua trình dạy học, rất mong hội đồng xét sáng kiến kinh nghiệm trường THCS Bình Thành và nghành giáo dục huyện Hương Trà đóng góp và giúp đỡ thêm để tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này

Tôi xin trân trọng cám ơn !

Bình Thành, ngày 20 tháng 5 năm 2010

Người viết

Lê Công Thuận