Tìm m để đồ thị C tiếp xúc với trục hoành.. Tìm các giá trị thực của m sao cho trên đường thẳng x− + =y m 0có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với C sao cho góc g
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số y x = −3 2 mx2 + m x m2 − + 1 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2 Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành
Câu 2: (2 điểm)
1 Giải phương trình 1 2(cos sin )
−
=
2 Giải hệ phương trình
2
+ + + =
Câu 3: (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :x2 + y2 = 1 Tìm các giá trị thực của
m sao cho trên đường thẳng x− + =y m 0có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 900
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+ + + =y z 4 0 và đường thẳng (d):
x− y− z−
− Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0;-1) và cắt đường thẳng (d) tại điểm A, cắt mặt phẳng (P) tại điểm B sao cho M là trung điểm của AB
Câu 4: (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Gọi
M, N, E là trung điểm của các cạnh CD, SC và AD Gọi F là hình chiếu của E lên cạnh SD Tính thể tích hình chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF)
Câu 5: (2 điểm)
1 Tính tích phân 2
8 3
1
1dx
x x +
∫
2 Tính tổng: C12011.22010 +C20113 22008 +C20115 22006 + + C20112011
Câu 6: (1 điểm)
Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn x+ + =y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
3 3 3
P xy yz zx
x y z
-HẾT -Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
1
(2điểm) 1 Với m=1 ta có
3 2 2
y x = − x + x
TXĐ: R
2
' 3 4 1 0
y = x − x+ >
1
3
x y
x
=
= ⇔
=
0,25
Giới hạn: limx y
→±∞
= ±∞
bảng biến thiên x
-∞ 1
3 1 +∞
y’ + 0 - 0 + y
0,25
Hàm số đồng biến trên khoảng 1
( ; );(1; ) 3
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1
( ;1) 3 Điểm cực đại 1 4
( ; )
3 27 ; điểm cực tiểu (1;0)
0,25
Đồ thị Điểm uốn I 2 2
( ; )
3 27
2
-2
Nhận xét: đồ thị nhận điểm I 2 2
( ; )
3 27 là tâm đối xứng
0,25
2 Đồ thị hàm số y x = −3 2 mx2 + m x m2 − + 1tiếp xúc với trục hoành
0,25
O y
x
+∞
27
Trang 33 2 2 2 1 0(1)
3
x m
x m
⇔ =
=
Với x = m thế vào (1) ta được : m=1 0,25 Với 3x = m thế vào (1) ta được :
= − ⇒ = −
⇔
= ⇒ =
Vậy m = 1; m= -3; m =3
2
0,25
2
(2điểm)
1
Điều kiện :
≠ +
≠
≠
0 2 cot
1 cot
0 2 sin
x g tgx
gx
x
0,25
Pt ⇔
x x
x x x
x g
sin ) sin (cos
2 2
cot
1
−
−
= +
⇔ x
x
x x
2 sin
2 cos cos
sin
1
= + ⇔ sin2x = 2 sinx
0,25
⇔ sinx(2cosx – 2 ) = 0 ⇔ 2cosx – 2 = 0 (vì sin2x ≠ 0) ⇔ cosx =
2
2 ⇔ x = 2 ( )
4 + k k∈Z
với x = 2 ( )
4 + kπ k∈Z
π
thì cotgx = 1 (loại)
với x = 2 ( )
4 + k k∈Z
−π π thỏa mãn điều kiện
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 2 ( )
4 + k k∈Z
0,25
2(1) 2
1 ( 1) ( 2) 0
3
x y
+ + + =
+ + + =
0,5
Với x = y+1 thế vào (1) ta được : 2 0 1
= ⇒ =
+ = ⇔ = − ⇒ = − 0,25 Với x = − − y 3thế vào (1) ta được :
= − ⇒ = −
+ + = ⇔ = − ⇒ = − Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1)
0,25
Trang 4B
A
M
3
(2điểm)
1
Gọi M(a;a+m) là điểm thuộc đường thẳng d Goi A ,B là hai tiếp điểm
Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M
0,25
Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta có:
a + + a m = ⇔ a + am m + − = (1) Trên đường thẳng d tìm được duy nhất một điểm M⇔ phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔∆’=0 ⇔ m = ±2
Vậy m =±2 thoả mãn đầu bài
0,5
2
Phương trình tham số của (d)
3 2
1
2
y k
= +
Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc đường thẳng (d)
Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ của B(-1-2k;-1+k;-4-k)
Vì B thuộc mặt phăng (P) suy ra :
0,25
0,25
Suy ra A(1;2;1) ⇒ uuuur AM (0; 2; 2) / /(0;1;1) − − Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
1 1
x
y k
=
=
= − +
0,5
4
(1điểm)
Gọi H là hình chiếu của S lên AB
Vì (SAB)⊥(ABCD)⇒SH ⊥(ABCD) mà ∆SAB cân tại S nên H là trung
điểm của AB Vì SH ⊥(ABCD)⇒
0,25
Trang 5Ta có 2 2 2 5 2 5
DH = AD + AH = a ⇒ SH = DH = a
.
0,25
Vì ∆CDE=∆DAH suy ra
Mà SH ⊥ CE ⟹CE⊥(SDH) ⟹CE⊥SD mà EF⊥SD ⟹SD⊥(CEF) 0,25
Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN)
5
(2điểm)
1 Đặt t = x2 + ⇒ = + ⇒ 1 t2 x2 1 tdt xdx =
= ⇒ =
= ⇒ =
0,25
3 2 2
2
2 1 1
1dx 1dt t t dt
x x + = t − = ∫ − +−
3 2
1 1 ln
2 1
1 3
| ln
2 2
t t
−
=
2 1 2010 3 2008 5 2006 2011
2011.2 2011.2 2011.2 2011
Ta có
0 2011 2010 2009 2011 2011 2011
2011.2 2011.2 2011.2 2011 (1 2) 3
0 2011 2010 2009 2011 2011
1
2011.2 2011.2 2011.2 2011 (2 1)
2010 2008 2006 2011
3 1
2
0,25 0,5
0,25
6
(1điểm) Ta có:
3
x y z+ + ≥ xyz ⇒xyz≤
Ta có 3 2 2 2
3
Mà 3 2 2 2 3 1 3 1
xyz xyz
Và 3 1
xyz ≥ Suy ra 3 3 3 3 2 2 2 3 1
Vậy Pmin =12 khi x=y=z=1
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
