ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ (TOÁN KD 2)

Tìm m để đồ thị C tiếp xúc với trục hoành.. Tìm các giá trị thực của m sao cho trên đường thẳng x− + =y m 0có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với C sao cho góc g

TRƯỜNG THPT

CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI

NĂM HỌC 2010 – 2011

ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y x = −3 2 mx2 + m x m2 − + 1 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành

Câu 2: (2 điểm)

1 Giải phương trình 1 2(cos sin )

cot 2 cot 1

−

=

2 Giải hệ phương trình

2 2

2 2

2

x y x y



Câu 3: (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :x2 + y2 = 1 Tìm các giá trị thực của

m sao cho trên đường thẳng x− + =y m 0có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 900

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+ + + =y z 4 0 và đường thẳng (d):

x− y− z−

− Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0;-1) và cắt đường thẳng (d) tại điểm A, cắt mặt phẳng (P) tại điểm B sao cho M là trung điểm của AB

Câu 4: (1 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Gọi

M, N, E là trung điểm của các cạnh CD, SC và AD Gọi F là hình chiếu của E lên cạnh SD Tính thể tích hình chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF)

Câu 5: (2 điểm)

1 Tính tích phân 2

8 3

1

1dx

x x +

∫

2 Tính tổng: C12011.22010 +C20113 22008 +C20115 22006 + + C20112011

Câu 6: (1 điểm)

Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn x+ + =y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

P xy yz zx

x y z

-HẾT -Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên:………SBD:………

TRƯỜNG THPT

CHUYÊN

NGUYỄN HUỆ

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI

NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN

1

(2điểm)

1 Với m=1 ta có y x = −3 2 x2 + x

TXĐ: R

2

y = x − x+ >

1

3

x y

x

=





= ⇔

 =



0,25

Giới hạn: limx y

→±∞

= ±∞

bảng biến thiên x

-∞ 1

3 1 +∞

y’ + 0 - 0 + y

0,25

Hàm số đồng biến trên khoảng 1

( ; );(1; ) 3

Hàm số nghịch biến trên khoảng 1

( ;1) 3

Điểm cực đại 1 4

( ; )

3 27 ; điểm cực tiểu (1;0)

0,25

Đồ thị Điểm uốn I 2 2

( ; )

3 27

2

-2

Nhận xét: đồ thị nhận điểm I 2 2

( ; )

3 27 là tâm đối xứng

0,25

2 Đồ thị hàm số y x = −3 2 mx2 + m x m2 − + 1tiếp xúc với trục hoành

x mx m x m

x mx m



0,25

O y

x

+∞

27

3 2 2 2 1 0(1) 3

x mx m x m

x m

x m





⇔   =



  =



Với 3x = m thế vào (1) ta được :

3 6 3 9 3 3 1 0 4 3 3 1 0

= − ⇒ = −





⇔

 = ⇒ =



Vậy m = 1; m= -3; m =3

2

0,25

2

(2điểm)

1

Điều kiện :









≠ +

≠

≠

0 2 cot

1 cot

0 2 sin

x g tgx

gx

x

0,25

Pt ⇔

x x

x x x

x g

sin ) sin (cos

2 2

cot

1

−

−

= +

x

x x

2 sin

2 cos cos

sin

1

= + ⇔ sin2x = 2 sinx

0,25

⇔ sinx(2cosx – 2 ) = 0 ⇔ 2cosx – 2 = 0 (vì sin2x ≠ 0) ⇔ cosx =

2

4 + k k∈Z

4 + kπ k∈Z

π

thì cotgx = 1 (loại)

4 + k k∈Z

−π π thỏa mãn điều kiện

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 2 ( )

4 + k k∈Z

0,25

2 2

2 2

2(1) 2

1

3

x y x y

x y x y

x y

x y



0,5

Với x = y+1 thế vào (1) ta được : 2 0 1

= ⇒ =



Với x = − − y 3thế vào (1) ta được :

= − ⇒ = −



Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1)

0,25

B

A

M

3

(2điểm)

1

Gọi M(a;a+m) là điểm thuộc đường thẳng d Goi A ,B là hai tiếp điểm

Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M

0,25

Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta có:

2 ( )2 2 2 2 2 2 2 0

a + + a m = ⇔ a + am m + − = (1) Trên đường thẳng d tìm được duy nhất một điểm M⇔ phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔∆’=0 ⇔ m = ±2

Vậy m =±2 thoả mãn đầu bài

0,5

2

Phương trình tham số của (d)

3 2

1

2

y k

= +



Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc đường thẳng (d)

Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ của B(-1-2k;-1+k;-4-k)

Vì B thuộc mặt phăng (P) suy ra :

0,25 0,25 Suy ra A(1;2;1) ⇒ uuuur AM (0; 2; 2) / /(0;1;1) − −

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

1 1

x

y k

=



 =



 = − +



0,5

4

(1điểm)

Gọi H là hình chiếu của S lên AB

Vì (SAB)⊥(ABCD)⇒SH ⊥(ABCD) mà ∆SAB cân tại S nên H là trung

điểm của AB Vì SH ⊥(ABCD)⇒

0,25

Ta có 2 2 2 5 2 5

DH = AD + AH = a ⇒ SH = DH = a

.

V = SH S = a

0,25

Vì ∆CDE=∆DAH suy ra

Mà SH ⊥ CE ⟹CE⊥(SDH) ⟹CE⊥SD mà EF⊥SD ⟹SD⊥(CEF) 0,25

Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN)

5

(2điểm)

1 Đặt t = x2 + ⇒ = + ⇒ 1 t2 x2 1 tdt xdx =

0,25

3

2 2

2

x x + = t − = ∫ − +−

3 2

ln

1 3

| ln

2 2

t t

−

=

2011.2 2011.2 2011.2 2011

Ta có

0 2011 2010 2009 2011 2011 2011

2011.2 2011.2 2011.2 2011 (1 2) 3

0 2011 2010 2009 2011 2011

1

2011.2 2011.2 2011.2 2011 (2 1)

2010 2008 2006 2011

2

0,25 0,5 0,25

6

(1điểm) Ta có:

3

x y z+ + ≥ xyz ⇒xyz≤

3

Mà 3 2 2 2 3 1 3 1

xyz xyz

Và 3 1

xyz ≥

Vậy Pmin =12 khi x=y=z=1

0,25 0,25 0,25 0,25

Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa