Kỹ năng giải một số hệ phương trình

Một số kỹ năng giải một số hệ phương trình hay và khó trong đề thi HSG, Thi Đại học cao đẳng. Cung cấp cho hs các cách giải các dạng hệ phương trình hay và khó trong các đề thi ”Kỹ năng giải một số hệ phương trình” mục đích giúp học sinh phân biệt được các dạng hệ phương trình và cách giải một số hệ phương trình thường gặp. Kỹ năng giải một số hệ phương trình biết cách phân tích và tổng quát và đặc biệt giúp cho học sinh tìm ra cách xuất phát của bài toán, bài toán do đâu mà có và người ta tạo ra bài toán đó bằng cách nào Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này.

1.Tên sáng kiến kinh nghiệm :

”KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ”

2 Mô tả ý tưởng

a Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng

Hệ phương trình đại số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi

Thời lượng dành cho phần hệ phương trình trong trương trình phổ thông là rất

ít Sách giáo khoa trình bày khá đơn giản chỉ đề cập đến hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn ở dạng đơn giản và chỉ giới thiệu các phương pháp là phương pháp cộng đại số và

phương pháp thế trong khi đó ở các đề thi Đại Học, Cao Đẳng, đề thi HSG thì phần hệ phương trình là một phần khá khó đối với học sinh đòi hỏi học sinh vận dụng nhiều phương pháp khác nhau để giải, các hệ phương trình đó học sinh không được làm quen nhiều học trong trương trình phổ thông do đó phần lớn các em rất lúng túng trong quá trình nhận dạng hệ phương trình và tìm ra cách giải

Để giải được hệ phương trình đòi hỏi học sinh phải tư duy tốt và có cái nhìn

tổng quát mà đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra điểm mấu chốt của bài toán, chưa biết được bài toán trong các đề thi

do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các

em

b Ý tưởng

Chính vì các nguyên nhân trên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm

”Kỹ năng giải một số hệ phương trình” mục đích giúp học sinh phân biệt

được các dạng hệ phương trình và cách giải một số hệ phương trình thường gặp Kỹ

năng giải một số hệ phương trình biết cách phân tích và tổng quát và đặc biệt giúp cho học sinh tìm ra cách xuất phát của bài toán, bài toán do đâu mà có và người ta tạo ra bài toán đó bằng cách nào

Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này

3 Nội dụng công việc

a Chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm

b Tham khảo tìm các tài liệu liên quan : Tìm các dạng bài tập liên quan đến

sáng kiến như các bài toán hay gặp trong đề thi tuyển sinh, các dạng toán được nêu trong chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình đối xứng ,hệ phương trình vô tỉ, các kiến thức liên quan khác

d Báo cáo trước tổ chuyên môn và tiếp thu các ý kiến đóng góp

4 Triển khai thực hiện

a Quy trình thực hiện

Tìm các dạng bài tập liên quan đến sáng kiến như các bài toán hay gặp trong đề thi tuyển sinh, các dạng toán được nêu trong chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn, hệ phương trình đối xứng ,hệ phương trình vô tỉ, các kiến thức liên quan khác

-Xây dựng ý tưởng, viết đề tài ,báo cáo nội dung sáng kiến trước hội đồng khoa học nhà trường, tiếp thu ý kiến của hội đồng khoa học của nhà trường, điều chỉnh những nội dung chưa phù hợp và hoàn thiện sáng kiến

-Áp dụng thực hiện đề tài đến học sinh trong nhà trường đặc biệt là học sinh khối 10 và một số học sinh ôn tập chuẩn bị thi tuyển sinh khối 12

b Cách thức :

-Nghiên cứu tài liệu, tìm đọc các tài liệu liên quan, trao đổi với đồng nghiệp

- Viết nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giảng dạy trên lớp

c Phương tiện:

- SGK Đại Số 10, Tuyển tập các đề thi Đại Học Cao Đẳng các năm gần đâycác

tài liệu tham khảo về hệ phương trình các phương pháp giải hệ phương trình Máy tính thiết bị trình chiếu

d Thời gian thực hiện Trong học kì I năm học 2013 - 2014

e Sự phối hợp để hoàn thành

- Các đồng chí giáo viên trong nhóm toán Trường THPT Kim Xuyên đã đóng góp ý kiến và trao đổi, sự hưởng ứng nhiệt tình của các em học sinh trong trường và dưới sự chỉ đạo của Ban Giám Hiệu nhà trường

Nội dung đề tài:

”KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ”

2 Cách giải Ngoài các phương pháp giải đã học ở lớp 9 ta có thêm phương

- Nếu D≠0 thì hệ có nghiệm duy nhất D D

,

y x

x= y =

- Nếu D=0 và D2x +D2y ≠0 thì hệ vô nghiệm

- Nếu D=Dx =Dy =0 thì hệ ⇔ax+by=c (vô số nghiệm)

II Hệ phương trình đối xứng loại I

1 Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ pt có dạng ( ; ) 0

- Bước 3 Giải hệ mới theo S và P

- Bước 4 x và y là hai nghiệm của pt X2 −SX + =P 0

III Hệ phương trình đối xứng loại II

1 Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình có dạng

( ; ) 0( ; ) 0

2 Cách giải

- Bước 1 Trừ vế hai pt ta được f x y( ; )− f y x( ; )=0 (*)

- Bước 2 Đưa phương trình (*) về dạng tích (x− y g x y) ( ; )=0

- Bước 3 Xét hai trường hợp

TH 1 x = y thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

TH 2 g x y =( ; ) 0 kết hợp với f x y( ; )+ f y x( ; )=0 ta được hệ đối xứng loại I

( ; ) ( ; ) 0( ; ) 0

* Chú ý Nếu g x y =( ; ) 0 phức tạp ta sẽ tìm cách chứng minh nó vô nghiệm

IV Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai

1 Định nghĩa Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai là hệ có dạng

- Bước 2 Trừ vế hai phương trình ta được Ax2 + Bxy+Cy2 =0 (*)

- Bước 3 Giải phương trình (*) ta sẽ biểu diễn được x theo y

- Bước 4 Thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y=tx x, ≠0 hoặc đặt x=ty y, ≠0

- Ta cũng có thể cân bằng số hạng chứa x2 (hoặc chứa y2) rồi trừ vế và dùng phép thế

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I Hệ sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là

kỹ năng phân tích nhằm đưa hệ về dạng đơn giản (có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ

1 Phương pháp thế

* Cơ sở phương pháp Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong

hệ và thế vào phương trình còn lại

* Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình

là bậc nhất đối với một ẩn nào đó

Loại 1 : Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với x và y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại



Giải:

Dễ thầy x=0 không thỏa mãn (2) nên từ (2 ) ta có

2 1

1 x

y

x

− + =Thay vào (1) ta được

* Cơ sở phương pháp Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các

nhân tử Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích

Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được

kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

Lời giải

+ =

⇔    = ⇔  =  Do y ≥ ⇒ = 0 y 2 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) x y = (5;2)

Chú ý Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên

có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x)

Vậy tập nghiệm của hệ là S = 1 5 1 5 1 5 1 5

Trường hợp này không xảy ra do xy< ⇒0 2(x+1)2 +4(y−2)2 −9xy>0

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = {(2;2); ( 6; 6)− − }

Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được

kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

Loại III: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một

ẩn ẩn còn lại coi là tham số

Bài 1: Giải hệ phương trình

1 1

x x

* Cơ sở phương pháp Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng,

trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau

* Nhận dạng Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương

2 3

y y x x x y

⇒ + + > Do đó TH 2 không xảy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

x y

TH này vô nghiệm do ĐK

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y = tx x , ≠ 0 hoặc đặt x = ty y , ≠ 0

2 2

11 11

3

y y

Phân tích Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ

nhất cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7 y

  Trong trường hợp này, dạng

thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức

Tổng quát ta có hệ sau:

m

px qy bx

m

px qy dy

Nhận xét Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi

biến số (ở trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp Vậy đối với một

hệ phức tạp ta sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản

II Hệ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ :

Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a=f(x,y) ; b = g(x,y) có

ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia hết cho một biểu thức khác 0

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

5 4 5 (1 2 )

- Nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là

( ; )y x Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x= y

- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

18( 1)( 1) 72

Phân tích Đây là hệ đối xứng loại I

Hướng 1 Biểu diễn từng pt theo tổng x+y và tích xy

Hướng 2 Biểu diễn từng pt theo x2 +x và y2 +y Rõ ràng hướng này tốt hơn

41,

Nhận xét Bài toán trên được hình thành theo cách sau

Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản 18

72

a b ab

Kết luận Hệ có 4 nghiệm như trên

4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1) và f(x)=f(y) (2) với f là hàm số đơn

điệu trên tập D và x , y thuộc tập D Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y

thuộc tập mà hàm f đơn điệu

* Cơ sở phương pháp Nếu f x( ) đơn điệu trên khoảng ( ; )a b và x y, ∈( ; )a b thì ( ) ( )

f x = f y ⇔ =x y

* Cách xây dựng hệ theo phương pháp này

- Lấy hàm số f t( ) đơn điệu trên khoảng ( ; )a b , u x y v x y( ; ), ( ; )∈( ; )a b

- Lấy g x y( ; ) sao cho hệ ( ; ) ( ; )

Phân tích Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích Tuy nhiên ta

muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Hàm số

Đây là hệ phương trình mà một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y), phương

trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm số f đơn điệu

Trong trường hợp này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để hàm số đơn điệu trên đoạn đó

Suy ra g x ( ) đồng biến trên R Bởi vậy g x ( ) = g (0) ⇔ = x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0

Gợi ý : Chia hai vế cho y sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 4: Giải hệ phương trình

4 4

Bài 7: Giải hệ phương trình

y x e

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:

- Giáo viên trong nhóm sử dụng làm tài liệu tham khảo khá bổ ích

-Khi chưa được học chuyên đề này khi cho các em giải một số hệ phương trình khác ngoài dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK lớp 10 các em rất lúng túng, băn khoăn không định hướng được đường đi, cách giải dạng bài tập trên; đa phần là các em không giải được Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy cho cho các em nhận thấy rằng các em rất hứng thú và tích cực tìm tòi, sáng tạo Từ đó mà gặp các dạng toán trên đa số các em đã giải quyết rất nhanh gọn và chính xác học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về hệ phương trình đại số, từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế học sinh không còn cảm giác e sợ khi gặp hệ phương trình

Sau khi áp dụng SKKN này vào một nhóm học sinh khá giỏi

Kết quả trước và sau khi thực hiện áp dụng sáng kiến này qua bài khảo sát như

6 Khả năng tiếp tục phát huy, mở rộng sáng kiến đã thực hiện

Qua sáng kiến kinh nghiệm này ta thấy mỗi bài toán thường có cái gốc của nó, việc học sinh phát hiện ra bài toán gốc sẽ thấy toán học rất thực tế, tự nhiên và không khó như các em nghĩ đồng thời tạo niềm tin và hứng thú học tập với các em Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thầy cô giáo và các em học sinh có thể phát huy

và mở rộng thêm tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau Chẳng hạn các bài toán về tích phân, các bài toán về tổ hợp – xác suất, các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, trong không gian

Mặc dù đã có sự đầu tư và thu được những thành công đáng kể song vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp đã giúp đỡ

và góp ý kiến cho tôi hoàn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm này

Kim xuyên, Ngày 25 tháng 4 năm 2014

Giáo viên viết SKKN

Phan Ngọc Việt

Đánh giá xếp loại của hội đồng khoa học trường

Chủ tịch HĐKH