tóm tắt luận án phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ m

o0o

NGUYỄN NGỌC LINH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI

TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS.TSKH Nguyễn Đông Anh

Vào hồi giờ phút ngày tháng năm

Có thể tìm luận án tại thư viện Quốc Gia Việt Nam và thư viện Viện

Cơ học

và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến Do kích động

là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng

có tính chất ngẫu nhiên Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất Sự tồn tại nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn của mô hình được thiết lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ hai nó cho phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển trong các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra Tuy nhiên, do những hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán ngẫu nhiên phi tuyến có nghiệm chính xác Mặc dù các phương pháp

số giúp cho các bài toán phi tuyến trở nên giải được, nhưng một hệ phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số không có nghĩa là đã đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ Ví dụ, đối với hệ có nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình tính toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự

do gồm nhiều thông số đầu vào thì khối lượng cần tính toán là rất lớn

và mất nhiều thời gian tính toán Do vậy, phương pháp giải tích xấp

xỉ là cần thiết để phân tích các hệ phi tuyến

Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do, hệ dừng hoặc không dừng, hệ có trễ Theo thống kê của Proppe (2003), kể từ khi được đề xuất trong những năm 1950-

1960 cho đến năm 1998 đã có hơn 400 bài báo về chủ đề tuyến tính hóa ngẫu nhiên, còn theo thống kê của Socha (2008) chỉ tính từ năm

1990 đến 2005 đã có hơn 200 bài báo trên các tạp chí và hội nghị liên quan đến tuyến tính hóa ngẫu nhiên áp dụng cho các hệ động lực học gắn với mô hình ngẫu nhiên Tuy nhiên, một trong những nhược điểm cơ bản của phương pháp này là độ chính xác giảm khi mức độ phi tuyến tăng, lên đến hơn 20% Do đó, vấn đề nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ rất được quan tâm trong nghiên cứu, ứng dụng

Hướng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc giải quyết nhược điểm này phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên với mục tiêu, đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu cụ thể như sau:

Mục tiêu của luận án là xây dựng một tiêu chuẩn đối ngẫu

có trọng số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương để phân tích mô men đáp ứng bậc hai của dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau, sai số của nghiệm xấp xỉ vào khoảng 10%

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các dao động phi

tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng có hàm phi tuyến dạng

đa thức

Phương pháp nghiên cứu của luận án sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp hình học giải tích và phương pháp số

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI

TUYẾN 1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất

Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên thường sử dụng các đặc trưng là các hàm không ngẫu nhiên như hàm mật độ xác suất, trung bình,

trung bình bình phương, phương sai, hàm tương quan, mật độ phổ

Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu nhiên x t  

Nếu biểu diễn X và Y dưới dạng hai véc tơ trong không gian xác suất với  là góc giữa hai véc tơ này, Rodgers (1988) chứng minh

 

cos

Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng hệ số tương quan bình

phương r 2 thay cho r r và r 2 là độ đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của X và Y, cường độ tương quan có thể được đề xuất (Cohen, 1988)

1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt

Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt thường gặp trong dao động phi tuyến như quá trình dừng, quá trình Wiener, quá trình Markov được giới thiệu trong đó quá trình ồn trắng Gauss có hàm mật độ xác suất

 

2

2

1exp

22

ngoài là ồn trắng Gauss f t u t / m t , (1.11) viết dưới

dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên là

- Khi hệ (1.12) có cản tuyến tính và đàn hồi phi tuyến

độ phổ Bên cạnh đó, một số phương pháp số cũng được sử dụng như các phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK, phương pháp mô phỏng số Monte Carlo

Kết luận chương 1

Trong chương này trình bày sơ lược về lý thuyết xác suất và dao động ngẫu nhiên sẽ được áp dụng trong các chương kế tiếp Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được liệt kê cùng với ưu nhược điểm của từng phương pháp

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG

ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN

Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên được sử dụng rất phổ biến trong kỹ thuật do tính đơn giản, và có thể áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do với nhiều loại kích động khác nhau Để giới thiệu về ý tưởng cơ bản của phương pháp này, ta xem xét tiêu chuẩn kinh điển, một trong những tiêu chuẩn tuyến tính hóa ngẫu nhiên nổi tiếng nhất, được Caughey

đề xuất trong những năm 1950-1960

Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss (1.12) Khi thay thế hàm phi tuyến g x x bằng các hàm tuyến tính  , 

tương ứng, g x x , bxkx, thu được phương trình tuyến tính

x h b x   k x  t

trong đó b, k được gọi là các hệ số tuyến tính hóa tương đương

Xuất phát từ sai số phương trình của (1.12) và (2.1) là

CHƯƠNG 3 TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN

3.1 Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng quát

Dựa trên cách tiếp cận đối ngẫu, N.Đ.Anh (2010) đề xuất tiêu chuẩn

3.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu

3.2.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu

Cách thay thế đối ngẫu của N.Đ Anh

dn

AB k

3.2.2 Mức độ phụ thuộc tuyến tính trong tiêu chuẩn đối ngẫu

Theo giả thiết A và B có trung bình không nên  A2  A2 ,

B B

  ,  AB  AB , hệ số tương quan của chúng sẽ có dạng

1/2 1/2

AB r

µ được gọi là mức độ phụ thuộc tuyến tính

3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu

Xét không gian Hilbert hai chiều H của các hàm ngẫu nhiên

   ,

u x v x có trung bình không, mô men bậc hai hữu hạn và hàm

mật độ xác suất p x R, không gian này có tích trong, chuẩn và khoảng cách được định nghĩa bởi

Hai véc tơ u và v được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một hệ

số c, cR thỏa mãn phép nhân u cv , nghĩa là các véc tơ u và v có

cùng phương hay cos   Khi u và v khác phương, ta có thể 1

biểu diễn được quan hệ tuyến tính giữa véc tơ v với véc tơ hình chiếu

p

u của một phép chiếu véc tơ u lên phương của v Nói một cách khác, véc tơ u được thay thế tương đương bằng véc tơ hình chiếu

trong đó k là hệ số tương đương Trong phép thay thế tuyến tính td

tương đương sử dụng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu, bình phương

khoảng cách giữa hai véc tơ u và k v được yêu cầu là nhỏ nhất td

Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu

Biểu diễn như (3.17) cho thấy quá trình thay thế lượt đi từ Ak B dn

là phép chiếu véc tơ A lên phương của B Quá trình thay thế lượt về

từ k B dn  dn A là phép chiếu véc tơ k dn B lên phương của véc tơ A

Tương ứng với cách thay thế đối ngẫu, sự kết hợp hai phép chiếu này được gọi là phép chiếu đối ngẫu Biểu diễn hình học của tiêu chuẩn

đối ngẫu cho hai trường hợp 0  / 2 và  / 2  được thể hiện trên hình 3.1, các hệ số tuyến tính hóa và hệ số trở về được biểu diễn theo chuẩn và hệ số tương quan là

Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (1.12) với g x x , 

là hàm phi tuyến dạng đa thức

trong đó g x x là hàm lẻ của x đại diện cho thành phần lực cản i , 

phi tuyến thứ i, g jx x,  là hàm lẻ của x đại diện cho thành phần lực đàn hồi phi tuyến thứ j Vì hệ phi tuyến được thay thế bằng một hệ

tuyến tính nên áp dụng nguyên lý chồng chất cho việc thay thế

trong đó b và k gọi là các hệ số tuyến tính hóa tương đương, còn b i

và k j gọi là các hệ số tuyến tính hóa thành phần tương ứng Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với A i  g x x B i , , i  x , ; A j  g jx x B,, j  x

xác định được

;

j i

;

j i

3.3.1 Dao động Van der pol

1 0.7325 0.5525 24.57 0.7342 0.23

4 1.4525 1.0512 27.62 1.3770 5.20

3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba

trong đó , ,h    o, là các số thực dương Phương trình tuyến tính hóa tương đương là

trong đó a, γ là các số thực dương, ( ) f t là ồn trắng Gauss có mật độ

phổ S o const Phương trình tuyến tính hóa tương đương là

1.775 0.810 0.779 3.83 0.835 3.00 0.90 2.200 0.751 0.695 7.43 0.779 3.74 0.80 2.715 0.699 0.614 12.06 0.716 2.54 0.67 3.000 0.676 0.577 14.59 0.683 1.06 0.60 3.437 0.647 0.528 18.34 0.634 1.96 0.50 3.935 0.621 0.482 22.34 0.583 6.05 0.40 4.342 0.603 0.450 25.40 0.545 9.61 0.33 4.537 0.595 0.435 26.80 0.527 11.33 0.30 5.340 0.568 0.386 32.07 0.465 18.22 0.20 6.633 0.536 0.326 39.20 0.386 28.06 0.10 14.681 0.451 0.166 63.18 0.181 59.78 0.001

Kết luận chương 3

Dựa trên cách thay thế tương đương đối ngẫu của N.Đ.Anh, đã đề xuất tiêu chuẩn đối ngẫu và khái niệm phép chiếu đối ngẫu Các tính chất cơ bản và các đặc trưng hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu được xây dựng Các ví dụ áp dụng cho thấy: một cách gần đúng, nghiệm xấp xỉ có sai số ở mức nhỏ hơn 10% với các dao động có giá trị của

µ trong khoảng 1/ 3  2/3 Trong các khoảng 0  1/3 và

2/3  1, nghiệm xấp xỉ có sai số lớn, lên đến gần 60% (bảng 3.7)

Do vậy, tiêu chuẩn đối ngẫu cần tiếp tục cải tiến để thu được kết quả chính xác hơn, đặc biệt cho các trường hợp 0  1/3 và 2/3   1

CHƯƠNG 4 TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CÓ TRỌNG SỐ CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU

NHIÊN 4.1 Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số

4.1.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số

Để đánh giá ảnh hưởng của các quá trình thay thế, xét tiêu chuẩn

AB p

Các đặc trưng hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số là

(a) Véc tơ k ts B là véc tơ hình chiếu của một phép chiếu véc tơ A tb lên

phương của véc tơ B, với chiều dài của véc tơ A tb bằng trung bình

trọng số chiều dài của các véc tơ A và λ ts A

(b) Véc tơ λ ts A là véc tơ hình chiếu của phép chiếu trực giao véc tơ

k ts B lên phương của véc tơ A

(c) Khi 2 

cos   ,1   (mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất), 1

các véc tơ A và B cùng phương,  ts  ,1 k ts B   A (hình 4.1a)

Xét các trường hợp riêng của tiêu chuẩn (4.1) như sau

(i) Trường hợp ảnh hưởng của quá trình thay thế lượt đi là lớn nhất cho bởi p  Tiêu chuẩn (4.1) trở thành tiêu chuẩn kinh điển 0(3.22) Theo (c) khi   , thì xấp xỉ tuyến tính là chính xác 1

(ii) Trường hợp ảnh hưởng của các quá trình thay thế lượt đi và lượt

về là tương đương nhau cho bởi p 1 / 2 Tiêu chuẩn (4.1) trở thành tiêu chuẩn đối ngẫu (3.3), xấp xỉ tuyến tính có kết quả tốt

với giá trị của µ nằm trong khoảng [1/3, 2/3] như kết quả khảo sát

Đặt ra bài toán: tìm trọng số là hàm của mức độ phụ thuộc tuyến

tính p( ) , với giả thiết qui luật ảnh hưởng của các quá trình thay thế

là tương tự nhau đối với các hệ dao động trong bài toán tuyến tính hóa tương đương

Dựa trên giả thiết này các trường hợp riêng (i, ii, iii), các đặc trưng

hình học (c, d) và các kết quả khảo sát trong chương 3 có thể được sử dụng để xây dựng hàm ( )p  Đề xuất phân loại

- Mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu, 0  1 / 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ)

Kết quả thu được

Tại điểm gián đoạn µ = 1/3, hệ số tuyến tính hóa tương đương được

đề xuất là trung bình đại số

AB k

0 0.1 0.2 1/3 0.4 0.5 0.6 2/3 0.8 0.9 1 0

,,

;

j i

,1

1

M

i i

i i i

xg x x p

,1

1

N

j j

p k

trong đó  , 0, a là các số thực dương, f t là ồn trắng Gauss với  

mật độ phổ S o const Phương trình tuyến tính hóa tương đương là

 

2 0

Các kết quả chính của chương này như sau:

- Dựa trên sự mở rộng của tiêu chuẩn đối ngẫu, đã đề xuất tiêu chuẩn

đối ngẫu có trọng số với trọng số được chuẩn hóa p được sử dụng để

phản ánh ảnh hưởng khác nhau của các quá trình thay thế lượt đi và lượt về Các đặc trưng hình học cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số được mô tả dựa trên phép chiếu đối ngẫu

- Đã đề xuất phân loại mức độ phụ thuộc tuyến tính của µ thành ba

mức là yếu, trung bình và mạnh và trọng số là hàm tuyến tính từng

đoạn phụ thuộc µ

- Kết hợp tính chất của µ và ảnh hưởng của các quá trình thay thế, đã

xác định được các điều kiện biên của hàm p  tại   và 0   1Dựa trên các điều kiện biên, biểu thức giải tích của hàm p  cho

các mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu và mạnh được xây dựng trên phương pháp nội suy sử dụng các số liệu chính xác của dao động phi tuyến Lutes Sarkani

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Những kết quả mới chủ yếu của luận án này bao gồm:

1 Đã xây dựng được các biểu thức cho tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số theo phương pháp trung bình bình phương tối thiểu dựa trên quan điểm đối ngẫu trong bài toán thay thế tương đương Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số được coi như một dạng tổng quát hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn

kinh điển, áp dụng cho quá trình dừng Gauss trung bình không

2 Dựa trên ý nghĩa của mức độ phụ thuộc tuyến tính và ảnh hưởng của các quá trình thay thế lượt đi và lượt về, đã đề xuất phân loại mức độ phụ thuộc tuyến tính của hàm phi tuyến so với hàm tuyến tính tương đương và phân tích được các đặc điểm và tính chất cơ

bản của các tiêu chuẩn này

3 Đã xây dựng được trọng số là hàm tuyến tính từng đoạn của mức

độ phụ thuộc tuyến tính, dạng giải tích của trọng số được xác định trên cơ sở đặc điểm của các tiêu chuẩn đối ngẫu, đối ngẫu có trọng số và bài toán nội suy từ trọng số chính xác của dao động

đàn hồi phi tuyến Lutes Sarkani

4 Đã xây dựng công thức và trình tự tính toán để phân tích mô men bậc hai khi áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số cho dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng

Gauss có hàm phi tuyến dạng đa thức

5 Các kết quả thu được khi phân tích các dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss khác nhau

cho thấy tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số có sai số lớn nhất vào khoảng 10% tương ứng với giá trị của mức độ phụ thuộc tuyến tính 0.1  như bảng 4.7 nên có thể được lựa chọn thay thế cho các tiêu  1chuẩn đối ngẫu hay tiêu chuẩn kinh điển Ngoài ra, tiêu chuẩn này có khả năng áp dụng cho tuyến tính hóa dao động phi tuyến tiền định

Bảng 4.7 Sai số của các tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số, đối ngẫu và kinh điển theo giá trị của

0   0.1 sai số lớn hơn tiêu

chuẩn đối ngẫu sai số >25% sai số >10% 0.1   1/ 3 sai số lớn hơn tiêu

chuẩn đối ngẫu 10%< sai số <25% sai số <10% 1/ 3   2/ 3 sai số lớn hơn tiêu

chuẩn đối ngẫu sai số <10% sai số <10%

2/ 3   1

- khi a  , sai số lớn 1

hơn tiêu chuẩn đối ngẫu

- khi a  , sai số <4% 1 - khi a  , sai số 1

<3%

- khi a  , sai số nhỏ 1 hơn tiêu chuẩn đối ngẫu

- khi a  , sai số >10% 1 - khi a  , sai số 1

<5%

1

 sai số 0% sai số 0% sai số 0%

a: giá trị lũy thừa của hàm phi tuyến

Khi giá trị của mức độ phụ thuộc tuyến tính 0.1 thì sai số của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số vẫn lên đến 15.57% (mục 4.22, bảng 4.3, tương ứng với  0.082 và  0.1 Lí do của vấn đề này có thể kể đến là biểu diễn tuyến tính của hàm trọng số, mặc dù dễ tính toán áp dụng, tuy nhiên khá đơn giản để mô tả một cách đầy đủ tính chất phi tuyến của các hệ dao động vốn rất đa dạng

Hướng nghiên cứu tiếp theo: tập trung vào việc cải tiến hàm trọng

số để nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ Hơn nữa, các kết quả nghiên cứu có thể được phát triển cho các hệ dao động ngẫu nhiên nhiều bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss, hệ chịu kích động không dừng hay hệ có trễ