PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG - QUANG HỌC GẦN TRỤC BÀI 5

Ánh sáng loại này là sự xáo trộn của hầu hết vô số các nhiễu loạn, mỗi nhiễu loạn có hướng lan truyền riêng của nó, tần số quang riêng và trạng thái phân cực riêng.. Vì chúng ta biết rằn

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Ánh sáng phân cực

Hầu hết những nguồn sáng thông thường, như là mặt trời, bóng đèn dây đốt, tia lửa điện, sản sinh ra ánh sáng được mô tả là không kết hợp và không phân cực Ánh sáng loại này là sự xáo trộn của hầu hết vô số các nhiễu loạn, mỗi nhiễu loạn có hướng lan truyền riêng của nó, tần số quang riêng và trạng thái phân cực riêng.

Chúng ta giả sử rằng chúng ta có một sóng phẳng tần số góc ω lan truyền với vận tốc

c theo hướng Oz Vì chúng ta biết rằng dao động của vector điện trường E là theo phương ngang, chúng có thể được định nghĩa bằng thuật ngữ thành phần-x Ex, biên độ đỉnh H, và thành phần-y Ey, biên độ đỉnh K Vì vậy, chúng ta có:

y

x x

x

c

z t i K a phanthuccu c

z t K

E

c

z t i H a phanthuccu c

z t H

E

φ ω

φ ω

φ ω

φ ω

exp cos

exp cos

Nếu chúng ta đặt Δ là độ lệch pha (Φy – Φx) và nếu ký hiệu î và ĵ là vector đơn vị dọc theo trục Ox và Oy, hai phương trình trên có thể được kết hợp lại thành dạng vector không gian:

x

c

z t i Ke

H E

E

φ ω

ngang có thể là phân cực dọc hay phân cực ngang Nếu độ lệch pha bị triệt tiêu, chúng ta sẽ thấy rằng độ phân cực là tuyến tính, và nếu H = K trong khi Δ = π/2, chúng ta có ánh sáng phân cực tròn Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có ánh sáng phân cực ellipse.

( ω φ ) θ

φ ω θ

E

t A

E

y

x

cos sin

cos cos

Nếu viết dưới dạng vector cột:

, , sin

φ ω

y

t A

x

cos sin

cos cos

Nếu rút Acos ( ω + t φ ) từ hai phương trình trên, ta nhận được:

quang học gọi là “dao động bất thường” (extraordinary vibration) (dao động – E) và dao động vuông góc với trục quang học gọi là “dao động bình thường” (ordinary vibration) (dao động O) Đối với hầu hết bản đồng bộ pha (nếu làm từ tinh thể đơn trục âm), chiết suất đối với dao động – E nhỏ hơn chiết suất đối với dao động – O, trục quang học còn được gọi là

“fast axis” Để xác định hướng của bản đồng bộ pha, người ta vẽ một đường thẳng ở biên

“fast axis”.

Chúng ta thừa nhận rằng, bản đồng bộ pha chúng ta sử dụng có trục quang học song song vói trục x và độ dày của nó là yếu tố dẫn đến dao động – O một góc Δ radian tương ứng với dao động – E Các dao động đến từ bản đồng bộ pha xác định bởi:

( ) ( + ∆ )

=

=

t A

y

t A

x

ω θ

ω θ

cos sin

cos cos

Nếu chúng ta khử ωt giữa hai phương trình trên, chúng ta sẽ nhận được phương trình liên kết các dao động x- và y-:

∆

= +

∆

−

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2 2

sin cos

2

sin sin

cos sin

cos 2 cos

K

y HK

xy H

x

A

y A

xy A

x

θ θ

θ θ

Trong đó: H = Acosθ và K = Asinθ Ở đây, H là thành phần dao động ban đầu song song với trục x và y là thành phần dao động ban đầu song song với trục y Bằng cách lấy căn và lấy tổng, H2 + K2 = A2, căn của biên độ dao động ban đầu, tỷ lệ với dòng năng lượng trong dao động ban đầu Nó được gọi là cường độ I.

Chúng ta khảo sát một vài trường hợp đặc biệt của phương trình này Nếu Δ = 0, tức

là không có bản đồng bộ pha thì cosΔ = 1 và sinΔ = 0, và phương trình trở thành:

H

K x y K

y H x

K

y HK

xy H

−

0

0 2

2 2

2 2

2

Điều này mô tả điều kiện phân cực phẳng của chùm ban đầu

Trường hợp Δ = -π, chúng ta có bản “nửa sóng” (half-wave plate): cosπ = -1 và sinπ

= 0, ta có phương trình tương tự:

H

K x

y = −

Trường hợp Δ = π/2, chúng ta có bản “1/4 sóng” (quarter-wave plate): cos(π/2) = 0

và sin(π/2) = 1, phương trình liên kết giữa x và y trở thành:

12

2 2

2

= +

K

y H x

Đây là phương trình ellipse với các trục chính và trục phụ của nó nằm song song với trục x và trục y Bán trục song song với trục x là H và bán trục song song với trục y là K.

Trường hợp Δ = π/4, phương trình trở thành:

2

2 2

y

x + = Chúng ta nói rằng ánh sáng phân cực tròn.

2 Các thông số Stokes đặc trưng cho sự phân cực

Phương trình nhận được bằng việc khử ωt từ các phương trình mô tả dao động x- và y- thể hiện một ellipse trường hợp tổng quát, với các bán trục của nó không song song với trục x và y Để xác định cách định hướng và tỷ số các trục của ellipse trong trường hợp này,

sẽ thuận tiện khi sử dụng một mô tả toán học phức tạp hơn cách chúng ta vừa dùng Đối với

sự phân cực toàn phần, xác định bởi H, K và Δ, chúng ta định nghĩa 4 thông số Stokes của chùm như sau:

I = H2 + K2 = A2

Q = H2 – K2 = A2cos2θ – A2sin2θ = A2cos2θ = Icos2θ

U = 2HKcosΔ = 2(Acosθ)(Asinθ)cosΔ = A2sin2θcosΔ = Isin2θcosΔ

V = 2HksinΔ = Isin2θsinΔ

Bằng chứng minh đại số, người ta có thể chứng minh I2 = Q2 + U2 + V2 Chúng ta sẽ thấy ý nghĩa vật lý của những đại lượng này.

2 2

2 2

2

2 2

2 2

4 sin

2 2

Q I

V K

H V

Q I K

Q I H

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

=

+ +

V

Q I y V

Uxy V

Q I x

Q I

V Q I

y Q

I

Uxy Q

I x

Nếu chúng ta đặt:

2 2

2

2 ,

2 ,

2

V

Q I F V

U G V

Q I

Chúng ta nhận được phương trình:

Px2 – 2gxy + Fy2 = 1 Chúng ta có thể dễ dàng tìm được cách định hướng và tỷ số giữa các trục của ellipse này như sau Sử dụng hệ tọa độ cực: x = R cos φ , y = R sin φ , phương trình trở thành:

1 2

2 cos 1 2

sin 2

2 cos 1

1 sin sin

cos 2

cos

2 2

2

2 2 2

2 2

=

− +

−

+

⇔

= +

−

φ φ

φ

φ φ

φ φ

FR GR

PR

FR GR

PR

Đặt 2 φ = β và 22

R = W:

W = (P + F) – 2Gsinβ + (P – F)cosβ Tại các đầu của trục chính và trục phụ của ellipse, R tương ứng với các cực đại và cực tiểu, vì vậy, W tương ứng với các cực tiểu và cực đại Vì vậy, giá trị β tương ứng với

trục của ellipse cho bởi: = 0

P F

α

α α

Biểu thức này cho 2 giá trị có thể có của α

Thế trở lại các thông số Stokes:

Tỷ số căn giữa chiều dài trục phụ và trục chính:

∆

− +

∆

−

−

= + +

+

−

2 2

2 2

2 2

2 2

sin 2 sin 1 1

sin 2 sin 1 1

θ

θ

U Q I

U Q I

Những mối liên hệ này có thể được kiểm tra bằng thực nghiệm, sử dụng 2 kính phân cực, một bản đồng bộ pha và một tế bào quang điện.

Đối với chùm phân cực một phần, chúng ta định nghĩa độ phân cực P bằng với căn

quân phương dương của tỷ số 2 22 2

I

V U

Q + + Đối với chùm sáng bất kỳ nào, P nằm giữa 0 và

1.

3 Sử dụng phép tính Mueller để chuyển đổi cột Stokes

Bốn thông số Stokes liên quan tới chùm có thể được xem như là các thành phần của một ma trận 4 dòng 1 cột, ký hiệu là S:

I S

Với ánh sáng không phân cực, cột Stokes có dạng:

I S

Gọi I1, Q1, U1, V1 là các thông số Stokes của chùm tia trước khi đi vào thiết bị và I2,

Q2, U2, V2 là các thông số Stokes của chùm tia sau khi rời khỏi thiết bị, chúng ta có hệ phương trình liên hệ như sau:

I2 = M11I1 + M12Q1 + M13U1 + M14V1

Q2 = M21I1 + M22Q1 + M23U1 + M24V1

U2 = M31I1 + M32Q1 + M33U1 + M34V1

V2 = M41I1 + M42Q1 + M43U1 + M44V1Biểu diễn dưới dạng ma trận:

44 43 42 41

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

2 2 2 2

V U Q I

M M M M

M M M M

M M M M

M M M M

V U Q I

hay S1 = MS2

Ở đây, S1 là cột Stoke của chùm đi vào thiết bị, S2 là cột Stoke của chùm rời khỏi thiết bị và M là ma trận 4 dòng 4 cột đặc trưng cho thiết bị và định hướng của nó và được gọi là ma trận Mueller của thiết bị.

Bảng 3: Ma trận Mueller cho kính phân cực tuyến tính lý tưởng, kính cản tuyến tính (retarder), sự

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1 2

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1 2

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1 2

0

0 0

0 1

2

1

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

S S C S

S C C C

S C

0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0

0 0 0

1

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

C S

C S

S C

S S C C

C2 = cos2θ; S2 = sin2θ

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0

0 0

0 0 0 1

4 4

4 4

C S

S C

0 0

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0

0 0 0 1

µ β

0 0

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−

−

− +

β µ µ

µ β β

µ β β

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

0 1 0

1 0

0 0

0 1

C S

C C S S

C

S S

C S C

β = cosδ; μ = sinδ

Xét một mô hình gồm một bản đồng bộ pha đặt giữa 2 kính phân cực (polaroid) Gọi

I1 là cường độ của ánh sáng không phân cực đi vào kính phân cực thứ nhất Bằng cách sử dụng các ma trận Mueller (Bảng 3), chúng ta có thể xác định được cường độ của ánh sáng sau khi rời khỏi kính phân cực cuối cùng Cột Stokes của ánh sáng đi vào kính phân cực đầu tiên có dạng:

I S

Ma trận Mueller của kính phân cực thứ nhất có biểu thức ma trận (Theo bảng 3)

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2 sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

α

α α

M

Trong đó: α là góc hợp bởi mặt phẳng truyền và trục ngang Ox

Cột Stokes của ánh sáng sau khi rời khỏi kính phân cực đầu tiên:

2 cos 1

2 0

2 sin

2 cos 2 1 0 0 0 0 0

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1 1

1 1

2

2 1

1

α α

α α

α α α

α α α

α

α α

I I

I

I I

0 0

sin cos

0 0

0 0

1 0

0 0

0 12

δ

δ δ

δ α

α α

α

δ

δ δ

sin 2 sin

cos 2 sin

2 cos 1

2 0

2 sin

2 cos 1

2 1 sin

0 0

sin cos

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

1 1

2 2 3

I I

S M S

Sau đó, ánh sáng truyền đến kính phân cực thứ hai có ma trận Mueller:

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

γ

γ γ

− +

cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2

cos

cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 1 4

sin 2 sin

cos 2 sin

2 cos 1

2 0 0

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2 1

2

2 1

1 2

2 3

3 4

δ α γ α

γ γ γ

δ α γ γ α

γ γ

δ α γ α

γ

δ α

δ α

α γ

γ γ γ

γ γ γ

γ

γ γ

I

I S

M S

Cường độ của ánh sáng sau khi rời khỏi kính phân cực thứ hai:

( ) ( 1 cos 2 γ cos 2 α sin 2 γ sin 2 α cos δ )

4 1

,

1

4

1 4

0 0

01

1

I S

Kính phân cực thứ nhất có góc θ1 hợp giữa phương Ox và mặt phẳng truyền là 900,

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1 2 1 0 0

0 0

0 90

2 sin 90

2 cos 90 2 sin 90 2 sin

0 90 2 sin 90 2 cos 90

2 cos 90

2 cos

0 90

2 sin 90

2 cos 1

2

1

0 2 0

0 0

0 0

0 2 0

0 0

2 0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1 2

1 1

1 2

I I

S M S

Kính phân cực thứ hai có góc θ2 hợp giữa phương Ox và mặt phẳng truyền là 900 –

120 = 780 Ma trận Muellers của kính thứ hai có dạng:

0

0 17 0 37 0 41 0

0 37 0 83 0 91 0

0 41 0 91 0 1

2 1 0 0

0 0

0 78

2 sin 78

2 cos 78 2 sin 78 2

sin

0 78 2 sin 78 2 cos 78

2 cos 78

2

cos

0 78

2 sin 78

2 cos 1

2

1

0 2 0

0 0

0 0

0 2 0

0 0

74.1

91.1

40011

2000

0

017.037.041.0

037.083.091.0

041.091.01

2

2 2 3

I I

S M S

Kính phân cực thứ ba có góc θ3 hợp giữa phương Ox và mặt phẳng truyền là 900 +

0

0 17 0 37 0 41 0

0 37 0 83 0 91 0

0 41 0 91 0 1

2 1 0 0

0 0

0 102

2 sin 102

2 cos 102 2 sin 102 2

sin

0 102 2 sin 102 2 cos 102

2 cos 102

2

cos

0 102

2 sin 102

2 cos 1

2

1

0 2 0

0 0

0 0

0 2

0

0 0

92.2

17.3

80

77.0

74.1

91.1

4000

0

017.037.041.0

037.083.091.0

041.091.01

2

3 3 4

I I

S M S

Như vậy: 3 . 17 8 3 . 8 17 0 . 396

1

4 1

I

I I I

Hướng dẫn cách lập trình:

Bài toán thuận:

Ánh sáng đi từ kính phân cực thứ nhất sang kính phân cực thứ hai rồi thứ ba

- Bước 1: Nhập vào các giá trị góc θ1, θ2, θ3 của kính phân cực thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

1

2 1

1 1

1 1 1

2 1

1 1

θ θ θ

θ

θ θ

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

θ θ θ

θ

θ θ

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

3

2 3

3 3

3 3 3

2 3

3 3

θ θ θ

θ

θ θ

% Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien

% Bo mon Vat ly Ung dung

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

% Ho ten hoc vien: Phan Trung Vinh

% ********************************************************************************

% BAI LAP TRINH 5 - PROBLEM 2 PAGE 224 - BAI TOAN THUAN

clc

clear all

%

% ********************************************************************************

% BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET

theta1=input('Nhap vao gia tri goc theta1 (don vi do):');

theta1=theta1*pi/180; % Doi don vi do sang rad

theta2=input('Nhap vao gia tri goc theta2 (don vi do):');

theta2=theta2*pi/180; % Doi don vi do sang rad

theta3=input('Nhap vao gia tri goc theta3 (don vi do):');

theta3=theta3*pi/180; % Doi don vu do sang rad

%

% ********************************************************************************

% BUOC 2: VIET BIEU THUC COT STOKE VA CAC MA TRAN MUELLER

% Cot Stokes cua anh sang di vao he

% BUOC 3: TINH TY SO CUONG DO ANH SANG TRUYEN QUA VA ANH SANG TOI

disp('Ty so I4/I1 can tim la:')

Tyso=S3(1)

Kết quả

Ty so I4/I1 can tim la:

Tyso =

0.3992

Bài toán nghịch

Cách 1: Cho biết tỷ số I4/I1, góc θ2, θ3, tìm góc θ1 Cách này tương đối đơn giản

- Bước 1: Nhập vào các giá trị I4/I1, góc θ2, θ3 của kính phân cực thứ hai và thứ ba.

- Bước 2: Viết biểu thức biểu thức cột Stokes của ánh sáng đi vào hệ và ma trận Mueller của từng kính phân cực:

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

1

2 1

1 1

1 1 1

2 1

1 1

θ θ θ

θ

θ θ

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

θ θ θ

θ

θ θ

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

3

2 3

3 3

3 3 3

2 3

3 3

θ θ θ

θ

θ θ

M

- Bước 3: Nhân các ma trận Mueller và cột Stokes lại, ta nhận được biểu thức cột Stokes của ánh sáng đi ra khỏi hệ

S3 = M3M2M1S1Cho S(1,1) = I4  Tính được θ1

Chương trình Matlab:

% Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien

% Bo mon Vat ly Ung dung

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

% Ho ten hoc vien: Phan Trung Vinh

% BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET

Tyso=input('Nhap vao ty so giua cuong do anh sang truyen qua I4 va cuong do toi I1:');

theta2=input('Nhap vao gia tri goc theta2 (don vi do):');

theta2=theta2*pi/180; % Doi don vi do sang rad

theta3=input('Nhap vao gia tri goc theta3 (don vi do):');

theta3=theta3*pi/180; % Doi don vi do sang rad

syms theta1

%

% ********************************************************************************

% BUOC 2: VIET BIEU THUC COT STOKE VA CAC MA TRAN MUELLER

% Cot Stokes cua anh sang di vao he

disp('Goc theta1 la:')

Nhap vao ty so giua I4 va I1:0.3992

Nhap theta2 (don vi do):78

Nhap theta3 (don vi do):102

Goc theta1 la:

Cách 2: Sử dụng thuật toán N-Square Scan, cho biết tỷ số I4/I1target, tìm góc θ1, θ2,

θ3 Cách này tương đối phức tạp nhưng độ chính xác cao.

- Bước 1: Nhập vào các giá trị I4/I1target (giá trị mà ta mong muốn đạt được) Nhập vào khoảng giới hạn của các góc θ1, θ2, θ3: θmin ≤ θi ≤ θmax (Chọn θmin = 100 , θmax = 3600) với i =

1, 2, 3; bước nhảy 0.50.

- Bước 2: Sử dụng thuật toán N-Square Scan, tìm được bộ ba giá trị θ1, θ2, θ3 tối ưu

Lượt chạy 1: Giữ θ2 = θmin, θ3 = θmin, cho θ1 chạy từ θmin đến θmax Tính các ma trận Mueller và cột Stokes

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

1

2 1

1 1

1 1 1

2 1

1 1

θ θ θ

θ

θ θ

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

θ θ θ

θ

θ θ

0 0

0 2

sin 2

cos 2 sin 2

sin

0 2 sin 2 cos 2

cos 2

cos

0 2

sin 2

cos 1

2

1

3

2 3

3 3

3 3 3

2 3

3 3

θ θ θ

θ

θ θ

M

S3 = M3M2M1S1Cho S(1,1) = I4/I1 = I4  Tính được θ11 Tìm θ11 tối ưu sao cho F đạt giá trị nhỏ nhất với F = |I4/I1 – I4/I1target|.

Tương tự, giữ θ1 = θ11, θ3 = θmin, cho θ2 chạy từ θmin đến θmax Tính các ma trận Mueller và cột Stokes như trên Tìm được θ21 tối ưu sao cho F đạt giá trị nhỏ nhất với F = |

Tương tự, giữ θ2 = θ2, θ3 = θ32, cho θ1 chạy từ θmin đến θmax Tính các ma trận Mueller

và cột Stokes như trên Tìm được θ12 tối ưu sao cho F đạt giá trị nhỏ nhất với F = |I4/I1 –

Tương tự, giữ θ3 = θ33, θ1 = θ13, cho θ2 chạy từ θmin đến θmax Tính các ma trận Mueller

và cột Stokes như trên Tìm được θ23 tối ưu sao cho F đạt giá trị nhỏ nhất với F = |I4/I1 –

% Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien

% Bo mon Vat ly Ung dung

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

% Ho ten hoc vien: Phan Trung Vinh

% BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET

Tyso_target=input('Nhap vao ty so I4/I1 mong muon dat duoc:');

theta_min=input('Nhap vao can duoi cua cac goc theta:');

theta_max=input('Nhap vao can tren cua cac goc theta:');