PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG - QUANG HỌC GẦN TRỤC BÀI 4

Đặc trưng ma trận của một hệ cộng hưởng quang học Hệ cộng hưởng quang học là một bộ phận quan trọng trong máy phát laser, giúp tạo môi trường mật độ đảo lộn để ánh sáng phát ra có cường

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đặc trưng ma trận của một hệ cộng hưởng quang học

Hệ cộng hưởng quang học là một bộ phận quan trọng trong máy phát laser, giúp tạo môi trường mật độ đảo lộn để ánh sáng phát ra có cường độ lớn, độ đơn sắc cao, tính kết hợp cao và tính định hướng lớn Cấu tạo cơ bản của hệ cộng hưởng bao gồm một môi trường hoạt tính đặt giữa hai gương có độ phản xạ cao: một gương phản xạ hoàn toàn và một gương phản xạ một phần Ánh sáng phát ra từ môi trường hoạt tính sẽ bị phản xạ nhiều lần giữa hai gương, dẫn đến sự tăng mạnh về cường độ

Chúng ta sẽ khảo sát một hệ cộng hưởng laser tiêu biểu có sơ đồ minh họa như hình bên dưới:

Một thỏi khuyếch đại laser (môi trường hoạt tính) chiều dài L được đặt giữa hai gương phản xạ cách nhau một khoảng b Vì thỏi laser tương đương với một bản phẳng song song, ma trận dịch chuyển đặc trưng cho khoảng trống giữa 2 gương sẽ có độ dày rút gọn:

n

L n b n

L L b

1

−

−

= +

−

= Với n là chiết suất của vật liệu laser

Đặt mặt phẳng quy chiếu RP1 tại mặt phẳng gương phản xạ một phần và xem như tia

tới đầu tiên 











1

1

V y

đi tới RP1 theo hướng +z sau khi phát ra từ môi trường khuyếch đại Sau

qua môi trường khuyếch đại đến gương phản xạ hoàn toàn, bị phản xạ ngược trở lại, đi qua môi trường khuyếch đại một lần nữa, rồi đến gương phát Quá trình cứ thế tiếp diễn

Nếu chúng ta đặt mặt phẳng quy chiếu RP2 tại vị trí ngẫu nhiên so với RP1, chúng ta

có thể viết được ma trận truyền tia tổng hợp M liên hệ với 2 mặt phẳng quy chiếu này và đặc trưng cho “chuyến đi xoay vòng” qua hệ cộng hưởng

Gọi P1, P2 là độ tụ của hai gương phản xạ ở hai đầu, chúng ta có:

























=













=

























− +

−

−

− +

−

−

=

























−

























−













=













1

1 1

1

1

1 1

2 1 2 1

1

2 2 1 2 1

1

1 2

1 2

2

1

2 2

1

1

0 1 1 0

1 1

0 1 1 0 1

V

y D C

B A V

y M

V

y T P T

P P P P

T P T T P P T P T P

V

y P

T P

T V

y

Để xác định trị riêng λ1 và λ2, chúng ta tính tổng (A + D) của ma trận:

2 1

1 4

2 2

2

1 2

1

2 1

2 1

1

2 2 1 2 1

−







 −







 −

=

−

−

−

=

− + +

−

−

= +

r

T r

T

T P T

P

T P T

P P T P T P D

A

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm θ và t theo:

2 cos 4 cos











=

=

D

2 cosh 4 cosh











=

=

2 sinh 4 cosh









−

−

=

−

−

=

Để xác định công thức nào sẽ được dùng, chúng ta tính giá trị của biểu thức







 −







 −

2

1

1

1

r

T

r

T

và xét xem nó nằm trong khoảng nào: trong khoảng từ 0 đến 1, trên khoảng này hoặc dưới khoảng này

Nếu λ1 và λ2 là trị riêng của ma trận đơn trị (unimodular) C A D B thì một trong

những vector riêng của nó sẽ có các thành phần nằm trong tỷ số

C

D

−

1

λ

và

C

D

−

2

λ

Những

tỷ số này là các giá trị

V

y

hay các giá trị R, chúng không thay đổi khi lan truyền trong hệ cộng hưởng Nếu một mặt sóng với độ cong này tồn tại trong hệ cộng hưởng, nó sẽ tái sản sinh chính nó

Nếu một giá trị R không thay đổi khi lan truyền, chúng ta có 2 phương trình:

D CR

B AR R

+

+

=

1

1

Khử R2 chúng ta nhận được phương trình bậc 2 theo R1:

2

1 + D−A R −B=

CR

Lời giải của phương trình:

C

D D

A D A

C

BC D

A D

A R

2

2 4 ) ( 2

4 ) (

2

2 1

−

− +

± +

=

+

−

±

−

=

2 Sự lan truyền của chùm Gauss và thông số độ cong phức của nó

Chùm Gauss là một thuật ngữ để chỉ một chùm bức xạ kết hợp bị giới hạn nhiễu xạ, năng lượng của nó chỉ tập trung gần trục lan truyền và giảm nhanh khi xa trục theo hàm Gauss Cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do xuất phát từ phương trình sóng Gần trục quang học, sự phân bố biên độ A(r,z) của mode Gauss cơ bản được mô tả bởi:





















 −

−























=

R

i r

z i A

z r A

λ

π ω

φ λ

π ω

ω

2

2 1 2

exp

0

Trong biểu thức này, số hạng

λ

πz 2 thể hiện sự thay đổi pha dọc theo trục lan truyền,

số hạng φ thể hiện sự lệch pha bé phụ thuộc vào z theo biểu thức

2

0

tan

πω

λ

φ = z (Ở đây: λ là bước sóng của ánh sáng)

Hệ số r2 chứa phần thực và phần ảo Phần thực 12

ω diễn tả, theo hướng bán kính, độ

lớn của biên độ thay đổi theo hàm Gauss − 2 

2

exp ω

r

Vì vậy, bán kính ω là “bán kính vết”,

tại đó biên độ ánh sáng giảm đi

e

1 lần và cường độ bức xạ giảm đi 12

e giá trị tại trung tâm

Phần ảo

R

i

λ

π

2

2

− mô tả sự dao động bậc hai pha của trường sóng theo bán kính và số hạng R đặc trưng cho bán kính cong của bề mặt có pha không đổi, các mặt sóng lan truyền theo hướng +z

Khi chùm Gauss lan truyền trong không gian, hiệu ứng nhiễu xạ làm cho nó giãn rộng và phân tán đi một ít, vì vậy cả bán kính vết ω và bán kính cong R thay đổi ít theo trục

z Xuất phát từ phương trình sóng, quy luật kiểm soát hai thông số này là:

( )

( )























 +

=























 +

=

z z

z R

z z

λ πω πω

λ ω

ω

2 0

2 2 0

2 0 2

1 1

Hình trên minh họa tính chất của các thông số này khi được vẽ trong mặt phẳng yz

Người ta thấy rằng đường cong thể hiện quỹ tích bán kính 12

e là một hyperbol, có khoảng

cách gần trục z nhất là ω0 tại z = 0 và đường tiệm cận của nó tại góc

0

πω

λ

±

=

S

Các bề mặt có pha không đổi là những mặt phẳng gần “cổ” của chùm Gauss và

chúng có độ cong cực đại tại khoảng cách

λ

πω2 0

0 =±

±z tính từ tâm Vùng chính giữa có chiều dài 2z0, có tiết diện của chùm gần như là hằng số và đôi khi được nhắc tới như là

“trường gần” (near field) và vùng tiệm cận phân kỳ như là “trường xa” (far field)

Số hạng ban đầu

ω

ω0 diễn tả sự thật là cường độ điện trường ở vùng cổ chùm hay tâm chùm lớn hơn ở vùng “trường xa”, nơi mà chùm bị giãn rộng Nhưng năng lượng tổng cộng trong chùm là như nhau tại mọi giá trị của z, 86% năng lượng nằm lại bên trong contours

2

1

e

Phương trình xác định bán kính vết ω(z) và bán kính cong R(z) ở trên cho phép chúng ta tính toán cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do hay băng qua khoảng trống Rõ ràng rằng, nếu một chùm Gauss gặp phải một thấu kính mỏng hay một bề

mặt hội tụ có độ tụ P, thì bán kính vết của nó sẽ không thay đổi, nhưng

R

1 của nó sẽ bị giảm

R1 −

Một phương pháp chặt chẽ giúp cả hai thông số chùm này có thể cùng được xác định

là chúng ta kết hợp chúng thành một “thông số cong phức” a(z) Thay vì viết hệ số r2 trong

biểu thức biên độ

R

i

λ

π

2 1

2 − , chúng ta đơn giản viết

q

i

λ

π 2

2

− , với q được hiểu là số phức.

Từ định nghĩa này, chúng ta có:

2

1 1

πω

λ

i R

q = + Phần thực

q

1 thể hiện sự phân kỳ của các bề mặt có pha hằng số và phần ảo là biểu

thức của 12

ω , độ hội tụ công suất tại vùng trục chính của chùm.

Bằng cách thế vào công thức biểu thức R(z) và ω(z) đã biết, đối với sự lan truyền

trong không gian tự do, không khó để xác định q(z) = q0 + z, với

1 2 0 0

−









= πω

λ

i

nhận được tại cổ chùm (z = 0) Đối với sự lan truyền băng qua khoảng trống có độ rộng, chúng ta có: q2 = q1 + T

Đối với sự khúc xạ bởi thấu kính mỏng hay bề mặt có độ tụ P, chúng ta có 4 phương trình Theo định nghĩa:

2 2 2 2

1 1

πω

λ

i R

1 1 1

1 1

πω

λ

i R

Thứ ba, R = R −P

1 2

1 1

thể hiện sự thay đổi của độ phân tán và cuối cùng, ω1 = ω2 thể hiện tính bất biến của bán kính vết Kết hợp những phương trình này, chúng ta tìm được

P

q

1

2

1

1

Ngoài ra, chúng ta còn có thể sử dụng định luật ABCD với q Cq Aq D B

+

+

=

1

1

thông số đặc trưng cho chùm như: bán kính vết, bán kính cong, vị trí cổ chùm, bán kính cổ chùm, (Bảng 2)

Bảng 2: Mối liên hệ giữa các ma trận của một hệ cộng hưởng và các tính chất quang

của nó

Ma trận đặc trưng cho quá trình dao động của ánh sáng trong hệ cộng hưởng là













D

C

B

A

với AD – BC = 1

1

2 >

+D

A

: cho hệ cộng hưởng

không bền (nhánh dương)

1

2 <−

+D

A

: cho hệ cộng hưởng

không bền (nhánh âm)

Số hạng ma trận (A + D) −1< A+2D<1: cho hệ cộng

hưởng bền

λ1 = exp(t) = cosht + sinht : cho

nhánh dương

Trong đó:

2

1 2

1 2

sinh

2 cosh

















−











 +

=

+

=

D A t

D A t

λ1 = -exp(t) = - (cosht + sinht):

cho nhánh âm

Trong đó:

Trị riêng chính λ1 (t được chọn là dương

và θ nằm trong khoảng từ 0 đến π)

λ1 = exp(iθ) = cosθ + isinθ

Trong đó:

2

1 2

2 1

sin

2 cos



























 +

−

=

+

=

D A

D A

θ θ

1 2

1 2

sinh

2 cosh

















−











 +

=

+

−

=

D A t

D A t

Bán kính cong R

Với nhánh dương:

B

t B

A D B

A

R

C

t C

D A C

D

R

sinh 2

1

sinh 2

1

1

+

−

=

−

=

+

−

=

−

=

λ

λ

Với nhánh âm:

B

t B

A D B

A

R

C

t C

D A C

D

R

sinh 2

1

sinh 2

1

1

−

−

=

−

=

−

−

=

−

=

λ

λ

Tỷ số vector riêng











 −

=



















 −

=













B

A y

V

C

D V

y

1

1

λ

2

0

1 sin 2

1

sin 2

πω

λ θ

θ

i R B

i B

A D q

iz z C

i C

D A q

+

= +

−

=

−

= +

−

=

Để có dao động, thừa số cần thiết

phải là exp(2t) Các phương trình

ở trên xác định bán kính cong

của mặt sóng ngõ ra

Các thông số chùm Gauss

1 Bán kính cong

2 Sự phân kỳ của mặt sóng

3 Bán kính chùm

4 Vị trí cổ chùm

5 Bán kính cổ chùm

6 Thông số chùm đồng tiêu

7 Nửa góc trường xa

Phân tích thành các thông số chùm Gauss, chúng ta có thể xác định từ phương trình cho 1/q:

2 1

sin

2 1 2













=

−

=

−

=

θ π

λ

B

A D R

A D

B R

(Đo tại mặt phẳng quy chiếu ở ngõ ra)

Từ phương trình cho q, chúng ta nhận được:

C

D A z

2

−

= (nằm bên trái mắt phẳng quy chiếu)

2 1

0

0 0

2 0 0

2 1 0

sin

sin sin











 −

=

=

−

=

=











 −

=

θ π

λ

ω πω λ

θ λ

πω π

θ λ ω

C z

C z

C

Hệ hoạt động tốt khi số Fresnel Nhận xét mô hình Rất yếu nếu số Fresnel không

lớn và thừa số đủ lớn được giữ ở giá trị nhỏ.

3 Lý thuyết Sylvester

Nếu M là một ma trận đơn modun với trị riêng e±iθ, để tính lũy thừa n của nó, ta có thể sử dụng công thức Sylvester:

( ) 















−

−

− +

=













=

θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ

sin

1 sin sin

sin

sin sin

sin 1

sin

n n

D n

C

n B n

D n

D C

B A M

n n

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Problem 6 trang 175

Một tia laser chuẩn trực đường kính 2cm được hội tụ bởi thấu kính phẳng – lồi có độ

tụ là 10diop, độ dày 1cm và có chiết suất 1.5 Sử dụng quang gần trục, hãy xác định vị trí của những ảnh hội tụ nằm trong thấu kính tạo bởi sự phản xạ bên trong bề mặt thấu kính

Giải

R1, tia sáng lại bị phản xạ tới mặt R2, quá trình phản xạ và khúc xạ cứ tiếp tục diễn ra bên trong thấu kính

Hai loại ma trận truyền tia được sử dụng trong bài:

• Ma trận truyền qua: T =01 L1/n

















−

−

= 21 1 10

r

n n R

• Ma trận phản xạ: R'=−1P 10

r

n n

D=− 2− 1

: độ tụ của gương; r: bán kính cong của gương;

r

n

P=−2 Quy ước: Gương lồi (r > 0, P < 0); gương lõm (r < 0, P > 0)

Nếu không xét đến sự phản xạ bên trong thấu kính thì ma trận truyền tia tổng hợp có dạng:

M = R2.T.R1

Nếu xét đến sự phản xạ bên trong thấu kính thì ma trận truyền tia tổng hợp có dạng:

M = Mn = R2.(T.R1’.T.R2’)n.T.R1

Trong đó:

R1 là ma trận khúc xạ tại mặt phân cách cong của thấu kính

R1’là ma trận phản xạ tại mặt phân cách cong của thấu kính

R2 là ma trận khúc xạ tại mặt phân cách phẳng của thấu kính

R2’là ma trận phản xạ tại mặt phân cách phẳng của thấu kính

T là ma trận truyền qua

Biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa tia tới và tia ló:

























=













0

1

D C

B A V

y

i

i

(Với i = 0,1,2,3, )

Đặt

i

i i

V

y

R =

• Nếu –L/n ≤ Ri ≤ L/n: chùm tia cho ảnh hội tụ

• Nếu Ri < –L/n hay Ri > L/n: chùm tia không cho ảnh hội tụ

Sau đây là phần lập trình cho bài toán thuận:

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

% Ho ten hoc vien: Phan Trung Vinh

% ********************************************************************************

%

% BAI LAP TRINH 4 - PROBLEM 6 TRANG 175 - BAI TOAN THUAN

clc

clear all

%

% ********************************************************************************

% BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET

n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat: ');

n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai: ');

d=input('Nhap vao duong kinh chum laser (cm): ');

D1=input('Nhap vao do tu cua mat thu nhat (diop)(Mat phan xa loi:P<0; Mat phan xa lom:D>0): ');

r1=-(-(n2-n1)/D1); % don vi m

r1=r1*100; % don vi cm

D2=input('Nhap vao do tu cua mat thu hai (diop)(Mat phan xa loi:D<0; Mat phan xa lom:D>0): ');

r2=-(-(n1-n2)/D2); % don vi m

r2=r2*100; % don vi cm

L=input('Nhap vao khoang cach giua 2 mat phan cach (cm): ');

n=input('Nhap vao so lan phan xa ben trong thau kinh: ');

%

% ********************************************************************************

% BUOC 2: VIET BIEU THUC MA TRAN TOI, MA TRAN TRUYEN QUA, MA TRAN PHAN XA, MA TRAN KHUC XA

M0=[d/2;0]; % Ma tran tia toi

T=[1 L/n2;0 1]; % Ma tran truyen qua ben trong thau kinh

R1=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu nhat

R1phet=[1 0;-2*n2/r1 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu nhat

R2=[1 0;-(n1-n2)/r2 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu hai

R2phet=[1 0;-2*n2/r2 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu hai

M=R2*(T*R1phet*T*R2phet)^n*T*R1; % Ma tran truyen tia tong hop

Mi=M*M0;

%

% ********************************************************************************

% BUOC 3: XAC DINH VI TRI CUA ANH

disp('Vi tri cua anh sau n lan phan xa:')

Ri=Mi(1)/Mi(2)

Kết quả thu được:

Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat: 1

Nhap vao chiet suat moi truong thu hai: 1.5

Nhap vao duong kinh chum laser (cm): 2

Nhap vao do tu cua mat thu nhat (diop)(Mat phan xa loi:P<0; Mat phan xa lom:P>0): 10 Nhap vao do tu cua mat thu hai (diop)(Mat phan xa loi:P<0; Mat phan xa lom:P>0): 0

Nhap vao khoang cach giua 2 mat phan cach (cm): 1

Nhap vao so lan phan xa ben trong thau kinh: 3

Vi tri cua anh sau n lan phan xa:

Ri =

6.0244

Bài toán nghịch:

• Nhập vào các giá trị: n1, n2, P1, P2, r1, r2, D, L, nmax

• Xuất ra số lần phản xạ n

• Phương pháp giải:

+ Xây dựng các ma trận truyền qua, khúc xạ, phản xạ

+ Xây dựng ma trận tổng hợp

+ Sử dụng lý thuyết Sylvester để tính ma trận Mn

+ Tính số lần phản xạ n

Sau đây là phần lập trình cho bài toán nghịch:

% ********************************************************************************

% Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien

% Bo mon Vat ly Ung dung

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

% Ho ten hoc vien: Phan Trung Vinh

% ********************************************************************************

%

% BAI LAP TRINH 4 - PROBLEM 6 TRANG 175 - BAI TOAN NGHICH

clc

clear all

syms n % Khai bao bien su dung la so lan phan xa n

%

% ********************************************************************************

% BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET

n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat: ');

n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai: ');

d=input('Nhap vao duong kinh chum laser (cm): ');

D1=input('Nhap vao do tu cua mat thu nhat (diop)(Mat phan xa loi:P<0; Mat phan xa lom:D>0): ');

r1=-(-(n2-n1)/D1); % don vi m

r1=r1*100; % don vi cm

D2=input('Nhap vao do tu cua mat thu hai (diop)(Mat phan xa loi:D<0; Mat phan xa lom:D>0): ');

r2=-(-(n1-n2)/D2); % don vi m

nmax=input('Nhap vao so lan phan xa toi da ben trong thau kinh: ');

lim=L/nmax;

Ri0=input('Nhap vap vi tri cua anh: ');

%

% ********************************************************************************

% BUOC 2: VIET BIEU THUC MA TRAN TOI, MA TRAN TRUYEN QUA, MA TRAN PHAN XA, MA TRAN KHUC XA

M0=[d/2;0]; % Ma tran tia toi

T=[1 L/n2;0 1]; % Ma tran truyen qua ben trong thau kinh

R1=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu nhat

R1phet=[1 0;-2*n2/r1 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu nhat

R2=[1 0;-(n1-n2)/r2 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu hai

R2phet=[1 0;-2*n2/r2 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu hai

Mo=T*R1phet*T*R2phet;

% Ly thuyet Sylvester

t=acos((Mo(1,1)+Mo(2,2))/2);

A=(sin((n+1)*t)-Mo(2,2)*sin(n*t))/sin(t);

B=(Mo(1,2)*sin(n*t))/sin(t);

C=(Mo(2,1)*sin(n*t))/sin(t);

D=(Mo(2,2)*sin(n*t)-sin((n-1)*t))/sin(t);

M_mu_n=[A B;C D];

M=R2*M_mu_n*T*R1; % Ma tran truyen tia tong hop

Mi=M*M0;

%

% ********************************************************************************

% BUOC 3: XAC DINH SO LAN PHAN XA n

for n=1:nmax

Ri=subs(Mi(1)/Mi(2));

hieuR=Ri-Ri0;

if (hieuR>-lim)&(hieuR<lim)

disp('So lan phan xa ben trong thau kinh la:')

n

break

else

if n==nmax

disp('Khong xac dinh duoc so lan phan xa ben trong thau kinh')