Chứng minh bằng quy nạp toán học.
Trang 1TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11
Năm học 2010-2011
Câu1(4.0 đ)
1(2.0 đ) ĐK sin x cos x 0.> Khi đó pt trở thành
sinx cos x 2 sin x cos x+ = (1) 0,5 đ
ĐK sinx cos x 0+ ≥ dẫn tới
sinx 0;cos x 0.> > 0,5 đ Khi đó
(1) sin 2x 1 x k
4
π
⇔ = ⇔ = + π 0.5 đ
KL nghiệm
x 2m
4
π
= + π 0,5 đ
2(2.0 đ).ĐK sin 3x 0
4
π
+ ≥
(1) 0.5 đ
Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt:
sin 2x 1
2
=
x k ;
12
π
⇔ = + π x 5 k
12
π
= + π 0,5 đ Trong khoảng (−π π; ) ta nhận các giá trị
x
12
π
= ; x 11 ;
12
π
= − x 5
12
π
= ; x 7
12
π
= − 0.5 đ Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là:
x
12
π
= ; x 7
12
π
= − 0.5 đ Câu II(4.0 đ)
1(2,0 đ)
TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0
Số các số tìm được là 2 3
4 5
5.C C 5! 36000= số 1,0 đ TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0
Số các số tìm được là 3 3
4 5
C C 6! 28800= số 0.5 đ Đ/ số 36000 28800 64800.+ = 0.5 đ 2(2.0 đ)
Dễ thấy ( ) (5 )2011 ( )2016
1 x+ 1 x+ = +1 x ; và ( )5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
M= +1 x =C +C x +C x +C x +C x +C x
Trang 2( )2011 0 1 1 k k 2011 2011
N= +1 x =C +C x + + C x + + C x 0.5 đ ( )2016 0 1 k k 2016 2016
P= +1 x =C +C x C+ + x + + C x 0.5 đ
Ta có hệ số của x trong P là k Ck2016
Vì P M.N= , mà số hạng chứa x trong M.N là 0.5 đ k
0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5
C C x +C xC − x − +C x C − x − +C x C − x − +C x C − x − +C x C − x − nên C C50 k2011+C C15 k 12011− + + C C55 k 52011− =Ck2016 0.5 đ
Câu III(4.0 điểm)
1(2.0 đ)
a Chứng minh bằng quy nạp toán học 1.0 đ
b Nhận xét 0 n 1 , n 1
2 + 4
< ≤ ∀ ≥ và hàm số tanx đồng biến trên 0;
4
π
0.5 đ
nên dãy số ( )u giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0n =
và bị chặn trên bởi số tan 1
4
π = 0.5 đ 2(2.0 đ)
Gọi q là công bội của cấp số nhân 2 3
x x q;x x q ;x x q
⇒ = = = 0.5 đ Theo định lý Viet, ta có hệ sau :
1
1 2
1 2
2
x 1 q 3
x x 3
x x a
x x a
x x 12 x q 1 q 12
+ =
+ =
+ =
0.5 đ
Giải hpt, ta được :
)q 2;a 2;b 32.+ = = = 0.5 đ )q+ = −2;a = −18;b= −288. 0.5 đ Câu IV(4,0 điểm)
1(2.0 đ) Đặt y=n1 ax,+ khi đó từ x→ ⇒ →0 y 1. 0.5 đ Vậy
n
1.5 đ
2(2.0 đ)
+) Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞;2 ; 2;5 ; 5;) ( ) ( +∞) 0.5 đ +) Hàm số liên tục tại x 2= 0.5 đ +) Hàm số liên tục tại x 5= khi và chỉ khi a 3.= 0.5 đ +) KL a 3= 0.5 đ Câu V(4.0 điểm)
1(2.0 đ)
+) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành 0.5 đ
Trang 3+) MNPQ là hình vuông =
MN NP
+) Lúc đó SMNPQ = 1 2
4b 0.5 đ
2(2.0 điểm)
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có:
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur uuur uuur
4
1.0 đ
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ≡G 0.5 đ Vậy: 2 + 2 + 2 + 2