Thi TN Tich phan(2002-2009)

Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh5... Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh17... Đinh Viết Vinh THPT Tánh LinhChú ý... ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY... Bài 2 : Tính thể tích của

Trang 1

Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TÓM TẮT GIÁO KHOA

Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số) ax + C

xα

1

xα C

α

+

+ +

(ax b+ )α

a

1

α

+

1

x

a

ln

x

a+ x

a

2

1

cos x

tgx + C

2

1 cos (ax b+ ) 1 (tg ax b C)

2

1

sin x

-cotgx + C

2

1 sin (ax b+ ) 1 cot (g ax b C)

a

'( )

( )

u x

ln ( )u x +C

1

a x a− + +

1

x +a

ln x+ x +a +C

II BÀI TẬP:

1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1 f(x) = x2 – 3x +

x

1

ĐS F(x) = x − x +lnx+C

2

3 3

2 3

2 f(x) = 2 42 3

x

x + ĐS F(x) =

C x

x − 3+

3

2 3

f(x) = 21

x

x−

ĐS F(x) = lnx +

x

1 + C

4 f(x) = ( 2 21)2

x

x − ĐS F(x) =

C x x

x −2 +1+

3

Trang 2

5 f(x) = x +3 x+4 x ĐS F(x) = x + x + x +C

5

4 4

3 3

5 3

4 2 3

6 f(x) = 1 32

x

x − ĐS F(x) = 2 x −33 x2 +C

7 f(x) =

x

x 1)2

( − ĐS F(x) =

C x x

x−4 +ln +

8 f(x) = 3 1

x

x−

ĐS F(x) = x − x3 +C

2 3

5

2

3 5

3

9 f(x) =

2 sin

2 2 x

ĐS F(x) = x – sinx + C

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+ sin2x+C

4

1 2

1

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13 f(x) =

x

2 cos

sin

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) =

x x

x

2

2 cos sin

2 cos

ĐS F(x) = - cotx – tanx + C

15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos3x+C

3

1

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos5x−cosx+C

5 1

17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e2x −e x +C

2

1

18 f(x) = ex(2 + )

cos2 x

e−x

ĐS F(x) = 2ex + tanx + C

19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C

a

a x x

+ +

3 ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1+C

3 1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng

1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3 2

3

+

− x

x

3 f’(x) = 4 x−x và f(4) = 0 ĐS f(x) =

3

40 2 3

−

− x

x x

4 f’(x) = x - 12 +2

x và f(1) = 2 ĐS f(x) = 2

3 2

1 2

2

− +

x

5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

6 f’(x) = ax + 2 , f'(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2

x

b

ĐS f(x) =

2

5 1 2

2

+ +

x x Bài 3: Ch ng minh r ng h m s : ứ ằ à ố F(x) = ln x+ x2+k (k là hằng số khác 0) là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = 21

x +k trên các khoảng mà chúng cùng xác định Áp dụng: tính

3 2

dx

x +

∫

2

Trang 3

Bài 4: Tính đạo hàm hàm số u(x) = x + x2+1 Suy ra nguyên hàm các hàm số sau :

2 2

1 1

x

+

1

x + x+ x +

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)⇒dt =u'(x)dx

 I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx=∫ f(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ∫(5x−1)dx 2 ∫(3−2x)5

dx

3 ∫ 5−2x dx 4 ∫ 2x dx−1

5 ∫(2x2 +1)7xdx 6 ∫(x3+5)4x2dx 7 x2 1.xdx

∫ + 8 ∫ + dx

x

5

2

9 ∫ + dx

x

3

2

5

3

10 ∫ x(1+ x)2

dx

11 dx

x

∫ln3 12 ∫x e x2 + 1dx

13 ∫sin4 x cos xdx

14 ∫ dx

x

5

cos

sin

15 ∫cotgxdx 16 ∫costgxdx2 x

17 ∫sindx x 18 ∫cosdx x 19 ∫tgxdx 20 ∫ dx

x

e x

21 ∫ x−3

x

e

dx

e

22 ∫ dx

x

e tgx

2

cos 23 ∫ 1−x 2 dx 24 ∫ 4 x− 2

dx

25 ∫x2 1−x2.dx 26 ∫1 x+ 2

dx

27 ∫ − 2

2

1 x

dx x

28 ∫ x2 +x+1

dx

29 ∫cos3 xsin2 xdx 30 ∫x x−1.dx 31 ∫e x +1

dx

32 x3 x2 1.dx

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx

Hay

∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ∫x sin xdx 2 ∫x cos xdx 3 ∫(x2 +5)sinxdx

4∫(x2 +2x+3)cosxdx

5 ∫xsin2xdx 6 ∫xcos2xdx 7 ∫x.e x dx 8 ∫lnxdx

9 ∫x ln xdx 10 ∫ln2 x dx 11 ∫lnxdx x 12 ∫e x dx

13 ∫ dx

x

2

cos 14 ∫xtg2xdx

15 ∫sin x dx 16 ∫ln(x2 +1)dx

Trang 4

17 ∫e x.cosxdx 18 ∫x3e x2dx 19 ∫xln(1+x2)dx

20 ∫2x xdx

21 ∫x lg xdx 22 ∫2xln(1+x)dx 23 ∫ + dx

x

2

) 1 ln(

24 ∫x2cos2xdx

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

Thì: b ( ) [ ( )]b a ( ) ( )

a

f x dx= F x =F b F a−

2 Các tính chất của tích phân:

 Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ∫a ( ) =0

a

dx x f

 Tính chất 2 : b ( ) a ( )

f x dx= − f x dx

 Tính chất 3 : Nếu f(x) = c khơng đổi trên [ ]a b thì: ; b ( )

a cdx c b a= −

∫

 Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ( ) 0; f x ≥ thì b ( ) 0

a

f x dx≥

∫

 Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b và ; f x( )≥g x( ) x a;b∀ ∈[ ] thì

b ( ) b ( )

f x dx≥ g x dx

 Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ; m f x≤ ( )≤M ( m,M là hai hằng số) thì

( ) b ( ) ( )

a

m b a− ≤∫ f x dx M b a≤ −

 Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b thì;

b[ ( ) ( )] b ( ) b ( )

f x ±g x dx= f x dx± g x dx

 Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và k là một hằng số thì;

b ( ) ( )b

k f x dx k f x dx=

 Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và c là một hằng số thì;

b ( ) c ( ) b ( )

f x dx= f x dx+ f x dx

 Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên [ ]a b cho trước khơng phụ thuộc vào biến số , ; nghĩa là : b ( ) b ( ) b ( )

f x dx= f t dt= f u du=

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1/ ∫

−

+

1

2

( x x dx 2/ ∫2 − −

0

3

2 2

( x x dx 3/ ∫

−

2 2

) 3 (x dx

x 4/ ∫

−

4 3

2 4) (x dx

4

Trang 5

x









2

1

3

2

1

6/ ∫2 −

1 3

dx x

x x

7/ ∫e

e

x dx

1

8/ 16∫

1

.dx x

x

x x

e

2

1

7 5

2

x x

∫8 − 

1

4 11/ ∫3 +−

2

dx x

x

12/ dx

x









+

−

1 0

3 1

2 2

13/ ∫

−











−

0

1

1 2 1

2

dx x x

x









+

−

2 0

1 2

1 3

15/ dx

x

x x

∫1 ++ +

0

2

3

3 2

x

∫

− − − + 

+

0

1

2

1 2 1

1

x

x x

∫ − + 

+

− +

1 0

2

1 1

2 2

18/ ∫1 + +

0

x dx

19/ ∫

−

2

3 cos

5

cos

π

xdx

x 20/ ∫

−

2

2 sin 7 sin π

π

xdx

x 21/ ∫4

0

cos 2 sin

π

xdx

x

22/ ∫4

0

2

sin

π

xdx 23/ ∫e x dx

− +

0 1

3 2

24/ ∫1 −

0

dx

e x

Bài 2:

1)

3

2

3

x 1dx

−

∫ 2)

4 2 1

x 3x 2dx

−

∫ 3)

5 3

( x 2 x 2 )dx

−

+ − −

2 2 2 1

2

1

x

∫ 5)

3

x

0

2 −4dx

∫ 6)

0

1 cos2xdx

π

+

2 0

1 sin xdx

π

+

∫ 8) ∫2 x −x dx

0

2

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1:Tính I =

b

' a

f[u(x)].u (x)dx

∫ bằng cách đặt t = u(x)

) (

) ( )

( ' )

a u

b a

dt t f dx x u x u f

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t =u(x)⇒dt =u'(x)dx

Bước 2: Đổi cận :

) (

a u t

b u t a x

b x

=

⇒

=

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

=∫ [ ] = (∫)

) (

) ( )

( ' )

a u

b a

dt t f dx x u x u f

Trang 6

Chú ý.

1 ∫ f(sinx)cosxdx

2 ∫ f(cosx).sinxdx

3.∫ f(e x)e x dx

x x

f(ln ).1

t = sinx

t = cosx

t = ex

t = lnx

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1)

1

3

0

x dx

(2x 1)+

∫ 2)

1 0

x dx 2x 1+

∫ 3)

1 0

x 1 xdx−

∫ 4)

1 2 0

4x 11 dx

x 5x 6

+

5)

1

2

0

2x 5 dx

x 4x 4

−

∫ 6)

2 0

x +2x 1+

∫ 7)6 6 6

0

(sin x cos x)dx

π

+

0

4sin x dx

1 cosx

π

+

9)4

2

0

1 sin 2xdx

cos x

π

+

∫ 10) 2 4

0

cos 2xdx

π

∫ 11)

2

6

1 sin 2x cos2xdx sin x cosx

π

+

1 x 0

1 dx

e 1+

13) 4(cos x sin x)dx

0

4 4

π

14)

∫ +

4

01 2sin2

2 cos

π

dx x

x 15)

2

3 sin

π

dx x

x

16)

∫ −

2

05 2sin

cos

π

dx x

x 17) ∫

+

0 2

2 2

x x

x

18) ∫ + +

−

1

dx

Bài 2: Tính các tích phân sau:

1) 2 3 2

0

cos xsin xdx

π

0

cos xdx

π

2 0

sin 4x dx

1 cos x

π

+

∫ 4)

1

0

x 1 x dx−

∫

0

sin 2x(1 sin x) dx

π

+

4 0

1 dx cos x

π

∫ 7)

e 1

1 ln xdx x

+

∫ 8) 4

0

1 dx cosx

π

∫

9)

1

1 ln xdx

x

+

∫ 10)

1

0

x (1 x ) dx−

∫ 11) 6

2 0

6 5sin x sin x

π

0

tg x dx cos2x

∫

13) 4

0

cos sin

3 sin2

x

π

+

∫ 14) ∫

+

2

2 sin

π

dx x x

x 15) ln∫5 + − −

3

ln e x 2e x 3

dx

16)

∫ +

2

0(2 sin )2

2

sin

π

dx x

x 17) ∫3

4

2 sin

) ln(

π

x

tgx

18) ∫ −4

0

8 ) 1

(

π

dx x

tg 19)∫

+

−

2

cos sin

π

x

x x

20) ∫

+

2

sin 2

sin

π

dx x

x

x 21)

2

cos 2 sin

π

dx x

x

x 22)

2 0

(

π

xdx x

23) ∫

−

+

2

x

24)∫e + dx

x

x x

1

ln ln 3

1 25)

∫ +−

4 0

2

2 sin 1

sin 2 1

π

dx x x

6

Trang 7

2) DẠNG 2: Tính I =

b a

f(x)dx

∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f

I b

a

) ( ' ) ( )

(

Bước 1: Đặt x=ϕ(t)⇒dx=ϕ'(t)dt

Bước 2: Đổi cận :

α

β

=

⇒

=

t

t a x

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

=∫ =β∫ [ ]

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f

I b

a

) ( ' ) ( )

( (tiếp tục tính tích phân mới)

 Chú ý:

2

a −

2

x −

2

a +

x a

−

+

hoặc

x a

+

−

) )(

(x−a b−x

x = asint với −π/2≤t≤π /2

x =

x

a

sin với t∈[−π/2;π /2]\{ }

x = atgt với −π/2<t<π /2

x = acos2t

x = a+(b-a)sin2t

Tính các tích phân sau:

1)

1

2

0

1 x dx−

∫ 2)

1 2 0

1 dx

1 x+

∫ 3)

1

2 0

1 dx

4 x−

1 2 0

1 dx

x − +x 1

∫

5)

1

0

x + +x 1

∫ 6) 2

0

1

1 cosx sinx dx

π

2 2 2

2 0

1 x−

2

1

x 4 x dx−

∫

9)

2

3

2

1 dx

x x 1−

2 1

9 3x dx x

+

1

5 0

1 (1 x dx)

x

− +

∫ 12)

2 2 2 3

1

1dx

x x −

∫

13) 2

0

cos

7 cos2

x

π

+

6 0

1

1 x dx x

+ +

0

cos

1 cos

x dx x

π

+

−

0

dx

17) ∫

+

1

dx

18) ∫2 −−

1

dx x

x x

19)

8 2 3

1

1dx

x x +

∫ 20)

x

+

∫ 21)

3

0

1

x +x dx

∫ 22)

ln2 x 0

1 dx

e +2

∫ 23)

7 3 3 0

1

x

+ +

∫ 24)

2

0

1

x x + dx

∫

25) ∫

+

3

2

dx

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần:

Trang 8

∫b =[ ] −∫

a

b a

b

x v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

Hay: ∫b =[ ] −∫

a

b a

b

v u

Bước 1: Đặt

) (

) ( ' )

( '

) (

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u

=

⇒

=

a

b a

b

v u

Bước 3: Tính [ ]b

a

v

u. và ∫b

a

vdu

 Chú ý:

∫b

a

xdx x

P( ).sin hoặc ∫b

a

xdx x

P( ).cos

∫b

a

x dx

e

x

P ).(

∫b

a

xdx

x

P( ).ln

∫b

a

e sin hoặc ∫b

a

e cos

Đặt u = P(x) Đặt u = P(x)

Đặt u = lnx Đặt u = sinx hoặc u = cosx

Tính các tích phân sau

1) ∫1

0

3

.e dx

x x

2) ∫2 −

0

cos ) 1 (

π

xdx

x 3) ∫6 −

0

3 sin ) 2 (

π

xdx

x 4) ∫2

0

2 sin

π

xdx

x

5) ∫e x xdx

1

ln 6) ∫e −x x dx

1

2).ln 1

( 7) ∫3

1

ln

4x x dx 8) ∫1 +

0

2)

3 ln(

x

9) ∫2 +

1

2 1)

(x e x dx 10) ∫π

0

cos x dx

x 11) ∫2

0

2.cos

π

dx x

x 12) ∫2 +

0

2 2 ).sin (

π

dx x x x

13)

2

5

1

ln xdx

x

0

x cos xdx

π

1 x 0

e sin xdx

∫ 16)

2

0

sin xdx

π

∫ 17)

e

2

1

x ln xdx

∫ 18) 3

2 0

x sin xdx cos x

π

+

0

xsin x cos xdx

π

0

x(2cos x 1)dx

π

−

21)

2

1

ln(1 x)dx

x

+

∫ 22)

1

2 2x 0

(x 1) e dx+

e

2 1

(x ln x) dx

∫ 24) 2

0

cosx.ln(1 cosx)dx

π

+

8

Trang 9

C

1

ln

( 1)

e

x dx

x+

∫ 26)

1 2 0

xtg xdx

∫ 27) ∫ −1

0

2

) 2 (x e x dx

28) ∫1 +

0

2) 1 ln( x dx

x

29) ∫e dx

x

1

ln

30) ∫ +2

0

3 )sin cos (

π

xdx x

0

) 1 ln(

) 7 2 ( x x dx 32) ∫3 −

2

ln(x x dx

Công thức:

=∫b[ − ]

a

dx x g x f

S ( ) ( ) =b∫[ − ]

a

dy y g y f

Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1):

2

x

4 x y

4 2







 =



2) (H2) :

2

y x 3





= +

3x 1 y

x 1

y 0

x 0

− −

 =

 =



 =





4) (H4):

2 2

y x

 =



 = −

y x

y 2 x

 =





= −

2

x y 3 0

 + − =

 + − =



7) (H7):

ln x y

2 x

y 0

x e

x 1

 =



 =



 =



=



8) (H8) :

2 2

y x 2x

 = −



y x

 = + −





 =



10) (H10):

2

y 2y x 0

x y 0

 + =

 11) 









−

=

) (

2 : ) (

: ) (

Ox

x y

d

x y C

12)











=

∆

=

1 : ) (

2 : ) (

: ) (

x

y d

e y

13)







−

=

+

=

1

1 2

2

x

y

x

y

14)









= +

−

=

0 3

4

2

y x

x y

15)











=

− +

=

0

0 2

y

y x

x y

16











+

=

2

1

2

x

y

x

y

17







=

3 , 0 ,

2

y y x y

x y

18









=

e x e x

y x y

, 1

0 ,

ln

IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.











=

∆

=

∆

=

b x

a

x

x g y

C

x f y

C

H

:

) ( :

)

(

) ( :

)

(

:

)

(

2

1

2

1











=

∆

=

∆

=

b y

a y

y g x C

y f x C H

: :

) ( : ) (

) ( : ) ( : ) (

2 1 2 1

x

y

)

(H

) ( :

) (C1 y= f x

) ( : ) (C2 y = g x

a

O

x

y

)

(H a

b

) ( : ) (C1 x= f y

) ( : ) (C2 x= g y

a

y=

b

y=

O

Trang 10

Đinh Viết Vinh THPT Tỏnh Linh

Cụng thức:

V b[f x ] dx

a

2

) (

∫

=π V b[f y ] dy

a

2

) (

∫

=π

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

1) y=x2 −4x+3 ;y=3 (ĐS: 8(đvdt)) 2) y=x2 −1 ;y = x +5 (ĐS: (

3

73

đvdt))

3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0 (ĐS: (

6

5

đvdt)) 4) y=x2 ; y=

x y

; 8

2

= (ĐS: 8ln3)

5) y=x2 ; y=

x y

; 27

2

= (ĐS: 27ln3) 6) y=x2 ; x=y2 7) y=ex ; y=e-x ;x=1

Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi các đờng:

1 y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (ĐS : 16 )π 2 y=x2 ; x=y2 quanh Ox

3 y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (ĐS : )

5

16π

4 y=-x2+4x :

a Quanh Ox (ĐS : )

15

512π

b Quanh Oy (ĐS : )

3

128π

5 y=(x-2)2 ;y=4

a Quanh Ox (ĐS : )

5

256π

b Quanh Oy (ĐS : )

3

128π

6 y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2

a) Quanh Ox (ĐS : )

15

206π

b) Quanh Oy (ĐS : 12 )π

Bài tập tự luyện

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Oy

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh:

a) Trục Ox b) Trục Oy

10

) ( :

) (C y= f x

b

a

x

y

O

b

a

x

y

0

=

x

O

) ( : ) (C x= f y

b

y=

a

y=

Trang 11

Đinh Viết Vinh THPT Tỏnh Linh

x

+

1

x

e

x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2

Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e

Bài trong cỏc đề thi :

1 (ĐH C.Đoàn 99- 00) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

2

2;

8

x

y x y = = và 8

y x

=

2 (HV Ngân Hàng TP HCM 1999 - 2000)

a Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đờng cong (C): y x = 1 + x2 , trục Ox; đờng thẳng x = 1

b Cho (H) là miền kín giới hạn bởi đờng cong (L): y x = ln(1 + x3), trục Ox và đờng thẳng x = 1 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho (H) quay quanh trục Ox

3 (ĐH Huế A, B, V CPB 99- 00)

Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đờng: ( )5

1 ; x; 1

y = + x y e x = =

4 (ĐH Huế A, B, V CB 99- 00)

Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đờng: ln

1; ; 0;

2

x

5 (ĐH Nông Nghiệp I A99- 00)

a (CPB) Cho D là miền phẳng bị giới hạn bởi các đờng cong: 1 2

1

y

x

= + và

2 2

x

y =

- Tính diện tích miền D

- Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox

b (CB) Cho miền phẳng D bị giới hạn bởi các đờng: tan ; 3 0; ;

y = x y = x = − π x = π

- Tính diện tích miền D

- Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox

6 (ĐH Nông Nghiệp I B99- 00)

(Phần chung) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đờng:y = f x y ( ); = 0; x = 0; x = 2.

(Phần dành cho chơng trình CPB) Cho hình D giới hạn bởi các đờng: sin cos ; 0; 0;

x

Hãy tính thể tích của vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi cho D quay quanh trục Ox

7 (ĐH QG Hà Nội B99- 00)

Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn bởi các parabol:

y x = 2 − 4 x + 6; y = − − x2 2 x + 6

8 (ĐHSP Hà Nội II 99- 00)

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,48 MB