Một số lớp trong phương trình MongeAmp è re trên miền siêu lồi và đa tạp compact Kahler

Các tác giảcũng chỉ ra rằng lớp các hàm ω− đa điều hòa dưới có thể định nghĩa địa phươngtoán tử Monge - Ampère nằm trong lớp các hàm có thể định nghĩa toàn thểtoán tử Monge - Ampère.Tron

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Cho X là đa tạp compact K¨ahler phức n chiều với dạng cơ bản ω = ωX.Gần đây, năm 2008 các tác giả D Coman, V Guedj, A Zeriahi đã giới thiệulớp hàm DMA(X, ω) mà trên đó chúng ta có thể định nghĩa toán tử Monge -Ampère (ddcϕ + ω)n một cách toàn thể và lớp hàm DMAloc(X, ω) mà trên đótoán tử Monge - Ampère (ddcϕ + ω)n có thể xác định địa phương Các tác giảcũng chỉ ra rằng lớp các hàm ω− đa điều hòa dưới có thể định nghĩa địa phươngtoán tử Monge - Ampère nằm trong lớp các hàm có thể định nghĩa toàn thểtoán tử Monge - Ampère.Trong chương 1 chúng tôi là sẽ chỉ ra một lớp hàmω−psh thuộc lớp mà toán tử Monge-Ampère có thể định nghĩa toàn thể nhưngkhông thuộc lớp mà toán tử Monge-Ampère có thể định nghĩa địa phương Sửdụng kết quả thu được chúng tôi nghiên cứu bài toán dưới nghiệm trong lớpDMAloc(CPn, ω)

Trong chương 2 chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa lớp hàm ω đa điều hòa dưới

Ep(X, ω), p > 0 và DMAloc(X, ω) trên đa tạp compact K¨ahler X Đồng thời,chúng tôi cũng nghiên cứu mối quan hệ giữa lớp DMA∩L(Cn) và DMA(CPn, ω)cũng như mối quan hệ giữa lớp \DMA ∩ L(Cn) và \DMA(CPn, ω)

Năm 2010 tác giả R Czyz và tổng quát hơn năm 2011 các tác giả Lê Mậu Hải,Phạm Hoàng Hiệp đã giải phương trình dạng Monge – Ampère :

trên miền siêu lồi khi độ đo µ triệt tiêu trên tập đa cực Việc giải phương trìnhMonge-Ampère cổ điển (1) khi độ đo µ không triệt tiêu trên tập đa cực đượcPhạm Hoàng Hiệp và các cộng sự giải vào năm 2009 Tiếp tục hướng nghiêncứu về phương trình Monge – Ampère, trong chương 3 chúng tôi nghiên cứu sự

tồn tại nghiệm của phương trình dạng Monge-Ampère phức (phương trình 2)trong trường hợp độ đo µ không triệt tiêu trên tập đa cực Đồng thời, chúng tôicũng giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω) Hơn nữa, chúng tôi đưa ra một ví

dụ về tính không giải được của phương trình Monge - Ampère với độ đo khônghữu hạn trên đa đĩa

2 Mục đích đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu phương trình Monge-Ampère trên đatạp compact K¨ahler và trên miền siêu lồi :

• Đưa ra điều kiện đủ để cho hàm thuộc lớp thuộc lớp E(CPn, ω)\DMAloc(CPn, ω)

• Nghiên cứu bài toán dưới nghiệm trên lớp DMAloc(CPn, ω)

• Nghiên cứu các lớp hàm ω-đa điều hòa dưới trên đa tạp compact K¨ahler

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng Monge-Ampère

µ = −χ(u)(ddcu)ntrong lớp Eχ(Ω) khi độ đo µ không triệt tiêu trên tập đa cực

• Giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω)

• Nghiên cứu về tính giải được của phương trình dạng Monge-Ampère với

độ đo không hữu hạn trên đa đĩa

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật truyền thống củaGiải tích phức nhiều biến

• Chương 2 Các lớp hàm ω-đa điều hòa dưới trên đa tạp compact K¨ahler.

• Chương 3 Phương trình dạng Monge - Ampère trong lớp năng lượng phức

có trọng

5 Những đóng góp của luận án

• Đã đưa ra điều kiện đủ để một hàm thuộc lớp hàm ω−psh có thể địnhnghĩa toàn thể của toán tử Monge-Ampère không thuộc lớp hàm có thểđịnh nghĩa địa phương của toán tử Monge-Ampère trong không gian xạảnh phức n chiều

• Chỉ ra rằng tồn tại dưới nghiệm nhưng không tồn tại nghiệm của phươngtrình Monge-Ampère trên lớp DMAloc(CPn, ω)

• Đã đưa ra mối quan hệ giữa lớp DMA ∩ L(Cn) và DMA(CPn, ω) cũng nhưmối quan hệ giữa lớp \DMA ∩ L(Cn) và \DMA(CPn, ω)

• Giải phương trình dạng Monge-Ampère phức:

µ = −χ(u)(ddcu)ntrên lớp E (Ω) nếu tồn tại dưới nghiệm

µ 6 −χ(ω)(ddcω)n

với ω ∈ E (Ω).

• Giải phương trình dạng Monge-Ampère phức

µ = −χ(u)(ddcu)ntrên lớp E (Ω) nếu tồn tại dưới nghiệm địa phương

• Giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω)

• Đưa ra một ví dụ về tính không giải được của phương trình Monge Ampère với độ đo không hữu hạn trên đa đĩa

1.2.3 Dung lượng của tập Borel

1.2.4 Quan hệ giữa lớp DMA(X, ω) và lớp DMAloc(X, ω)

Định nghĩa 1.2.1 DMA(X, ω) là tập các hàm ϕ ∈ PSH(X, ω) sao cho tồn tại

độ đo Radon dương M A(ϕ) thỏa mãn với mọi dãy {ϕj} các hàm ω-đa điều hòadưới bị chặn giảm tới ϕ thì (ω + ddcϕj)n hội tụ yếu đến độ đo M A(ϕ) Khi đó,chúng ta kí hiệu

ωϕn = (ω + ddcϕ)n = M A(ϕ)

Định nghĩa 1.2.2 \DMA(X, ω) là tập các hàm ϕ ∈ DMA(X, ω) sao cho

5

với mọi dãy các hàm ω-psh bị chặn {ϕj} giảm tới ϕ và với mọi hàm u ∈PSH(X, ω) ∩ L∞(X, ω) ta có:

đó ρU là thế vị đa điều hòa dưới của ω trên U và

D(U ) = {ϕ ∈ PSH(U ) : ϕ − sup

DMAloc(X, ω) ⊂ \DMA(X, ω)

Từ Định lí trên ta thấy lớp các hàm ω−psh mà toán tử Monge-Ampère cóthể định nghĩa địa phương nằm trong lớp các hàm ω−psh mà toán tử Monge-Ampère có thể định nghĩa toàn thể

1.3 Các kết quả

1.3.1 Điều kiện đủ cho hàm thuộc lớp E (CPn, ω) \ DMAloc(CPn, ω)Trước tiên, chúng tôi cần một số kết quả quan trọng sau:

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử Ω là một miền siêu lồi trong Cn và u ∈ E (Ω), v ∈PSH−(Ω), α ∈ (0, 1) thỏa mãn

u > −|v|α.Khi đó u ∈ Ea(Ω) với Ea(Ω) kí hiệu tập u thuộc lớp E (Ω) mà (ddcu)n triệt tiêutrên các tập đa cực của Ω

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử Ω là miền siêu lồi trong Cn và u ∈ Ea(Ω) Khi đó, vớimọi tập compact K b Ω và t > 0 chúng ta có khẳng định sau

Cap({u < −t} ∩ K) = o(1)

tn với o(1) là vô cùng bé khi t → +∞

Như chúng ta đã biết trên hình cầu đơn vị B(0; 1) trong Cn thì ta có

−(log |z1|)n1 ∈ E(B(0, 1))./

Hệ quả sau đây của chúng tôi là một sự mở rộng kết quả trên

Hệ quả 1.3.3 Nếu α1, , αk ∈ (0, 1] thỏa mãn

1

α1 + · · · +

1

αk 6 n,với 1 6 k < n thì hàm

u(z) = max



−| log |z1||α1, , −| log |zk||αk

/

∈ E(4nr)với 0 < r < 1 và

4nr = {z ∈ Cn : |z1| < r, , |zn| < r}, ∀r > 0

Bây giờ, chúng ta xét Ω là một miền siêu lồi trong đa tạp compact K¨ahler

X Điều đó có nghĩa Ω là song chỉnh hình tới một miền siêu lồi bị chặn trong

Cn Cho µ là một độ đo Borel dương hữu hạn trên X triệt tiêu trên tập đa cực.Khi đó tồn tại hàm ϕµ ∈ E(X, ω) sao cho

µ = (ω + ddcϕµ)n.Mặt khác, chúng ta dễ thấy

ϕ|Ω+ θ 6 ϕµ,Ω

Sau đây là kết quả chính của chương 1, chúng tôi chỉ ra hàm ω−psh thuộclớp có thể định nghĩa toàn thể của toán tử Monge - Ampère nhưng không thuộclớp có thể định nghĩa địa phương của toán tử Monge - Ampère trên không gian

xạ ảnh

Định lý 1.3.5 Giả sử (CPn, ω) là một không gian xạ ảnh phức, ở đó ω là dạngFubini - Study, ϕµ ∈ E(CPn, ω) là nghiệm của phương trình Monge - Ampère

µ = (ω + ddcϕµ)nvới µ là độ đo Radon không âm triệt tiêu trên tập đa cực sao cho

µ(X) =

Z

X

ωn = 1

r) được nói trong Hệ quả 1.3.3 Nếu

ϕµ,4 n

r 6 A max(log |z1|, h(z2, , zn)) + C,với A > 1, C > 0 là những hằng số thì ta có ϕµ ∈ DMA/ loc(CPn, ω)

Hệ quả 1.3.6 Giả sử ν là một độ đo trên CPn triệt tiêu trên tập đa cực vàthỏa mãn ν(CPn) < 1 Khi đó, với mọi tập mở D b CPn tồn tại một hàm

1.3.2 Bài toán dưới nghiệm trên lớp hàm DMAloc(CPn, ω)

Nhận xét 1.3.7 Giả sử ω là một dạng Fubini-Study trên CPn Bây giờ, chúng

ta xây dựng một độ đo µ trên CPn và một hàm

ψ ∈ PSH(CPn, ω) ∩ L∞loc(CPn\{0})sao cho

µ 6 C(ddcψ + ω)nvới hằng số C > 1, độ đo (ddcψ + ω)n triệt tiêu trên tập đa cực nhưng

ϕµ ∈ DMA/ loc(CPn, ω)

Theo kết quả của J P Demailly, chúng ta biết rằng nếu

ψ ∈ PSH(CPn, ω) ∩ L∞loc(CPn\{0})

thì ta có

ψ ∈ DMAloc(CPn, ω)

Điều này chỉ ra rằng trên lớp DMAloc(CPn, ω) tồn tại dưới nghiệm nhưng khôngtồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère

Chương 2

Các lớp hàm ω-đa điều hòa dưới trên

Định nghĩa 2.1.2 \DMA ∩ L(Cn) là tập các hàm ϕ thuộc lớp DMA ∩ L(Cn)sao cho với mọi dãy ϕj thuộc lớp L+(Cn) giảm đến ϕ thì ψ(ddcϕj)n hội tụ yếuđến ψ(ddcϕ)n với mọi hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương ψ trên Cn.Định nghĩa 2.1.3 E (Cn) ∩ L(Cn) là tập các hàm ϕ thuộc lớp L(Cn) sao chovới mọi z thuộc Cn, tồn tại một lân cận U của z thỏa mãn ϕ − sup

U

ϕ thuộc lớpE(U )

11

2.3.2 Quan hệ giữa lớp DMA ∩ L(Cn) và lớp DMA(CPn, ω).

Định lý 2.3.3 Giả sử u0 ∈ DMA ∩ L(Cn) thỏa mãn

Z

Cn

(ddcu0)n = 1thì có thể định lí không đúng

y→z,y∈C n

h

u0(y) − 12 log(1 + |y|2)

inếu z ∈ CPn\ Cn

Phương trình dạng Monge - Ampère trong lớp năng lượng phức có trọng

3.3.1 Phương trình dạng Monge-Ampère trong lớp Eχ(Ω)

Mệnh đề 3.3.1 Giả sử χ : R− → R− là một hàm tăng liên tục và {uj, u} ⊂E(Ω) Khi đó, chúng ta có các khẳng định sau:

(a) Nếu uj → u theo dung lượng Cn−1 và uj > v, ∀j > 1 với v ∈ E(Ω) thì tacó

lim inf

j→∞ [−χ(uj)](ddcuj)n > −χ(u)(ddcu)n.(b) Nếu χ(−∞) > −∞, uj → u theo dung lượng Cn và uj > v, ∀j > 1 với

14

v ∈ E (Ω) thì

−χ(uj)(ddcuj)n → −χ(u)(ddcu)nyếu theo nghĩa độ đo

Tiếp theo, chúng tôi có kết quả sau mà trong trường hợp χ(t) = −1 với mọi

t < 0 chính là phần b) của Mệnh đề 4.3 trong bài báo của các tác giả NguyễnVăn Khuê và Phạm Hoàng Hiệp năm 2009: "A comparison principle for thecomplex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications, Trans

Am Math Soc., 361, 5539 - 5554."

Bổ đề 3.3.2 Giả sử χ : R− −→ R− là một hàm liên tục tăng, µ là một độ đoRadon thỏa mãn µ(P ) = 0 với mọi tập con đa cực P của Ω, hàm u, v ∈ E (Ω)thỏa mãn

−χ(u)(ddcu)n > µvà

−χ(v)(ddcv)n > µ

Khi đó

−χ(max(u, v))(ddcmax(u, v))n > µ

Sau đây, chúng tôi phát biểu kết quả chính của chương Trong trường hợp

χ ≡ −1 chính là kết quả chính (Định lý 4.13 ) trong bài báo "P ˚Ahag, U.Cegrell, R Czyz and P H Hiep (2009), Monge-Ampère measures on pluripolarsets,J Math Pures Appl, 92, 613 - 627."

Định lý 3.3.3 Giả sử χ : R− −→ R− là một hàm liên tục, tăng thỏa mãnχ(t) < 0 với mọi t < 0 và µ là một độ đo Radon thỏa mãn

µ(Ω) < +∞

Nếu tồn tại một hàm w ∈ Eχ(Ω) thỏa mãn

µ 6 −χ(w)(ddcw)n

thì tồn tại một hàm u ∈ Eχ(Ω) thỏa mãn u > w và

µ = −χ(u)(ddcu)n.Chúng ta có các hệ quả sau

Hệ quả 3.3.4 Giả sử χ : R− −→ R−là một hàm liên tục tăng χ(t) < 0 với mọi

t < 0 và U b G ⊂ Ω là một miền siêu lồi bị chặn Khi đó, với mọi u ∈ Eχ(G)tồn tại một hàm u ∈ Ee χ(Ω) thỏa mãn

−χ(u)(dde cu)e n = 1U[−χ(u)](ddcu)ntrên Ω

Hệ quả 3.3.5 Giả sử χ : R− −→ R− là một hàm liên tục tăng thỏa mãn χ(t) <

0 với mọi t < 0 và χ(−∞) > −∞ Nếu v ∈ F (Ω) và hàm f ∈ L1loc((ddcv)n) với

f > 0 thì tồn tại một dãy giảm {uj} ⊂ F (Ω) thỏa mãn supp(ddcuj)n b Ω và

−χ(uj)(ddcuj)n % f (ddcv)n,khi j tiến tới +∞

3.3.2 Bài toán Dirichlet

Từ Định lí chính của chương, ta đã giải bài toán phương trình Monge Ampère có trọng khi tồn tại dưới nghiệm, tiếp theo đây chúng ta tiếp tục giảibài toán phương trình Monge - Ampère có trọng khi tồn tại dưới nghiệm địaphương trong lớp E (Ω)

-Mệnh đề 3.3.6 Giả sử χ : R− −→ R− là một hàm lồi liên tục tăng thỏa mãnχ(−∞) > −∞, χ(t) < 0 với ∀ t < 0 và µ là một độ đo không âm trên Ω thỏamãn

µ(Ω) < +∞

Khi đó, tồn tại u ∈ Eχ(Ω) thỏa mãn

µ = −χ(u)(ddcu)nnếu và chỉ nếu với mọi z ∈ Ω tồn tại một lân cận Wz của z và vz ∈ E(Wz) thỏamãn

µ 6 (ddcvz)ntrong Wz

Tiếp theo, chúng tôi giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω)

Mệnh đề 3.3.7 Giả sử µ là một độ đo không âm Ω thỏa mãn

Ví dụ 3.3.1 Chúng ta xây dựng một độ đo không âm µ trên đa đĩa ∆n (n> 2)

và triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực thỏa mãn:

Z

∆ n

(− max(ln |z1|, , ln |zn|))pdµ < +∞

với mọi p > 1 nhưng không tồn tại một hàm u ∈ E (∆n) thỏa mãn:

µ = (ddcu)n.Chúng ta đặt:

Các kết quả đạt được

Trong luận án này chúng tôi đã nghiên cứu phương trình Monge-Ampèretrên đa tạp compact K¨ahler và trên miền siêu lồi Các kết quả đạt được trongluận án bao gồm:

• Đã đưa ra điều kiện đủ để một hàm ω−psh thuộc lớp hàm có thể địnhnghĩa toàn thể của toán tử Monge-Ampère không thuộc lớp hàm có thểđịnh nghĩa địa phương của toán tử Monge-Ampère trong không gian xạảnh phức n chiều

• Chỉ ra rằng trên lớp hàm DMAloc(CPn, ω), phương trình Monge-Ampère

có dưới nghiệm nhưng không tồn tại nghiệm

• Đã đưa ra mối quan hệ giữa lớp Ep(X, ω) với p > 0 và DMAloc(X, ω) trên

đa tạp compact K¨ahler X

• Đã đưa ra mối quan hệ giữa lớp DMA ∩ L(Cn

) và DMA(CPn, ω) cũng nhưmối quan hệ giữa lớp \DMA ∩ L(Cn) và \DMA(CPn, ω)

• Giải phương trình dạng Monge-Ampère phức:

µ = −χ(u)(ddcu)ntrên lớp E (Ω) nếu tồn tại dưới nghiệm

µ 6 −χ(ω)(ddcω)nvới ω ∈ E (Ω)

• Giải phương trình dạng Monge-Ampère phức

µ = −χ(u)(ddcu)ntrên lớp E (Ω) nếu tồn tại dưới nghiệm địa phương

• Giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω).

• Đưa ra một ví dụ về tính không giải được của phương trình Monge Ampère với độ đo không hữu hạn trên đa đĩa

Kiến nghị một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo

Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở liên quancần được nghiên cứu tiếp là:

• Đưa ra điều kiện cần và đủ để một hàm thuộc lớp hàm có thể định nghĩađịa phương của toán tử Monge - Ampère trên không gian xạ ảnh

• Giải phương trình Monge - Ampère

µ = (ω + ddcu)ntrên đa tạp compact Kahler trong trường hợp độ đo µ không triệt tiêu trêntập đa cực Trong trường hợp độ đo µ triệt tiêu trên tập đa cực đã được

V Guedj và A Zeriahi giải vào năm 2007