MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán tính thể tích khối đa diện khối chóp, khối lăng trụ,… là bài toán thường gặp trong các đề thi đại học – cao đẳng và tốt nghiệp.. Do đó, chuyên đề này, tôi muốn giới t

-CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI

ĐA DIỆN

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán tính thể tích khối đa diện (khối chóp, khối lăng trụ,…) là bài toán thường gặp trong các đề thi đại học – cao đẳng và tốt nghiệp Đây là bài toán tương đối khó đối với nhiều học sinh có tư duy hình học không gian hạn chế

Chính vì vậy mà trong quá trình giảng dạy, tôi đã nhận thấy sự vất vả của nhiều học sinh khi phải

học dạng toán này Do đó, chuyên đề này, tôi muốn giới thiệu với các em học sinh một số phương

pháp giải bài toán tính thể tích Nhằm giúp các em dễ tiếp cận với dạng toán này và có nhưng định hướng giải khi gặp dạng toán này

II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

4 phương pháp thường dùng tính thể tích

 Tính diện tích bằng công thức.

+Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,…

+Sử dụng công thức tính thể tích

 Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có

thể dễ dàng tính thể tích của chúng Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm

 Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện

khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích

 Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.

Bài giải tham khảo

ïï

íï

ïïî

là góc giữa(ABC)và(ABC )

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Thí dụ 1 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vuông tại ,B BC = ,a mp A BC ( ' )

tạo với đáy một góc 30 và 0 DA BC' có diện tích bằnga2 3 Tính thể tích khối lăng trụ.

B

A

B

’

3

0 o a

Dạng 1 Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công

thức

 Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.

Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay

dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…) Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí

Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…

 Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.

Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác

2

A BC

A BC

¢ D

¢

·

·

0

0

' ' '

a

Thí dụ 2 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC là tam giác vuông tạiA AC, =a ACB,· =600

Đường chéoBC'của mặt bên (BC C C tạo với mặt phẳng ' ' ) mp AA C C một góc ( ' ' ) 300 Tính thể tích của khối lăng trụ theo a

Bài giải tham khảo

vuông góc của BC ¢ lên ( ACC A¢ ¢ )

Từ đó, góc giữaBC ¢và ( ACC A¢ ¢là ) BC A· ¢ =300.

Trong tam giác vuôngABC : AB =AC.tan600=a 3.

Trong tam giác vuôngABC': AC¢=AB.cot 300=a 3 3=3a.

Trong tam giác vuông ACC':

CC = AC - AC = a - a = a

Bài giải tham khảo

Cách giải 1.

ïï

ïïî

B

’

B

’

A

a 6

0 0

3

0 o

Thí dụ 3 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB AB, =a SA, ^(ABC), góc giữa

mp SBC và mp ABC bằng( ) 30 Gọi0 M là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích khối chóp

S ABM theo a.

B A

S

M

C

3

0 o

N

-KẻMN // BC DoBC ^(SBA) nên MN ^(SBA) và lúc đó, MN là đường trung bình

SBC

MN

3

Tìm: SDSAB ?

3

AB

( )

2

SAB

Cách giải 2.

.



3

.

S ABM

S ABM

V

Bài giải tham khảo

Thể tích khối chópS ABC :

1

3

SBC

( )

1

3

Thí dụ 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011)

Hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại ,B BA =3 ,a BC =4a,(SBC) (^ ABC) Biết SB =2 3,a SBC· =300 Tính thể tích khối chópS ABC và khoảng cách từBđếnmp SAC( )

S

C

B

A

3a 4a

0

30

- Tìm khoảng cách từBđếnmp SAC ?( )

3

V =V = SD d B SACéêë ùúû

SAC

V

d B SAC

SD

Ta có: AB ^(SBC) Þ AB ^SB Þ SA2=AB2+SB2=9a2+12a2=21a2.

Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trongDSBC :

·

2 16 2 12 2 2.4 2 3. 3 4 2

2

TrongDABCvuông tạiB: AC2=AB2+BC2=9a2+16a2=25a2

Nhận thấy: SA2+SC2=21a2+4a2=25a2=AC2Þ DSAC vuông tạiS

SAC

Thay( ) ( )1 , 3 vào( )2 ;( ) 3.22 3 3 6 7

7 21

d B SAC

a

Bài giải tham khảo

Vìmp SBI và( ) mp SCI cùng vuông góc với( ) mp ABCD , nên giao tuyến ( ) SI ^(ABCD).

KẻIH ^BC Þ SH ^BC (định lí 3 đường vuông góc)

Ta có: ·SHI =600là góc giữa haimp SBC và( ) mp ABCD ( )

3

TìmSI ?

TrongDSIH vuông tạiI , ta có: SI =IH.tan600=IH 3.

Gọi ,M N tương ứng là trung điểm của AB BC ,

VìIN là đường trung bình của hình thangABCD, nên ta có:

.

Mà: IH =IN.cosHIN· =IN.cosMCB· (do ·HIN và ·MCB là

các góc có cạnh tương ứng vuông góc)

·

BC

Thí dụ 5 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009)

Cho hình chópS ABCD có đáy là hình thang vuông tạiAvàD AB, =AD =2 ,a CD = , góc a

giữa haimp SBC và( ) mp ABCD bằng( ) 60 Gọi0 I là trung điểm củaAD Biết rằngmp SBI và( )

mp SCI cùng vuông góc với mp ABCD Tính thể tích khối chóp( ) S ABCD

S

D

C

N

H I

6

0 0

IN

( )

TìmS ABCD ?

2

ABCD

.

S ABCD

Bài giải tham khảo

GọiH là trung điểm củaADthìSH ^AD

Do (SAD) (^ ABCD)nênSH ^(ABCD).

2

a SH

KẻMK // SH K( Î HB)

3

Bài giải tham khảo

GọiOlà tâm của của đáyABCD

TrongDSAC , ta cóNOlà đường trung bình nên:

//

NO SA

ïïî

Thí dụ 6 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của SB BC CD , ,

Tính thể tích khối tứ diệnCMNP

S

H

A

B M

N P

K

Thí dụ 7 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB =a AD, =a 2,SA = và a SA

vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AD SC và, I là giao điểm của

BM vàAC Tính thể tích khối tứ diệnANIB

S

A

B M

N

I O

Þ ^ hayNOlà đường cao của hình tứ diệnANIB

1

3

Tìm SDAIB =?

DoI là trọng tâmDABDnên:

2

ïïï

ïî Nhận thấy:

AB =a =æççç ö÷÷÷÷+æççç ö÷÷÷÷=AI +BI Þ DAIB

( )

2

AIB

N AIB

V

Bài giải tham khảo

 Gọi ,M N là trung điểm của AB AC Khi đó,, G là trọng tâm của

ABC

 Do hình chiếu điểmB' lên

mp ABC là G nênB G' ^(ABC)

C D

M I

Thí dụ 8 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và mp ABC bằng( )

0

60 , tam giácABC vuông tạiC và góc ·BAC =600 Hình chiếu vuông góc của điểmB' lên

mp ABC trùng với trọng tâm củaDABC Tính thể tích của khối tứ diệnA ABC' theo a

A

’

B

’

C

’

A

B

C G

N M

6

0 0

B

M G

- Ta có: ' 1. ' 1. . ' ( )1

 TìmB G' ? Trong DB BG' vuông tạiGvà có ·B BG =' 600nên nó là nữa tam giác đều cạnh làBB'=a

( )

3

a

TìmAB BC ?,

ĐặtAB =2x TrongDABCvuông tạiC có ·BAC =600nên nó cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC

2

AB

a

TrongDBNCvuông tạiC : BN2=NC2+BC2

( )

3

2 13

a AC

a BC

ìïï = ïï ïï

ïï ïïî

A ABC

V

 Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp khó khăn vì hai lí do:

+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao

+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng

 Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:

+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn

+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã

biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích

 Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:

Cho hình chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB,

SC

Khi đó: ' ' '

.

'. '. '

S A B C

S ABC

Chứng minh:

Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng

Dạng 2 Tính thể tích khối đa diện bằng cách lắp ghép khối hoặc so sánh khối (tỉ số)

S

A

’ C

’

C

H

H

’

3

3

SB C

S A B C A SB C

SBC

D

D

1 '. '.sin ' '

' ' ' 2

2

Ðpcm

SB SC SA

a a

Trong đó: a = B SC· ' '=BSC· .

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm

Aº A B º B C º C .

Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,…

Bài giải tham khảo a/ Tính thể tích khối chópS ABC

3

Mặc khác: DABCvuông cân ở B và có: AC =a 2nên DABC

là nữa hình vuông có đường chéoAC =a 2Þ cạnhAB =BC =a

2

ABC

a

b/ Tính thể tích khối chópS AMN

Gọi I là trung điểm củaBC ,Glà trọng tâm của DSBC

3

SI

3

.

.

S AMN

S ABC

Thí dụ 9 Cho hình chópS ABC có đáy là DABCvuông cân ởB AC, =a 2,SA ^mp ABC SA( ), = a

a/ Tính thể tích khối chópS ABC

b/ Gọi Glà trọng tâm của DSBC , mp a đi qua( ) AG và song song vớiBC cắtSC SB lần lượt tại, ,

M N Tính thể tích khối chóp S AMN

S

A

B

C M

N G

I

Thí dụ 10 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2006)

Cho hình chópS ABC có đáy làDABCđều cạnhavàSA ^(ABC),SA=2a Gọi ,H K lần lượt là

hình chiếu vuông góc của điểmAlần lượt lên cạnhSB SC Tính thể tích khối , A BCKH theoa

-Bài giải tham khảo

 Ta có: V A BCKH. +V S AHK. =V S ABC. Þ V A BCKH. =V S ABC. - V S AHK. ( )1 .

 DoDABCđều cạnhavà SA =2a nên:

( )

.

.

S AHK

S ABC

25

5 5

( )

25

Từ

a

Bài giải tham khảo

 KẻMN // CD N( Î SD)thì hình thangABMN là thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng

(ABM )

 Ta có: .

.

1 2

S ABN

S ABD

( )

 Mặt khác: .

.

S BMN

S BCD

( )

2

 Mà: V S ABMN. =V S ABN. +V S BMN. ( )3

 Kết hợp: ( ) ( ) ( ) .

3

1 , 2 , 3

8

S

A

B

C H

a

K 2a

Thí dụ 11 Cho khối chóp tứ giác đềuS ABCD Một mặt phẳng( )a qua , A B và trung điểm M củaSC Tính tỉ

số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

S

A

B C

M

N

D

5

S ABMN ABCDNM

V V

Bài giải tham khảo

 Gọi I =SO AMÇ Ta có: (AEMF) // BD Þ EF // BD .

3

V = S SO vớiS ABCD =a2

.tan60

2

a

6

S ABCD

a V

 Mặt khác: V S AEMF. =V SAMF +V SAME =2V SAMF và

Xét khối S AMF và khốiS ACD có: 1

2

SM

Và trongDSAC có trọng tâmI ,

SAMF SACD

V

Bài giải tham khảo

 Gọi ,O H lần lượt là tâm của ABCDvà trung điểmAB

 Do MS=MAÞ d A MNPéêë,( )ùúû= êd S MNPéë, ùúû

( )

 Mặt khác: .

.

1

4

S MNP

S ABP

2

S MNP

3

6

1 , 2

48

A MNP

a

10

Thí dụ 12 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600

Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi quaAM và song song vớiBD, cắtSBtạiE và cắtSDtạiF

Tính thể tích khối chóp S AEMF

Thí dụ 13 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008)

Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáyAB =a, cạnh bênSA =a 2 Gọi , ,M N P lần

lượt là trung điểm củaSA SB CD Tính thể tích tứ diện, , AMNP

M

A

B

N

C

D

S

P O

H

-Bài giải tham khảo

11

Dạng toán 3 Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách

Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường

thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức hiển nhiên: , ở đâylần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc đối với hình lăng trụ)

Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài

toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy Như vậy,

chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên

Lược đồ thực hành:

Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây:

+) Nếu trong đóchứathì

+)Nếu trong đólần lượt chứavàthì:

+)Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp (hoặc một khối lăng trụ) nào đó

Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnhcủa một hình chóp (hoặc một lăng trụ) Ta tìm thể

tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp ấy có đỉnh Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnh

Thí dụ 14 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vuông cạnha, SA ^(ABCD)và mặt bên(SCD )

hợp với mặt phẳng đáyABCDmột góc60 Tính khoảng cách từ điểm0 Ađến mp SCD ( )

S

6

0 0

ïïî

3

ADC

a

AD

6

S ADC

a V

3

3

S ADC

SDC

V

S

D

D

,

d A SDC

Bài giải tham khảo

 Ta có: AB2+AC2=32+42=52=BC2Þ DABC vuông tại

A

( )2

ABC

( )3

 Mặt khác: BD = AB2+AD2 = 32+42 =5( )cm

( )

DC = AC +AD = + = cm

Nên SDDBC = p p BC p DC p BD( - )( - )( - )

(5 2 2 5 2 2 5 5 2 2 4 2 5 2 2 5)( )( )( ) 2 34( )2

DBC

3

ABCD

DBC

V

S

D

D

12

Thí dụ 15 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002)

Cho tứ diệnABCDcó cạnhADvuông góc vớimp ABC , ( ) AC =AD =4( )cm AB, =3( )cm ,

( )

5

BC = cm Tính khoảng cách từAđếnmp BCD ( )

Thí dụ 21 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiA Hai mặt phẳng(SAB và)

(SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy) (ABC , cho ) BC =a 2, mặt bên(SBC tạo với đáy) (ABC một góc) 60 Tính khoảng cách từ điểm0 Ađến mặt phẳng(SBC )

D

A

C B

-Bài giải tham khảo

 GọiM là trung điểm của cạnhBC Ta có DABCvuông cân tạiA nên:

ïïí

ïïî

 Ta có:

ïï

íï

ïïî

Và

ïï

íï

ïïî

ABC

.

3

3

S ABC

SBC

V

S

D

D

Mà:

2

SBC

BC

SD = SM BC = SA +AM BC = SA +æ öççç ÷÷÷BC =a

÷

çè ø

,

4

a

d A SBCé ù

Bài giải tham khảo

 DoM là trung điểm củaSCnên

d SA MB d SA MOBé ù d S MOBé ù

13

Thí dụ 22 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2004)

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoiABCDcóSOvuông góc với đáy vớiOlà giao điểm của

AC vàBD Giả sửSO =2 2,AC =4,AB = 5vàM là trung điểm củaSC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngSAvàBM

S

A

C B

M (doAM vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong DABC

S

C

D

O

M

H

2

V =V = SD MH = SD d C MOBéêë ùúû

MOB

d C MOB

S

D

D

MOB

d SA MB

S

D

D

OBC

AC

 Mặt khác: OB OC

( )

MOB

SA

 Thay( ) ( ) ( )2 , 5 , 6 vào( )4 ( , ) 2 6

3

d SA MB

Bài giải tham khảo

 Ta có: MN // BC Þ MN // (A BC' )

 Mà: '. 1 ' 1 1 .1.1.1 1 ( )2

 Mặt khác: CB ^(BAA B' ) Þ CB ^BA'.

'

A BC

Þ D vuông tạiB

 Ta lại có: '. ' 1 ' . ,( ' ) ( ) 3

3

14

Thí dụ 23 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)

Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng 1 Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ABvà

CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngA C' vàMN

B’

A’

C’

D’

A

D M

N

12 3 2A B BC d M A BCé ù 6 d M A BCé ù d M A BCé ù 4

4

d MN AC

Bài giải tham khảo

 GọiOlà tâm mặt phẳng đáy và ,M N là trung điểm của AD BC, Þ ·SNM a=

 Ta có: BC MN BC (MNS) (SBC) (MNS)

 Kẻ MH ^SN H( Î SN).

15

Dạng toán 4 Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Đây có thể xem là bài toán rất cơ bản mặc dù nó chưa một lần xuất hiện trong các đề thi TNPT cũng như Đại học – Cao đẳng (cho dù bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với hàm số hầu như năm nào cũng có mặt trong các đề thi)

Nội dung bài toán: Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó (tham

số có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh) Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn Ẩn này có thể là góc α thích hợp trong khối đa diện,

hoặc là một yếu tố nào đó

Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của

khối đa diện theo các phương pháp đã biết

Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “kết thúc” Ta có một hàm số

mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó Dùng bất đẳng thức cổ điển (Cauchy hay Bunhiacopski) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ấy

Thí dụ 24 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD mà khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC bằng( ) 2a Góc hợp

bởi mặt phẳn bên và mặt phẳng đáy của hình chóp làa Với giá trị nào của góc athì thể tích của

hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?

α

A

B

S

N O

M

H