HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TOÁN 9 (ĐS)_ HSGTP 2011

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.. c Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG CẤP TP – NH 2010-2011

PHẦN ĐẠI SỐ

BÀI 1 : (4 điểm)

Thu gọn các biểu thức :

a) A = 2 a 2 3 a2

2 a 1

= 2 a 3 a 2 a 3 a

2 a 1



= 1 2 a 5

5

2 a 1

 



b) B =

2

:



   (a > 0, a  1)

=

3

a 1



=  a 1  a 1 

= a – 1

BÀI 2 : (4 điểm)

a) Chứng minh ad + bc  a2b c2 2d2 với a, b, c, d là các số thực

b) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng :

3 3 3

ab bc ca

b  c  a   

Giải

a) Ta có : ad + bc  ad bc với mọi a, b, c, d

Xét BĐT ad bc  a2 b c2 2d2   2  2 2 2 2

ad bc  a b c d

 ac bd 2  : đúng với mọi a, b, c, d Từ đây ta có đpcm ! 0

b) Ta có :

3

2

3

2

3

2

a

ab 2a b

b

bc 2b c

c

ac 2c a



















Như vậy :

3 3 3

2 2 2

Mà : 2a22b2 2c2 2(ab bc ac)   đpcm !

BÀI 3 : (3 điểm)

Cho phương trình : x2 – (3m – 2)x + 2m2 – 5m – 3 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm

Giải

Ta có :  = (m + 4)2

a) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt   > 0  m  -4

b) Với m  -4, ta có : S = 3m – 2, xét các trường hợp :

* m  2

3  S  0  phương trình có ít nhất một nghiệm dương

* m < 2

3  S < 0, xét tiếp P = 2m

2

– 5m – 3 ; P = 0 

1 m 2















2

Như vậy : với 1

2

 < m < 2

3  P < 0  pt (1) có hai nghiệm trái dấu

Tóm lại, pt (1) có ít nhất một nghiệm dương  m  2

3 hoặc

1 2

 < m < 2

3 c) Với m  -4, theo trên ta thấy :

* m  2

3  S  0  phương trình có ít nhất một nghiệm âm

* 2

3 < m < 3  S > 0, P < 0 : phương trình có đúng một nghiệm âm

* m  3  S > 0, P > 0 : phương trình không có nghiệm âm

Tóm lại, pt (1) có ít nhất một nghiệm âm  m  2

3(khác -4) hoặc

2

3 < m < 3

BÀI 4 : (3 điểm)

a) Giải hệ phương trình :

2

2 (1)

4 (2)

xy z









 b) Chứng tỏ rằng số có dạng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n

Giải

a) ĐK x, y, z  0

CÁCH 1

Từ (1) 

2

4

, so sánh với (2) ta được :

2

2

 12 12 12 2 2 2 2 12

0



2 2

0



 





  



 x = y = -z Từ đây tính được : x; y;z 1 1; ; 1

2 2 2



CÁCH 2

Từ (1)  2 22 2 4

xyy yz  y, và từ (2)  2

4

xy  z Vậy : 22 2 12 4

4



Xong luôn nhé !

CÁCH 3

Đặt a = 1

x ; b =

1

y Khi đó hệ pt trở thành

2

1

a b 2

z 1 2ab 4

z











2

1

a b 2

z 1

ab 2

2z









Như vậy, hệ pt đã cho có nghiệm  pt : X2 – SX + P = 0 có nghiệm, với

2

1

S 2

z 1

2z



 





  



 S2  4P 

2

2

2

1

z

  

z 2





Cũng xong luôn !

b) Ta có : n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) : Việc chứng minh dành cho bạn !