Mô tả phương pháp rèn luyện và phát triển các phẩm chất trí tuệ của học sinh qua dạy học toán

---MỤC LỤC 7 Mô tả phương pháp rèn luyện và phát triển các phẩm chất trí tuệ của học sinh qua dạy học toán 4 8 kiểm chứng giả thuyếtPhương pháp 1 : Tập cho học sinh biết quan sát, dự đoá

-MỤC LỤC

7 Mô tả phương pháp rèn luyện và phát triển các phẩm chất trí tuệ của học sinh qua dạy học toán 4

8 kiểm chứng giả thuyếtPhương pháp 1 : Tập cho học sinh biết quan sát, dự đoán, nêu giả thuyết, 4

9 cách áp dụng các quy tắc đã học nhằm khắc phục sức ì của tư duy Phương pháp 2: Chọn một số bài tập có cách giải quyết đơn giản hơn 5

10 một bài toán, khai thác nhiều khía cạnh nhằm khắc sâu kiến thức kĩ năngPhương pháp 3 : Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của 6

11 toán cùng loại Phương pháp 4: Xây dựng cho học sinh cách giải tổng quát của nhiều bài 10

13 nguyên nhân và đề xuất cách giải đúngPhương pháp 6 :Tập cho học sinh phát hiện chổ sai trong lời giải tìm 14

14 nhiều bài toán khó hơnPhương pháp 7 Từ một bài toán quen thuộc ta phát triển mở rộng thành 16

-PHẦN I

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài:

Theo các nhà tâm lí học, phẩm chất trí tuệ của con người thể hiện chủ yếu ở tính linh hoạt và tính độc lập Cả hai đặc tính này tạo nên tính sáng tạo của con người Do vậy trong giáo dục sư phạm, giáo viên cần xây dựng cho học sinh tính linh hoạt và sáng tạo của trí tuệ, thể hiện cụ thể:

 Kĩ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề, dễ dàng chuyển từ hoạt động này sang hoạt động trí tuệ khác, không rập khuôn theo mẫu có sẵn

 Kĩ năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo nhiều quan điểm khác nhau

 Kĩ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo thứ tự ngược lại (tính thuận nghịch của quá trình tư duy)

 Tự mình phát hiện và tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề, không đi tìm lời giải có sẵn, không hoàn toàn dựa vào ý nghĩ và lập luận của người khác

 Nghiêm túc đánh giá những lập luận và cách giải quyết của người khác và ngay cả của mình

 Cả tinh thần hoài nghi khoa học, luôn tự đặt cho mình các câu hỏi: tại sao, do đâu, như thế nào khi lĩnh hội kiến thức

Theo định hướng trên, mỗi giáo viên cần phải thường xuyên trao đổi, nâng cao kiến thức, tìm tòi phương pháp giảng dạy, hệ thống bài tập phù hợp với mức độ, đối tượng học sinh

Không ít những khó khăn, vướng mắc về công tác chuẩn bị, phương pháp thực hiện, thời gian tổ chức Đặc biệt học sinh trong một lớp có khả năng tiếp thu kiến thức không đều Tuy nhiên, qua nhiều năm giảng dạy, tôi cũng cố gắng tìm tòi, tích lũy được chút kinh nghiệm trong việc nâng cao tính linh hoạt và tính độc lập, sáng tạo của học sinh Đó là lý

do để tôi chọn đề tài mới và khó này

2.N hiệm vụ của đề tài:

 Đáp ứng được về đổi mới phương pháp giáo dục ở THCS: đó là phát huy tính linh hoạt và độc lập của trí tuệ

 Đáp ứng nhu cầu của thời đại công nghiệp hóa, hiện đại hóa, tính sáng tạo, nghiên cứu khoa học sau này

 Tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn của giáo viên và học sinh khi học toán, giúp học sinh hứng thú, tích cực, tự giác học tập

3.P hương pháp thực hiện:

 Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên trong mỗi tiết dạy ở tất cả các lớp 6, 7, 8,

9 theo các yêu cầu và mức độ khác nhau

 Giáo viên cần phải lựa chọn bài tập, phương pháp tổ chức lồng ghép hợp lý, phù hợp với từng đối tượng học sinh nhằm phát huy tính sáng tạo của học sinh

 Thông qua các tiết bài tập, giáo viên xây dựng cho học sinh phương pháp phân tích, suy luận, tìm tòi… từ đó giáo viên có thể giao công việc, bài tập về nhà để học sinh tìm tòi cách giải quyết nhanh hơn, gọn hơn…

- Qua mỗi tiết ôn tập cần cho thêm các bài tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thức đồng thời móc xích được các đơn vị kiến thức

 Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt được các dạng toán… có thể gắn vào việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

4.C ơ sở và thời gian tiến hành:

 Cơ sở: LỰa chọn các bài tập trong SGK, SBT, STK ở các lớp 6, 7, 8, 9 có thể điều

chỉnh sửa chữa cho phù hợp với đối tượng trong lớp

 Đối tượng: Áp dụng cho mỗi tiết học cả lý thuyết, lẫn tiết luyện tập ở tất cả các lớp

THCS ở trường THCS ĐăkChoong

 Thời gian tiến hành: Từ năm học 2002 – 2003, 2003 – 2004, 2004 – 2005, 2005 –

2006, 2006 – 2007, 2007-2008

-PHẦN II

NỘI DUNG

MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC PHẨM CHẤT TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH

QUA DẠY HỌC TOÁN

 PHƯƠNG PHÁP 1 :

Tập cho học sinh biết quan sát, dự đoán, nêu giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết.

 V í dụ minh họa

1) Khi dạy đường trung bình của hình thang (Tiết 6 – Hình học 8)

GV Đưa ?4 Bảng phụ (hình vẽ) Hình thang ABCD

(AB // CD) EA = ED, EF//AB//CD

-Nhận xét gì về vị trí của I trên AC và F trên CB ?

HS: DỰ đoán I là trung điểm của AC và F là trung điểm của

BC Vận dụng tính chất đường trung bình của tam giác

để kiểm chứng dự đoán

GV: Khẳng định: định lý 3 SGK, có thể cho HS so sánh EF với tổng AB + CD từ đó đặt vấn đề đến định lý 4

2) Bài toán sau: (Đại số 8)

Từ các ví dụ sau hãy đưa ra một nhận xét và chứng minh nhận xét đó:

0.1.2.3 + 1 = 12

1.2.3.4 + 1 = 52

2.3.4.5 + 1 = 112

HS: Rút ra nhận xét: “ Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương”

C

hứng minh : Biến đổi n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 thành (n2 + 3n + 1)2 : là số chính phương Xuất phát từ bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh bài toán sau:

“Chứng minh rằng số A = n(n+1)(n+2)(n+3) không thể là số chính phương với mọi n

là số nguyên dương”

HD: Chứng minh được: (n2 + 3n)2 < A < (n2 + 3n +1)2, tức là A nằm giữa hai số chính phương liên tiếp, nên A không thể là số chính phương

3) Sách bài tập Toán 9 (Bài 8 / trang 4 – NXBGD) có bài toán:

CMR: 1 3  2 3   1 2

1 3  2 3  3 3    1 2 3

1 3  2 3  3 3  4 3     1 2 3 4

Thật là dễ, HS chỉ chịu khó tính giá trị của VT và so sánh với VP là xong

Nâng cao hơn một chút, GV yêu cầu HS quan sát, dự đoán và viết ra các đẳng thức tiếp theo

HS viết được: 1 3  2 3  3 3  4 3  5 3      1 2 3 4 5

Nâng cao hơn chút nữa, yêu cầu HS tổng quát bài toán trên? (GV có thể gợi ý (nếu cần))

* Tổng quát: 3 3 3 3

1  2  3  n      1 2 3 n  ( nnguyên dương)

GV yêu cầu HS chứng minh bài toán tổng quát trên

GV hướng dẫn: Ta có nhận xét

3

x (x+1) - (x-1)

Áp dụng kết quả trên ta có:

2

n(n+1)

= 2

Mặt khác: 1 2 3 n     = n(n+1)

2 nên ta có đpcm

Từ kết quả bài toán trên ta có bài toán sau: Tìm số nguyên dương x thỏa mãn:

3 3 3 3

1  2  3  x  5050 (x = 100: Bài toán Gaussơ)

 PHƯƠNG PHÁP 2 :

Chọn một số bài tập có cách giải quyết đơn giản hơn cách áp dụng các qui tắc đã học, nhằm khắc phục sức ì của tư duy.

 Ví dụ minh họa :

1) Khi dạy §4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ (ĐS 7)

GV: Đưa bài tập: Tìm x  Biết rằng x+2 = 2 x

5

Để giải bài tập trên ta xét:

x+ < 0 - x- = 2 x











Đối với bài toán trên nếu ta để ý đến vế trái: x 2 0 2 x 0 x 0 x+2 0

Từ đó ta chỉ xét một trường hợp x 2 0

5

Bằng cách suy nghĩ này giúp ta giải được một số bài toán hay và khó hơn

a) x+ 2 + x+ + x+1 4 = 4 x

b) x+1 + x+ 2 + + x+ 2003 = 2004 x

d) x+1 + x+3 + x- + x+15 = 5 x- 21

-2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(x-y) (ĐS 8)

Để phân tích đa thức P thành nhân tử ta có nhiều cách:

Cách 1: Tách z–x thành –[(y-z) + (x-y)] hoặc:

Cách 2: KHAI triển y2(z-x) + z2(x-y) = y2z – xy2 + xz2 – yz2

= yz(y-z) – x(y2-z2)

Khi đó: P = (y-z)(x-y)(x-z)

-Ngoài hai cách làm thông thường trên ta còn có thể phân tích đa thức P bằng cách

khác.

Cách 3: Thay x bởi y thì P = y2(y-z) + y2(z-y) = 0, Vậy P chia hết cho x-y

Tương tự khi thay y bởi z và z bởi x thì P = 0 Vậy P cũng chia hết cho y-z và z-x Khi đó P có dạng: P = k(x-y)(y-z)(z-x)

Vậy ta có đẳng thức: x2(y-z) + y2(z-x) + z2(x-y) = k(x-y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z

Vậy cho x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị x, y, z tùy ý sao cho (x-y)(y-z)(z-x)  0)

Ta được: 4.1 + 1(-2) +0 = k.1.1.(-2)

 k = -1

Vậy P = - (x-y)(y-z)(z-x) = (x-y)(y-z)(x-z)

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x-1) + (x- 3) 2 2 (ĐS 8 )

 Theo cách thông thường ta biến đổi A = 2(x - 4 x+ 5) 2

= 2(x 2)  2   2 2

Vậy MinA = 2 khi x = 2

 Ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác đơn giản hơn:

Đặt x – 2 = y ta được A = 2 2

(y+1) + (y-1)

= 2

2 y + 2 2 

Vậy MinA = 2  y = 0  x = 2

4) Khi giải phương trình: (I) x- 3 = 4 - 2 y

x+ 3 + y-1 = 3 y- 5





Nếu giải theo cách thông thường (phá dấu trị tuyệt đối và chia từng đoạn) thì khá dài và phức tạp Nhưng nếu ta xét rằng:

4 - 2 y 0  , 3 y- 5 0  Suy ra: 5 y 2

3  thì khi đó y-1= y-1

Khi đó ta cộng hai vế của hai phương trình (I) ta sẽ được:

x- 3 = 0 x- 3 + x+ 3 = 0

x+ 3 = 0



 



Vậy: Hệ đã cho vô nghiệm

 PHƯƠNG PHÁP 3 :

Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác nhiều khía cạnh nhằm khắc sâu kiến thức, kĩ năng.

- Ví dụ minh họa :

1) Bài toán (ĐS 8): Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tích của chúng bằng

1680

GV: Yêu cầu đưa ra nhiều cách giải

Cách 1: Nếu đặt số bé nhất trong bốn số đó là a thì ta có:

a(a+1)(a+ 2)(a+ 3)= 1680 (1) Nếu cứ liên tục nhân với nhau thì sẽ dẫn đến phương trình bậc bốn đầy

đủ và rơi vào bế tắc

Nhưng với việc nhân a với (a + 3) và (a + 1) với (a + 2) thì sẽ được: (a + 3a)(a + 3a+ 2) = 1680 2 2 (2)

Không nhân tiếp mà đặt t = a2 + 3a với t 0  Khi đó ta được:

(2)  t + 2 t-1680 = 0 2 Giải phương trình ta được: t = 40 Giải tiếp phương trình

a2 + 3a = 40 ta có kết quả a = 5

Cách 2: Đặt x là số trung bình cộng giữa số đầu và số cuối

Ta có : (x-1,5)(x- 0,5)(x+ 0,5)(x+1,5) = 1680

Thực hiện phép nhân ta có phương trình: x - 2,5 x -1674,5 = 0 4 2

Và x = 6,5 Từ đó kết quả các số phải tìm: 5, 6, 7, 8

Cách 3: Phân tích 1680 = 24.3.5.7 và lập luận:

 Cả bốn số phải tìm không có số nào có hai chữ số Nếu số lớn nhất là 10 thì số nhỏ nhất là 7 Nhưng 74 = 2401 > 1680

 Số 1680 chia hết cho 5 và 7 VÀ do nhận xét trên nên 5 và 7 là hai số phải tìm Từ

đó suy ra các số kia là 6 và 8

2) Từ bài toán: Tìm hai số x và y biết: x = y

2 5 và x.y = 10 (Bài 62 toán 7 tập 1)

GV gợi ý cho HS cách giải: Đặt x = y

Khi đó: x = 2 k

y = 5k







Mà x.y = 10  10 k = 10 2

 k = 1 2  k = ±1

Từ đó suy ra x = ±2, y = ±5

Ngoài cách giải trên GV yêu cầu HS tìm ra nhiều cách giải khác

Chẳng hạn:

Cách 1: Từ

x y

5 x = 2 y x =

5

Thay x = 2 y

5 vào x.y = 10 Từ đó tìm được y   5 giá trị tương ứng của x

Cách 2: Từ x.y = 10  x 0  Do đó: x 0

Từ đó suy ra: x x = y x x2 = xy x = ±2

Với x  2 ta tìm được các giá trị tương ứng của y

Cách 3: TỪ x.y =10 x 0 y =10

x

Từ x = y

2 5  5 x = 2 y

20

5 x = x

  x = ±2

* Khai thác bài toán trên nhiều cách giải đối với học sinh lớp 7, rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận, thay thế… Ngoài ra còn định hướng cho học sinh sau này, đối với bài toán giải hệ phương trình lớp 9

=

x y = 2









3) Cho tỉ lệ thức a = c

b d Chứng minh rằng a = c

a- b c- d (ĐS 7)

Cách đơn giản học sinh thường chứng minh: a = c a = b

b d c d (Hoán vị các trung tỉ) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: a = b= a- b a = c

c d c- d  a- b c- d(hoán vị tỉ lệ thức :

a

c= a- b

c- d)

GV phân tích tìm nhiều lời giải khác:

Cách 1: Xét tích a(c – d) và c(a – b)

Ta có: a(c – d) = ac – ad (1) c(a – b) = ca – cb (2) MẶt khác: a = c

b d  ad = bc (3)

Từ (1), (2), (3)  a(c- d) = c(a- b)

Do đó, a = c

a- b c- d

Cách 2: Đặt a = c

b d= k  a = kb,c = kd

khi đó, a

kb- b k-1 (1)

c

kd- d k-1 (2)

Từ (1) và (2)  a = c

a- b c- d

Cách 3: TỪ a = c

=



= a- b c- d

Cách 4: TỪ a = c

b d  ad = bc

Do đó: c

b(c- d) bc- bd

= ad- bd d(a- b)= a

a- b

4) Chứng minh định lý về tính chất đường phân giác trong tam giác (HH8):

-Ngoài cách chứng minh bằng cách vẽ đường thẳng song song với một cạnh và áp dụng hệ quả của ĐL Ta-lét như SGK HH Ta có thể hướng dẫn HS khai thác tìm tòi thêm một số cách chứng minh khác như sau:

Cách 1 : Trên CD lấy điểm E sao cho AE = AD,

khi đó tam giác ADE cân tại A, nên:

Ta có: AEC ADE CDB 

Suy ra: ACE BCD (g-g)

Cho nên: AE AC

BD BC Vì: AE = AD, do đó: DA CA

DB CB(Đpcm)

Cách 2 : Trên CD lấy điểm E sao cho AE = AC,

khi đó tam giác ACE cân tại A, nên:

Ta có: AEC ACE

Suy ra: AED BCD (g-g)

Cho nên: AE DA

CB DB Vì: AE = AC, do đó: DA CA

DB CB(Đpcm)

Cách 3: Từ các đỉnh A, B hạ các đường vuông góc

AE, BF xuống đường thẳng CD

Ta có : AED BDF (g-g) Suy ra: DA EA

DBFB (1) Mặt khác: ACE BCF (g-g) Suy ra: CA EA

CB FB (2); Từ (1) và (2) suy ra:

DA CA

DB CB

Cách 4 : Ta có tỉ số diện tích của hai tam giác có đường cao bằng nhau bằng tỉ số hai

cạnh đáy tương ứng Nên: CDA

CDB

S DA

S DB (1)

Mặt khác theo tính chất của phân giác của một góc, thì đường cao trong hai tam giác CDA và CDB hạ từ đỉnh D bằng nhau Nên: CDA

CDB

S CA

S CB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DA CA

DB CB (Đpcm)

5) Chứng minh định lý: “Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện

bằng180 0 “ (HH9)

 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), ta sẽ chứng minh BAD + BCD 180    0 Ngoài cách chứng minh cộng số đo của hai cung cùng căng một dây như SGK đã hướng dẫn, ta có thể khai thác thêm nhiều cách chứng minh khác nhau như sau:

 Cách 1: Nối BD

Ta có:  1

ABD

2

ADB

2

-Suy ra:   1

ABD + ADB

2

 sđBAD BCD   

Mà: BAD + ABD + ADB = 180    0

Suy ra: BAD + BCD 180    0 (đpcm)

 Cách 2 : Nối AC, BD Ta có:

BAD + ABD + ADB = 180 (1)

ABD = ACD; ADB = ACB

Suy ra: ABD + ADB = ACD + ACB = BCD      (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra BAD + BCD 180    0

 Cách 3 : Qua A kẻ tiếp tuyến xy với (O).

Ta có:  1

BAy =

2sđBmA ;  1

DAx =

2sđDnA Suy ra:   1

BAy + DAx

2

BCD

2

 sđBAD Suy ra: BAD + BCD = BAD + BAy DAx 180        0

 Cách 4 : Nói OA, OB, OC, OD Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA đều cân

tại O

Suy ra: AOB + 2OAB = BOC + 2OCB = COD + 2OCD      

 DOA + 2OAD = 180   0

2(OAB + OAB + OCD + OAD) = 4.180 - (AOB + BOC + COD + DOA)



2(BAD + BCD) 360

 BAD + BCD 180    0 (Đpcm)

 PHƯƠNG PHÁP 4 :

Xây dựng cho học sinh cách giải tổng quát của nhiều bài toán cùng loại

Khi giải bài tập cho học sinh, giáo viên cần phải định hướng, phân tích, tổng hợp đưa ra phương pháp giải cho học sinh để từ đó học sinh có thể áp dụng giải các bài tập tương tự.

 Ví dụ minh họa

1) Từ bài tập chứng minh đẳng thức:

= -n(n+ k) n n+ k (Với k, n   , n 0)  (Số học 6 – ĐS 8) Qua bài tập trên, yêu cầu học sinh làm các bài tập áp dụng)

Tính tổng: A = 3 + 3 + 3 + + 3

B = 3 + 3 + + 3

2) Từ bài toán:

-Tìm ba số x, y, z biết rằng: x = ; =y y z

2 3 4 5 và x + y – z = 10 (Bài 61/31 – SGK toán 7)

Để giải bài toán trên ta phải viết hai tỉ lệ thức: x = y

2 3 và y= z

4 5về dãy tỉ số bằng nhau

8 12 15 Kết hợp với x + y – z = 10, ta tìm được giá trị: x = 16, y = 24, z = 30

 TỪ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:

Nếu biết x = y

a b và y = z

c d ta được dãy tỉ số bằng nhau sau: x = y = z

a b' b.b' d.c'

Trong đó b’= BCNN(b,c)

b

c’= BCNN(b,c)

c

 TỪ bài toán tổng quát trên giúp ta dễ dàng giải được các bài tập sau:

Bài 1: Tìm x, y, z biết x = ; =y y z

3 4 3 5 và 2x – 3y + z = 6 Bài 2: Tìm a, b, c biết 2a = 3b; 5b = 7c và 3a – 7b + 5c = 30

3) Đôi khi từ một bài toán ta lại xây dựng thành một phương pháp giải độc đáo

cho các bài toán cùng loại của nó, hoặc ứng dụng nó để giải các bài toán liên quan:

Chẳng hạn: Ta dễ dàng chứng minh được hằng đẳng thức:

x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) đúng với mọi x, p, q Hằng đẳng thức này tuy đơn giản nhưng ứng dụng của nó trong giải các bài toán hết sức phong phú và có hiệu quả Trước hết ta thấy ngay các hằng đẳng thức đáng nhớ: x2 + 2ax + a2 = (x + a)2;

x2 - 2ax + a2 = (x - a)2; x2 - a2 = (x + a)(x – a) là các trường hợp đặc biệt của hằng đẳng thức trên

-Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:

Giả sử ta cần phân tích một tam thức bậc hai dạng: x2 + ax + b thành nhân tử,

mà ta nhẩm được: a = p + q; b = p.q với p, q là hai số nào đó thì ta có ngay:

x2 + ax + b = (x + p)(x + q)

Vd1: Phân tích: x2 - 5x + 6 thành nhân tử

Vì: -5 = -3 + (-2); 6 = (-3)(-2) nên : x2 - 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)

Vd2: Phân tích: 2 100 3 3

100

A x  x thành nhân tử

Ta nhẩm thấy ngay: 100 3 100 3

100



Vậy: ( 100)( 3 )

100

A x x

Vd3: Phân tích: B = 1 + x – 42x2 thành nhân tử

Viết lại: B = 1 + x – 42x2 = 12 + (7x – 6x).1 + (7x).(-6x)

Vậy ta có ngay: B = 1 + x – 42x2 = (1 + 7x)(1 – 6x)

-Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử: