Commande Non Linéaire d’une Machine Asynchrone sans Capteur Mécanique avec Observateur du Flux Rotorique par Mode Glissant

Commande Non Linéaire d’une Machine Asynchrone sans Capteur Mécanique avec Observateur du Flux Rotorique par Mode Glissant: Điều khiển phi tuyến của một máy tính không đồng bộ mà không cần cảm biến cơ khí với Observer RSS Rotoric bởi chế độ trượt

Commande Non Linéaire d’une Machine Asynchrone sans Capteur

Mécanique avec Observateur du Flux

Rotorique par Mode Glissant

Abdelrahim BENTAALLAH, Abdelkader MEROUFEL, Ahmed MASSOUM, Abdelber BENDAOUD et Karim MEDLES

Résumé — Cet article présente le concept général de la commande non linéaire de la machine

asynchrone avec observateur par mode glissant de flux rotorique et estimateur de vitesse Le découplage entre le flux et la vitesse est réalisé par la technique de linéarisation entrée/sortie Le flux rotorique est estimé par observateur par mode glissant et mis en contre réaction pour la régulation Le capteur mécanique est remplacé par un estimateur de vitesse puis introduit dans la boucle de régulation

Plusieurs essais de simulation sous Simulink/Matlab sont effectués en vue de mettre en évidence les

performances du système de commande

Mots clés — Commande non linéaire, linéarisation, observateur, mode glissant

1 Introduction

Les observateurs non linéaires ne sont

pas très développés devant les observateurs

linéaires Cependant, les chercheurs s’étaient

intéressés à développer des observateurs pour

les systèmes ayant une non linéarité régulière

comme le système des flux rotorique et

statorique au sein de la machine asynchrone

[1,2,3]

Grâce aux propriétés importantes des

systèmes à structure variable, les chercheurs

ont pensé aux observateurs basés sur

l’approche du mode de glissement Ces

observateurs ont la même structure que les

observateurs classiques [6,7,8]

La différence réside dans la contre

réaction qui dépend d’une fonction ‘sign’

Dans cet article, on a opté pour

l’observateur de flux à mode glissant, qui

présente une contre réaction robuste D’autre

part, pour une simplicité de commande non

linéaire avec observateur du flux à mode

glissant, on a préféré l’utilisation d’un estimateur de vitesse en vue d’éliminer le capteur mécanique et de réduire l’encombrement de la machine Cette structure de commande non linéaire simplifiée, présente de bonnes performances avec les régulateurs classiques

2 Modèle non linéaire de la MAS alimentée en tension

Le modèle de la machine dans le référentiel d-q choisi de telle manière que le flux rotorique possède une composante nulle selon l’axe q est donné par les équations d’états suivantes :

U G ) X ( F

Avec :

) x x x x ( ) i

i (

qs ds qs

t 4 3 2

1 ( x ), f ( x ), f ( x ), f ( x ), ) f

( ) x (

C

x

.

L

M

J

1

)

x

(

f

x

L

R

x

.

M

L

R

)

x

(

f

u L

1 x x

x R L

M x x L L

M x ).

L

R L

M

L

.

R

(

)

x

(

f

u L

1 x x

x R L

M x R L

M L

1 x ).

L

R L

M

L

.

R

(

)

x

(

f

r 3

r

4

3 r

r

1

r

r

3

qs s 4 3

2 r r 4 3 r S 2 s

r 2

r

2

s

s

2

ds s 4 3

2 r r 3 r 2 r S 1 s

r 2

r

2

s

s

1

−

=

−

=

+ +

−

− +

−

+ + + +

+

−

σ σ

σ

σ

σ σ

σ

σ

(4)

Où :

r s

2

L L

M

1−

=

r s

2 r s

s

L L

M R L

R

σ σ

λ= ;

s

1 ( x ) 1 L 0 0 0

s

2 ( x ) 0 1 L 0 0

t sq

sd U )

U

(

2.1.Choix des sorties

Le choix des sorties est lié aux objectifs de

commande, on choisit comme sortie x3

(composante du flux rotorique selon l’axe d)

et x4 (la vitesse) [4,5] ; on pose :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

4

3 2

1

x

x ) x ( h

) x ( h )

x

(

2.2.Linéarisation entrée/sortie

La condition permettant de vérifier si le

système non linéaire admet une linéarisation

E/S est la détermination du degré relatif

a) Degré relatif à la sortie Y 1 ( x )

u ).

x ( h L L ) x ( h L ) x

(

h

)

x

(

Y

) x ( h L ) x

(

h

)

x

(

Y

1 f g 1

2 f 1

1

1 f 1

1

+

=

=

=

=

(8)

Le degré relatif associé à Y 1 ( x ) est r1=2

b) Degré relatif à la sortie Y 2 ( x )

u ).

x ( h L L ) x ( h L ) x

(

h

)

x

(

Y

) x ( h L ) x

(

h

)

x

(

Y

2 f g 2

2 f 2

2

2 f 2

2

+

=

=

=

=

(9)

Le degré relatif associé à Y 2 ( x ) est r2=2

Avec :

(x f ( x ) x f ( x ))

JL

M ) x ( h L

) x ( f ) x ( Mf L

R ) x ( h L

3 2 2

3 r 2

2 f

2 1

r

r 1

2 f

+

=

−

=

(10)

Le choix de ces sorties aboutit à une

linéarisation complète d’ordre 4 (r1 +r 2=n= 4) avec n : ordre du système

2.3 Transformation difféomorphisme

Le changement de coordonnées non linéaire nécessaire est donné par le système d’équations suivant [3,4,5]

) x ( f ) x ( h L z

x ) x ( h z

) x ( f ) x ( h L z

x ) x ( h z

4 2

f 4

4 2

3

3 1

f 2

3 1

1

=

=

=

=

=

=

=

=

(11)

L’application du changement de variables (11) au système d’équations (4) aboutit à l’écriture suivante :

2 2 2 f g 2

2 f 4

4 3

1 1 1 f g 1

2 f 2

2 1

v u ) x ( h L L ) x ( h L z

z z

v u ) x ( h L L ) x ( h L z

z z

= +

=

=

= +

=

=

(12)

2.4 Loi de commande non linéaire

Pour avoir une linéarisation E/S complète d’ordre 4 en boucle fermée, il faut appliquer le retour d’état non linéaire, à condition que Φr ( 0 )≠0 :

) x ( D

Où

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

r s 3

r s r

L L J

Mx 0

0 L

L

MR )

x ( D

σ

σ

(14)

est la matrice de découplage, avec :

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

) x ( h L

) x ( h L ) x ( A

2

2 f 1

2 f

(15)

L’application de la loi (13) au système

d’équation (12) aboutit au modèle linéaire

(16) schématisé par la figure 1

2

z =

1

z =

(16)

4

3 z

z =

2

4 v

z =

3 Commande par imposition de

trajectoire

Pour poursuivre des trajectoires de

référence du flux ( Z 1ref) et de vitesse ( Z 3ref)

avec une certaine dynamique, on impose au

système linéarisé des pôles stables répondant

aux performances désirées (polynôme

d’Hurwitz) Les entrées v 1, v 2 peuvent être

calculées de la façon suivante :

21

2

ref 1 ref 1 12 1 ref

1

11

1

z z z k z z

k

v

z z z k z z

k

v

+

− +

−

=

+

− +

−

=

(17)

Les équations d’erreur de poursuite

deviennent :

0 e k e

k

e

0 e k e

k

e

2 21 2 22

2

1 11 1

12

1

= +

+

= +

+

(18) Avec : e 1 =z 1 ref −z 1

3 ref 3

Les coefficients K ij (i = 1,2 ; j = 1,2)

sont choisis de manière à satisfaire le

polynôme d’Hurwitz

0 s s k

12

(19)

0 s s k

22

Comme le flux est difficilement

accessible, il est préférable de l’estimer par

un observateur en vue de le contrôler par un régulateur classique

4 Structure générale d’un observateur par mode glissant

Considérons le système non linéaire suivant :

) , , (x u t f

2

variables mesurables qui sont reliées linéairement avec les variables d’état ; [6,7,8]

Cx

Si le système est observable, l’objectif

de l’observateur est de donner la meilleure estimation des variables d’état à partir des mesures sur la sortie y et sur l’entrée u

Nous définissons l’observateur par la structure suivante [8,9] :

s

u t u y x f

xˆ= ˆ, , , )+Λ (22) Avec :

est de même dimension que

fˆ est le modèle d’estimation

Λ est la matrice des gains de dimension n×r (r est la dimension de u)

est un vecteur définit par :

s

u

r 2

1

s sign ( s ) sign ( s ) sign ( s )

[s s 2 … s r]t =S =Γ[y−C xˆ] (24)

Γ est une matrice carrée (r x r) à déterminer

d’erreur

Nous définissons aussi le vecteur

ˆ

e x x= − en soustrayant les équations (21) et (19), ensuite nous obtenons :

s

u f

Avec

) t , u , y , xˆ ( f ) t , u , x ( f

Δ

Le vecteur surface S=0 est attractif, si :

i

i S

S < 0 pour i= 1, r (26) Durant le mode de glissement, le terme

de commutation (22) est nul Car le vecteur surface et sa dérivée sont nuls (S≡S≡0)

1 z

v =

2 z

v = z 4 =

1

z = x

3

z = x

Fig 1 Système découplé et linéaire

La grandeur équivalente du terme de

commutation est donnée comme suit :

0 )

~ (Δ −Λ =

Donc, on peut écrire :

f C C

u~s =(Γ Λ)−1Γ Δ (28)

La matrice doit être inversible

Cela constitue la première exigence sur le

choix de et Γ La dynamique de l’erreur

est gouvernée par l’équation (29)

Λ

Γ C Λ

f C C

I

e=( −Λ(Γ Λ)− 1Γ )Δ

(29)

Le choix des matrices et et le

modèle est donc décisif pour assurer la

convergence de l’erreur vers zéro

fˆ

5 Observateur par mode de glissement

(MG) du flux rotorique

L’objectif est d’estimer les composantes

du flux rotorique (Φdr ,Φqr ) à base des

courants et des tensions statoriques qui sont

facilement mesurables

Le vecteur sortie utilisé pour

l’estimation est donné par :

x 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 x

C

Considérons maintenant le système du

moteur asynchrone en tenant compte des

variables i ds , i qs , Ф dr , Фqr ; les variables à

observer sont donc : iˆ ds , iˆ qs ,Φˆ dr ,Φˆ qr

Le système à observer est :

1 1

ds ds s qs dr r qr ds

qs s ds qs r dr qr qs

dr ds dr sl qr

r r

qr qs sl dr qr

M i

M i

σ

σ ω

ω

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪⎩

v

v (31)

Le modèle de l’observateur est :

1

2

1

2

ˆ

ˆ

1

1

M

σ

σ ω

ω

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪⎩

u

u (32)

Fig 2 Schéma de principe d’un observateur par

mode glissant Mode de glissant

Nous définissons la matrice des gains comme suit :

[ 1 2]

j

Λ = pour i = 1,2 et j = 1,2

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= 2

1

1 1

Λ

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= 2

2

1 2

Λ Λ

Pour avoir l’erreur d’observation, nous soustrayons (31) de (32), ce qui donne :

2 1

1 1

1 2

2 2

1 1

1

1

r

r

r

r

T

T

u T

u T

ω

ω

ω

ω

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪Φ = − Φ + Φ − Λ

⎪

⎪

⎪Φ = − Φ − Φ − Λ

⎪⎩

u

(33)

2 1

s sign ( s ) sign ( s )

u =

et (y yˆ)

s

s S

2

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Le vecteur d’erreur est : e=[I S Φr] Posons les représentations matricielles suivantes :

[0 1]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

r r

r r

1

T

1 k k

k T

1

k

A

ω

ω

,

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

r sl

sl r 2

T 1 T

1 A

ω ω

Le système (31) devient :

1

1

s

⎧ = Φ − Λ

⎪

⎨

Φ = Φ − Λ

La surface S =Γ( y−yˆ )=Γ y,

d’ó

s

I

La fonction de Lyapunov est : [9,10,11]

S S

2

1

d’ó la dérivée V ,

s

t I

S

Notons que dΓ dt doit être nulle

Après un calcul intermédiaire, nous

obtenons :

s

1 1

t r 1

S

En posant , il suffit de

vérifier la condition (37) pour satisfaire la

condition d’attractivité des surfaces

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1 1

0

0

δ

δ Λ Γ

r 1

t 2 2 1

La détermination des gains se fait selon

deux étapes :

- La première consiste à satisfaire la

condition d’attractivité :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= −

2

1 1

1

0

0

δ

δ Γ

- La deuxième consiste à imposer pour

l’erreur une dynamique de convergence

exponentielle

Lorsque le régime de glissement est

établit (I s = et 0 I s =0), nous avons alors :

r 1

1

1

s

Par substitution, l’erreur sur Φr

devient :

1 1 2 2

Pour que l’erreur converge exponentiellement, nous devons poser :

r

constantes positives

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

q 0

0 q

D’ó :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +

2

1 1 1 1 2 2

0

0 )

A Q (

δ

δ Γ Λ

Pour une raison de simplification, nous posons :

1 1

−

=Λ

La condition dΓ dt =0 est vérifiée en considérant que la vitesse est suffisamment lente devant la dynamique de l’observateur

Ce qui en résulte :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1 1 1

0

0 A

δ

δ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

2

1 2

0 )

A Q (

δ

δ

Par développement, nous obtenons :

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

r r

r r

2 r 2

1 k k

k T

1 k

k T

1 k

1

ω

ω ω

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

r 2 r 2

r 1 r 1 1

T

1 k k

k T

1 k

δ ω δ

ω δ

δ

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

r 2 2 sl 2

sl 1 r

1 2

T

1 q T

1 q

δ ω

δ

ω δ δ

Ainsi, la condition d’attractivité devient comme suit :

r S S

2 2 1

La dynamique de l’observateur doit être

plus rapide que celle du système à observer ;

cela exige un choix convenable des

constantes : δ1,δ2,q1,q2

6 Estimateur de la vitesse rotorique

Les équations d’état de la machine

asynchrone exprimée dans un espace

vectoriel sont [12]:

r 22 s 21 r

s 1 r 12 s 11

s

a i.

a

dt

d

v B a i.

a

dt

i

d

Φ Φ

Φ

+

=

+ +

=

Où :

11

12

2

;

1

1

1

S

r

r

D

a

L

M

σ

ω σ

ω σ

= −

Fig 3 Schéma de simulation de la commande non

linéaire MAS avec observateur MG de flux et estimateur

de vitesse rotorique

=

Ce système d’équation peut être

réarrangé comme suit :

r r r r r r

s s s 2

r

2

r

s

L

M T L

M dt i d L i ).

L

M

R

R

(

v = + + σ − Φ + ω Φ (53)

Considérant que les vecteurs tension,

courant et flux rotorique peuvent êtres

exprimés sous forme complexe, à partir de

l’équation (VI.1), on déduit la vitesse

rotorique estimée :

r 2

s s s s r s s s

s

r

r

L

M ˆ

dt

di L i.

D v ( ˆ ) dt

di L i.

D

v

(

ˆ

ˆ

Φ

σ Φ

σ Φ

ω

α α

α β β β

β

=

(54)

7 Simulation

Nous simulons le comportement de

l’observateur du flux rotorique et de la vitesse

en utilisant le schéma de la figure 3

Fig 4 Réglage de la MAS sans capteur

mécanique

Les figures 4, 5 et 6 montrent que le

système est découplé et que les réponses sont

sans erreurs statique et sans dépassement

Nous remarquons aussi que l’intégration de

l’observateur n’a pas d’influence sur les

performances du réglage D’autre part, le flux Φ est orienté dans la direction ‘d’ r (Φdr=Φr ;Φqr =0) Nous remarquons aussi que les flux observés convergent rapidement

vers les flux réels et ne les quittent pas

ultérieurement

Dans cet article, nous avons présenté la

commande non linéaire d’une machine

asynchrone sans capteur mécanique avec

observateur du flux rotorique à mode glissant

Le découplage est obtenu par la technique de

linéarisation E/S du modèle de la machine

asynchrone dans le repère dq Le contrôle du

flux rotorique est réalisé par un correcteur

classique Le flux est estimé par un

observateur MG, la vitesse est déterminée par

un estimateur et contrôlée par un régulateur

classique Le flux observé et la vitesse

estimée convergent rapidement vers les

variables réelles correspondantes Les

performances de ce système de contrôle sont

satisfaisantes et prometteuses

Fig 5 Réglage de la MAS sans capteur

mécanique : réponse de la vitesse

Fig 6 Réglage de la MAS sans capteur

mécanique : réponse du flux

éférences

oufle, G Georgiou, I.P Louis,

f speed non linear

R

1 B Le Pi

“ Application des commandes NL pour la régulation en vitesse ou en position de la machine synchrone autopilotée “, Revue physique appliquée 1990, PP 517-527

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3 B Belabbes, “ Commande linéarisante d’une

machine synchrone à aimants permanents“, Thèse

de magister U Sidi bel abbes 2001

4 Hyungbo Shim and Jin Heon Seo, “ Non-Linear

Output feedback stabilization on a bounded region

of attraction“, INT.J Control, 2000

5 A Bentaallah, A Meroufel, A Massoum,

M.K Fellah, “ Réglage et linéarisation

entrée-sortie d’une machine asynchrone alimentée en

tension“ ICEL 2005 International Conference on

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6 J.J Slotine, J.K Hedrik, and E.A Misawa, “On

sliding observers for nonlinear systems,” ASME J

Dynam Syst Meas., vol 109, pp 245- 252, Sept

1987

7 A Kerboua, “ Commandes et observateurs par

mode glissant: Application a une machine

asynchrone alimentée en tension“ Thèse de

magister, ENP 1999

8 G.C Verghese, “Observers for Flux estimation in

Induction Machines”, IEEE Trans on Ind Elec.,

Vol 35,No 1, February 1988, pp 85-94

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principles and applications to electric drives”,

IEEE Trans Indus Electro., 40, 26-36

10 Dote Y et Anbok “Combined parameter and state

estimation of controlled current induction motor

drive system via stochastic non linear filtering

technique”, In IAS Annual Meeting Cleveland,

p 838-842, 1979

11 Djemai M., Hernandez J et Barbot J.P., “Nonlinear

control with flux observer for a singularly

perturbed induction motor”, In IEEE Conf on

Decision And Control, 33, p.3391-3396, 1993

12 S Sthiakumer, “Dynamic flux observer for

induction motor speed control”, Lecturer in school

of electrical and information engineering

University of Sydney, NSW2206, Australia

Paramètres de la MAS

P = 1.5 kW p = 2

U = 380/220 -50 Hz N = 1450 tr/mn

I = 3/6 A, M = 0.258 H

R s = 4.85 Ω, R r = 3.81 Ω

L s = 0.274 H, L r = 0.274 H

J = 0.031 Kgm 2 , f = 0.0114 Nm/rd/s

Notations utilisées

sd

v : Tension statorique instantanée dans l’axe d

sq

v : Tension statorique instantanée dans l’axe q

sd

i : Courant statorique instantané dans l’axe d

sq

i : Courant statorique instantané dans l’axe d

s

ω : Pulsation statorique

sl

ω : Vitesse de glissement

r

Ω : Vitesse mécanique de rotation

e

C : Couple électromagnétique

r

C : Couple résistant

Φ : Flux

Φˆ : Flux estimé

) x ( h

Lf : Dérivée de Lie de h(x) le long de f(x) D(x) : Matrice de découplage

z i (1,2,…) :Changement de variable

v 1, v 2 : Commande linéaire

e : Erreur d’estimation

K : Gain d’observation

s

Vˆ: Représente le vecteur des tensions observées

Λ : Matrice des gains de dimension (n x r)

Γ : Matrice carrée (r x r)

S : Vecteur surface

fˆ : Modèle d’estimation

Q : Matrice carrée

1

δ , δ2,q 1,q 2 Constantes

Abdelrahim BENTAALLAH e.mail: ba_asmo@yahoo fr

Abdelkader MEROUFEL e-mail : ameroufel@yahoo.fr

Ahmed MASSOUM e-mail : ahmassoum@yahoo.fr

Abdelber BENDAOUD e-mail : babdelber@univ-sba.dz

Karim MEDLES e-mail : kmeldes1972@yahoo.fr

Laboratoire I.C.E.P.S Département Electrotechnique Faculté des Sciences de l’Ingénieur Université Djillali Liabes

BP 89 Sidi Bel Abbes 22000, Algérie