Tiểu luận môn Toán cho khoa học máy tính LÝ THUYẾT LOGIC VỊ TỪ

Ngày nay, dưới tác động của cách mạng khoa học – công nghệ hiện đại, logic họchình thức phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logichọc hiện đại, như logic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

MSHV: CH1301002

TP HCM, 12/2013

MỤC LỤC

I./ MỞ ĐẦU 2

II./ NỘI DUNG 3

1./ Một số khái niệm 3

a./ Thế nào là logic 3

b./ Logic toán là gì 4

2./ Logic vị từ 5

a./ Khái niệm về vị từ 5

b./ Không gian của vị từ 6

c./ Trọng lượng của vị từ 6

d./ Phép toán vị từ 7

e./ Các lượng từ 8

f./ Công thức tương đương 9

g./ Công thức chỉnh dạng (well – formed formulas) 12

h./ Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ cấp 1 13

i./ Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex 17

j./ Luật suy diễn 17

k./ Ví dụ 19

3./ Ứng dụng 20

a./ Các phép toán bit 20

b./ Thuật toán các phép tính số nguyên 21

c./ Xét bài toán cộng hai số nguyên ở dạng nhị phân 21

d./ Bài toán nhân hai số nhị phân 22

III./ KẾT LUẬN 22

Tài liệu tham khảo 23

I./ MỞ ĐẦU:

Trong cuộc sống hằng ngày, mọi hoạt động của con người đều thông qua tư duycủa họ Khác với hành động của con vật mang tính bản năng, hành động của con ngườiluôn mang tính tự giác Con người, trước khi bắt tay vào hoạt động thực tiễn cải tạo thếgiới, đều đã có sẵn dự án trong đầu Sự khác biệt ấy là vì con người có tư duy và biết vậndụng sức mạnh của tư duy vào việc thực hiện các mục đích của mình Trong quá trìnhhoạt động đó, con người dần dần phát hiện ra các thao tác của tư duy

Nói đến tư duy logic thì nhân loại, ở châu Phi hay ở châu Âu, ở châu Á hay ở châu

Mỹ, từ Albert Einstein cho đến mỗi người chúng ta, ai ai trong đầu cũng đều có so sánh,phán đoán, suy lý, trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về các hiện tượng, sự vật xung quanh.Nghĩa là tự nhiên ban cho con người bộ não hoạt động tư duy với các quy luật logic vốn

có, khách quan ở tất cả mọi người và mọi dân tộc

Cùng với sự phát triển của thực tiễn và của nhận thức, con người càng ngày càng

có sự hiểu biết đầy đủ hơn, sâu sắc hơn, chính xác hơn về bản thân tư duy đang nhậnthức Chính quá trình hiểu biết ấy là cơ sở tạo ra sự phát triển của logic học Các quy luậtcủa tư duy logic là phổ biến cho toàn nhân loại

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học Kể từgiữa thế kỉ 19, logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật

Ngày nay, dưới tác động của cách mạng khoa học – công nghệ hiện đại, logic học(hình thức) phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logichọc hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái,logic học xác suất, v.v Các bộ môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc béngiúp tư duy con người ngày càng đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thế giới kháchquan

Sự ra đời của lôgíc mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển của lôgíchọc, chuyển từ lôgíc học truyền thống đến lôgíc học hiện đại Sử dụng toàn bộ nhữngkhái niệm của lôgíc mệnh đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phân tích cácthành phần của mệnh đề, người ta đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụnghai hằng lôgíc quan trọng, lượng từ toàn thể và lượng từ bộ phận Sự ra đời của lôgíc vị

từ đã khắc phục những hạn chế của lôgíc mệnh đề như: thiếu việc sử dụng các lượng từtoàn thể và bộ phận, không phân tích kết cấu của các mệnh đề Sự khắc phục này chophép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ramột khả năng nghiên cứu tính chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủhơn Sau đây em xin trình bày về lý thuyêt logic vị từ và một số ứng dụng của nó

II./ NỘI DUNG:

1./ Một số khái niệm:

a./ Thế nào là Logic:

Logic hay luận lý học, nghĩa nguyên thủy là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng

trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lýtrí) Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá cácluận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữacác triết gia Tuy nhiên khi môn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn nhưcũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụybiện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ khônghợp lý

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học Kể từgiữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật Gần đây nhấtlogic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo Là một ngành khoa họchình thức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả haiđều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiêncứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên Tầm bao quát của logic do vậy là rất rộng, đi từ các đềtài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và nghịch lý, đến những phân tíchchuyên gia về lập luận, chẳng hạn lập luận có xác suất đúng và các lý lẽ có liên quan đếnquan hệ nhân quả Ngày nay, logic còn được sử dụng phổ biến trong lý thuyết lý luận

Qua suốt quá trình lịch sử, đã có nhiều sự quan tâm trong việc phân biệt lập luậntốt và lập luận không tốt, và do đó logic đã được nghiên cứu trong một số dạng ít nhiều làquen thuộc đối với chúng ta Logic Aristotle chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận thếnào cho tốt, và ngày nay vẫn được dạy với mục đích đó, trong khi trong logic toán học vàtriết học phân tích (analytical philosophy) người ta nhấn mạnh vào logic như là một đốitượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở một mức độ trừu tượng hơn

Các quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích rằng logic không phải là đượcnghiên cứu trong chân không Trong khi logic thường có vẻ tự cung cấp sự thúc đẩychính nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do mà chúng ta quan tâm đến logic đượcđặt ra một cách rõ ràng

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của logic học, người ta tiến hành phân loại các hệthống Lôgíc học theo những các khác nhau và logic toán là kết quả toán học hóa logic

b./ Logic toán là gì:

Logic toán là một ngành con của toán học nghiên cứu các hệ thống hình thức trong

việc mã hóa các khái niệm trực quan về các đối tượng toán học chẳng hạn tập hợp và số,chứng minh toán học và tính toán Ngành này thường được chia thành các lĩnh vực con

như lý thuyết mô hình (model theory), lý thuyết chứng minh (proof theory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy (recursion theory) Nghiên cứu về logic toán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations of mathematics).

Các tên gọi cũ của logic toán là logic ký hiệu (để đối lập với logic triết học) hay mêta toán học.

Logic toán không phải là logic của toán học mà là toán học của logic Ngành này

bao gồm những phần của logic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toánhọc Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy toán học như lý thuyết mô hình và lýthuyết đệ quy, trong đó, khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm

Logic toán được xây dựng trên cơ sở logic mệnh đề và logic vị từ.

đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên đề (nếu

là hệ toán logic tiên đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta có thểthu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tuỳ thuộc giá trị chân lícủa các tiền đề và việc áp dụng các lập luận logic

 Logic vị từ:

Logic mệnh đề nhờ bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vào ngôn ngữhình thức hoá của phép toán logic mệnh đề Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyển thành đại

số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ

Nếu logic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học chính xác vàchặt chẽ đối với các phán đoán thì LVT, hơn thế nữa, còn cho phép thực hiện các phépbiến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm Do đó, LVT không chỉ chính xác

hoá cơ sở logic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở logic của hệ thống kháiniệm.

2./ Logic vị từ:

Trong toán học hay trong chương trình của máy tính, chúng ta thường gặp nhữngcâu có chứa các biến như sau : "x > 3", "x = y + 3", "x + y = z" Các câu này khôngđúng cũng không sai vì các biến chưa được gán cho những giá trị xác định Câu "x > 3"

có hai bộ phận: bộ phận thứ nhât là biến x đóng vai trò chủ ngữ trong câu; bộ phận thứhai "lớn hơn 3" đóng vai trò vị ngữ của câu, nó cho biêt tính chât mà chủ ngữ có thể có

Có thể ký hiệu câu "x lớn hơn 3" là P(x) với P là ký hieu vị ngữ "lớn hơn 3" và x là biên.Người ta cũng gọi P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x Xét trong tập hợp các số thực,một khi biến x được gán giá trị cụ thể thì câu P(x) sẽ có giá trị chân lý Chẳng hạn P(4) làđúng còn P(2, 5) là sai Hàm mệnh đề cũng có thể xét trong tập các số nguyên, số thựchay số phức, vv…Do đó, chúng ta sẽ xem xét cách tạo ra những mênh đề từ những câunhư vậy

a./ Khái niệm về vị từ:

Một vị từ là một khẳng định P(x, y,…) trong đó có chứa một số biến x, y,…Lấygiá trị trong những tập hợp A, B,… cho trước, sao cho:

o Bản thân P(x, y, …) không phải là mệnh đề

o Nếu thay x, y, …bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A, B, … cho trước ta

sẽ được một mệnh đề P(x, y, …), nghĩa là khi đó chân trị của P(x, y, …) đượcgọi là các biến tự do của vị từ

Ví dụ: Các câu có liên quan tới các biến như: "Số tự nhiên n chia hết cho 5"

Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu Nhưng câu này chưa phản ánh tínhđúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề Song nếu tathay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:

- Thay n = 100 ta được mệnh đề đúng: "Số 100 chia hết cho 5"

- Thay n = 101 ta được mệnh đề sai: "Số 101 chia hết cho 5"

Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặckhông có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của

vị từ

Vi dụ: Câu {n là lẻ} là một vị từ Nhưng khi cho n là một số cụ thể là chẵn hay là

lẻ ta được một mệnh đề:

- n = 2: {2 là lẻ}: mệnh đề sai

- n = 5: {5 là lẻ}: mệnh đề đúng

Vị từ {n là lẻ} có 2 phần Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu Phần thứ hai

"là lẻ" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có

b./ Không gian của vị từ:

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc tập hợp E tađược một ảnh P(x) ∈ {ϕ, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ Không giannày sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai

đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ

Ví dụ: Cho vị từ P(x, y, z) = {x + y = z}

- Cho x = ϕ: Q(y, z) = P(ϕ, y, z) = {ϕ + y = z}

Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

- "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai)

- "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y)

⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬thích (X, Y)

Ví dụ: Cho vị từ "Quả bóng màu xanh" Phép toán vị từ cho phép mô tả theo quan

hệ tri thức theo dạng: (quả bóng, xanh)

Cách thể hiện này thuận tiện đối với việc dùng biến và hàm trong xử lý tri thức.Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, để lập trình trên các vị từ người ta sử dụng ngôn ngữProlog Đó là một ngôn ngữ cấp cao có đặc điểm gần với ngôn ngữ tự nhiên, do ôngC.Cameraller (Đại học Marseilles, Pháp) và nhóm đồng sự cho ra đời năm 1973

 Hằng:

Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ các hằng được ký hiệu bởi cácchữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính

 Biến:

Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính Biếnđược viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa Vậy có thể dùng vị từ có biến để thểhiện các vị từ tương tự.

Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y"

Quả bóng xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ X, Y làbiến

 Các vị từ:

Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần Vị từ vàtham số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng đểkhẳng định về đối tượng

Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y)

Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các kýhiệu thay cho các đối tượng của bài toán

Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số

Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của nhau

Ta co hàm số được viết để thể hiện quan hệ này

 Lượng từ tồn tại (∃):

Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng"

là một mệnh đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) làđúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x)

o Ký hiệu: ∃x P(x)

 Lượng từ với mọi (∀):

Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là mộtmệnh đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề đượcgọi là lượng từ với mọi của P(x)

o Ký hiệu: xP(x)∀xP(x)

Ý nghĩa của lượng từ "với mọi" và lượng từ "tồn tại" được rút ra trong bảng sau:

∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử x Có ít nhất 1 phần tử x để P(x)

∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để P(x) là

đúng

P(x) là sai với mọi phần tử x

Ví dụ: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn}

Xét chân trị của hai mệnh đề ∀xP(x) và ∃xP(x)

Giải:

- ∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5

- ∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúngkhi x = 10

Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề

xP(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Có nghĩa là

∀xP(x)

x P(x) P(e1)

∀xP(x) ⇔ P(e1) ∧ P(e2) ∧ ∧ P(en) là đúng

Tương tự xP(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là xP(x) P(e1) v P(e2) v v P(en) là đúng.⇔ P(e1)

Ví dụ: Cho P(a, b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5}

Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau:

∃(a,b) P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng (a, b) sao cho a

+ b = 5}

T

∃b∀a P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng b sao cho cho

mọi số nguyên tương ứng a ta có a + b = 5} F

∀a∃b P(a,b) {Mọi số nguyên tương ứng a, hiện hữu một số nguyên

tưng ứng b sao cho a + b = 5}

T

∃a∀b P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng a sao cho cho

mọi số nguyên tương ứng b ta có a + b = 5} T

∀b∃a P(a,b) {Mọi số nguyên tương ứng b, hiện hữu một số nguyên

tương ứng a sao cho a + b = 5}

T

 Các định lý:

 Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:

o ∀a∀b P(a, b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị

- Nghĩa là : ∀a∀b P(a, b) ↔ ∀b∀a P(a, b)

- Ký hiệu: ∀(a, b) P(a, b)

o ∃a∃b P(a, b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị

- Nghĩa là: ∃a∃b P(a, b) ↔ ∃b∃a P(a, b)

- Ký hiệu: ∃(a, b) P(a, b)

o Nếu ∃a∀b P(a, b) là đúng thì ∀b∃a P(a, b) cũng đúng nhưng điều ngược lạichưa đúng Nghĩa là: ∃a∀b P(a, b) → ∀b∃a P(a, b)

o Nếu ∃b∀a P(a,b) là đúng thì ∀a∃b P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lạichưa đúng Nghĩa là: ∃b∀a P(a, b) → ∀a∃b P(a, b)

o ¬∃x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợprỗng Nghĩa là, tập hợp những phần tử x mà ở chúng P(x) là sai là tập E haykhông có phần tử nào làm P(x) đúng Ta có∀x (¬P(x)).

Ví dụ: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3" là "Tồn tại ít nhất một

số nguyên n không chia chẵn cho 3"

Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng

liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế nhữngđịnh lượng với mọi bởi tồn tại , tồn tại bởi với với mọi và sau cùng thay thế vị từ∀xP(x) ∀xP(x)bằng phủ định của vị từ đó

 Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.

o Tập họp B E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là⊂ E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) làđúng

Khi đó người ta lưu ý rằng, A B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng mệnh∧ B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng mệnh

đề P(x) ∧ Q(x) là đúng Trong khi đó A v B là tập hợp những x của E mà ở đó mệnh đềP(x) ∨ Q(x) là đúng

f./ Công thức tương đương:

A tương đương B nếu và chỉ nếu (A → B) ∧ (B → A)

- Ký hiệu: A ≡ B |= (A →B) ∧ (B →A)

 Các phép tương đương:

- ~∀x W(x) ≡ ∃x ~W(x)