Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG DỤNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG QUẢN LÝ CÂY PHẢ HỆ

Logic thường được nhắc đến như là một ngànhnghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn làvấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia.. Tầm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Bài thu hoạch môn:

Toán cho khoa học máy tính

PHỤ LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3

PHẦN 1:MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ LOGIC TOÁN 4

I Thế nào là logic? 4

II Logic toán là gì? 5

1 Logic mệnh đề 5

2 Logic vị từ 6

PHẦN 2:LÝ THUYẾT VỀ LOGIC VỊ TỪ 7

I Khái niệm về vị từ 7

II Không gian của vị từ 8

III Trọng lượng của vị từ 8

IV Phép toán vị từ 9

1 Hằng: 9

2 Biến: 9

3 Các vị từ 10

4 Hàm 10

V Các lượng từ 10

1 Lượng từ tồn tại (∃) 10

2 Lượng từ với mọi ( ∀) 11

VI Công thức tương đương 12

1 Các phép tương đương 13

2 Các phép tương đương có giới hạn 13

3 Một vài điều kiện không tương đương 14

VII Công thức chỉnh dạng (well – formed formulas) 14

1 Công thức chỉnh dạng ( Wff) được xây dựng như sau 14

2 Từ Wff sang mệnh đề 14

3 Sự tương đương 15

VIII Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ 15

IX Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex 18

X Luật suy diễn 20

XI Ví dụ 21

1 Diễn đạt các câu thông thường thành biểu thức logic 21

2 Diễn đạt biểu thức logic thành các câu thông thường 23

PHẦN 3:ỨNG DỤNG - CHƯƠNG TRÌNH CÂY PHẢ HỆ 25

I Giới thiệu 25

II Chương trình 25

1 Các tập sự kiện - luật: 25

a Sự kiện 25

b Luật 25

2 Giao diện 27

KẾT LUẬN 31

1 Nhận xét: 31

2 Hướng phát triển 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học có vai trò vô cùng quan trọng trong mọi lĩnh vực đời sống của conngười, đặc biệt là lĩnh vực khoa học công nghệ Toán học giúp chúng ta biểu diễn trithức, xây dựng mô hình ứng dụng, diễn tả ngôn ngữ tự nhiên…Trong những tri thứcmênh mông của toán học, logic học bao gồm logic mệnh đề, logic vị từ, logic mờ,… ngàycàng góp phần quan trọng vào thành công của khoa học máy tính Sự phát triển mạnh mẽcủa công nghệ tri thức, trí tuệ nhân tạo là bằng chứng minh họa sinh động nhất về tínhứng dụng của toán học trong tin học hiện đại

Trong khuôn khổ bài thu hoạch, em xin trình bày nội dung về lý thuyết logic vị từ.Trên cơ sở đó, thiết kế ứng dụng kết hợp giữa ngôn ngữ lập trình C# và ngôn ngữ lậptrình Prolog (ngôn ngữ dựa trên nền tảng logic vị từ) để xây dựng phần mềm hổ trợ các

tập luật suy diễn trên CÂY PHẢ HỆ.

Em xin cảm ơn những kiến thức nền quý báo của PGS TS Nguyễn Phi Khứ đã

truyền đạt cho em, để em có cơ sở nghiên cứu và tìm hiểu nhiều hơn, sâu hơn về ứngdụng của toán học Kính chúc thầy luôn mạnh khỏe và đạt được nhiều thành công trongcông tác

Do quá trình nghiên cứu cũng như kiến thức và tài liệu còn nhiều hạn chế nên bàiviết còn nhiều thiếu sót, chưa được đầy đủ Em mong nhận được sự góp ý của Thầy đểbài viết được thực sự hoàn chỉnh hơn

PHẦN 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ LOGIC TOÁN

I THẾ NÀO LÀ LOGIC?

Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy

là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có ýnghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí) Logic thường được nhắc đến như là một ngànhnghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn làvấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia Tuy nhiên khi môn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo Là một ngành khoa học hình thức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiêncứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên Tầm bao quát của logic do vậy là rất rộng, đi từ các đề tài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và nghịch lý, đến những phân tích

chuyên gia về lập luận, chẳng hạn lập luận có xác suất đúng và các lý lẽ có liên quan đến quan hệ nhân quả Ngày nay, logic còn được sử dụng phổ biến trong lý thuyết lý luận

Qua suốt quá trình lịch sử, đã có nhiều sự quan tâm trong việc phân biệt lập luận tốt và lập luận không tốt, và do đó logic đã được nghiên cứu trong một số dạng ít nhiều làquen thuộc đối với chúng ta Logic Aristotle chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận thế nào cho tốt, và ngày nay vẫn được dạy với mục đích đó, trong khi trong logic toán học vàtriết học phân tích (analytical philosophy) người ta nhấn mạnh vào logic như là một đối tượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở một mức độ trừu tượng hơn

Các quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích rằng logic không phải là được nghiên cứu trong chân không Trong khi logic thường có vẻ tự cung cấp sự thúc đẩy

chính nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do mà chúng ta quan tâm đến logic được đặt ra một cách rõ ràng.

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của logic học, người ta tiến hành phân loại các hệ thống Lôgíc học theo những các khác nhau và logic toán là kết quả toán học hóa logic

II LOGIC TOÁN LÀ GÌ?

Lôgic toán là một ngành con của toán học nghiên cứu các hệ thống hình thức trong

việc mã hóa các khái niệm trực quan về các đối tượng toán học chẳng hạn tập hợp và số,chứng minh toán học và tính toán Ngành này thường được chia thành các lĩnh vực con

như lý thuyết mô hình (model theory), lý thuyết chứng minh (proof theory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy (recursion theory) Nghiên cứu về lôgic toán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations of mathematics).

Các tên gọi cũ của lôgic toán là lôgic ký hiệu (để đối lập với lôgic triết học) hay mêta toán học.

Lôgic toán không phải là lôgic của toán học mà là toán học của lôgic Ngành này

bao gồm những phần của lôgic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toánhọc Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy toán học như lý thuyết mô hình và lýthuyết đệ quy, trong đó, khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm.Logic toán được xây dựng trên cơ sở logic mệnh đề và logic vị từ

đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên đề (nếu

là hệ toán lôgic tiên đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta có thể

thu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tuỳ thuộc giá trị chân lícủa các tiền đề và việc áp dụng các lập luận lôgic.

 Những sự tương đương sau không biểu diễn được bằng logic mệnh đề

"Không phải tất cả bánh đều ăn được" và "Chỉ một số bánh ăn được"

"Not all integers are even" và "Some integers are not even"

Để suy diễn, mỗi mệnh đề phải được liệt kê riêng lẽ

2 Logic vị từ

Logic vị từ ra đời để khắc phục những hạn chế vừa nêu của logic mệnh đề Vềthực chất, là sự mở rộng logic mệnh đề nhờ bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mớivào ngôn ngữ hình thức hoá của phép toán logic mệnh đề Kết quả, đại số mệnh đề sẽchuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ

Nếu logic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học chính xác vàchặt chẽ đối với các phán đoán thì logic vị từ, hơn thế nữa, còn cho phép thực hiện cácphép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm Do đó, logic vị từ không chỉchính xác hoá cơ sở logic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở logic của hệthống khái niệm

PHẦN 2: LÝ THUYẾT VỀ LOGIC VỊ TỪ

Trong toán học hay trong chương trình của máy tính, chúng ta thường gặp nhữngcâu có chứa các biến như sau : "x>3", "x=y+3", "x+y=z" Các câu này không đúng cũngkhông sai vì các biến chưa được gán cho những giá trị xác định Câu "x > 3" có hai bộphận: bộ phận thứ nhất là biến x đóng vai trò chủ ngữ trong câu; bộ phận thứ hai "lớnhơn 3" đóng vai trò vị ngữ của câu, nó cho biết tính chât mà chủ ngữ có thể có Có thể kýhiệu câu "x lớn hơn 3" là P(x) với P là ký hiệu vị ngữ "lớn hơn 3" và x là biến Người tacũng gọi P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x Xét trong tập hợp các số thực, một khibiến x được gán giá trị cụ thể thì câu P(x) sẽ có giá trị chân lý Chẳng hạn P(4) là đúngcòn P(2,5) là sai Hàm mệnh đề cũng có thể xét trong tập các số nguyên, số thực hay sốphức, vv…Do đó, chúng ta sẽ xem xét cách tạo ra những mệnh đề từ những câu như vậy

I KHÁI NIỆM VỀ VỊ TỪ

Một vị từ là một khẳng định P(x,y,…) trong đó có chứa một số biến x,y,…Lấy giá trịtrong những tập hợp A,B,… cho trước, sao cho:

 Bản thân P(x,y,…) không phải là mệnh đề

 Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A,B,… cho trước ta sẽđược một mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,…) được gọi là cácbiến tự do của vị từ

Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: “ x > 3 ”, “ x + y = 4 ” rất hay gặp trong

toán học và trong các chương trình của máy tính Các câu này không đúng cũng khôngsai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định

Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không

có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ

Vi dụ 2: Câu {n là chẵn} là một vị từ Nhưng khi cho n là một số cụ thể là chẳn hay là lẻ

ta được một mệnh đề:

+ n = 2 :{2 là chẵn}: mệnh đề đúng

+ n = 5 :{5 là chẵn}: mệnh đề sai

Vị từ { n là chẵn} có 2 phần Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu Phần thứ hai

"là chẵn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có

II KHÔNG GIAN CỦA VỊ TỪ

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc tập hợp E ta

được một ảnh P(x)∈{ϕ, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ Khônggian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặcsai

III TRỌNG LƯỢNG CỦA VỊ TỪ

Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất hiện cũng nhưmột hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ

Ví dụ 4: Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N Ta nói P có

trong lượng 2

Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị xác định cho mộtbiến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1).Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề Vậy,thực chất mệnh

đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ

Ví dụ 5: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z}.

Cho x = ϕ : Q(y,z) = P(ϕ, y, z) = { ϕ + y = z}

- Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

+ "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai).

+ "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).

o Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y)

Ví dụ 7: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y" Quả bóng xanh là các

hằng được xác định trong không gian của vị từ X, Y là biến

3 Các vị từ

Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần Vị từ và tham

số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định

về đối tượng

Ví dụ 8: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y)

Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các ký hiệu thaycho các đối tượng của bài toán

4 Hàm

Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số

Ví dụ 9: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của nhau.

o Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này

1 Lượng từ tồn tại ( ∃ )

Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng" làmột mệnh đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là đúng"

là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x)

 Ký hiệu: ∃x P(x)

2 Lượng từ với mọi ( ∀ )

Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh

đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi làlượng từ với mọi của P(x)

 Ký hiệu: ∀xP(x)

Ý nghĩa của lượng từ “ với mọi ” và lượng từ “ tồn tại ” được rút ra trong bảng sau:

∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử x Có ít nhất 1 phần tử x để P(x)

∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để P(x) là

đúng

P(x) là sai với mọi phần tử x

Ví dụ10: Xét trong không gian các số thực, ta có:

Cho P(x) := “ x + 1 > x”, khi đó có thể viết: ∀ xP(x)

Cho P(x) := “ 2x = x + 1 ”, khi đó có thể viết: ∃xP(x)

Ví dụ 11: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn} Xét chân trị của hai mệnh

đề∀x P(x) và ∃x P(x)

Giải:

∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5

∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng khi x=10

Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề ∀x P(x) là

đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là ∀x P(x) ⇔ P(e1) ∧P(e2) ∧ ∧ P(en) là đúng

Tương tự ∃x P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là ∃x P(x) ⇔ P(e1) ∨ P(e2) ∨ ∨ P(en) là đúng

Ví dụ 12: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5}

Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau:

A tương đương B nếu và chỉ nếu (A →B) (B →A)∧ (B →A)

 Ký hiệu:

A ≡ B |= (A →B) (B →A) ∧ (B →A)

1 Các phép tương đương

∃(a,b) P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng (a,b) sao cho

∃b∀a P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng b sao cho cho

mọi số nguyên tương ứng a ta có a + b = 5} F ∀a∃b P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng a, hiện hữu một số nguyên

∃a∀b P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng a sao cho cho

mọi số nguyên tương ứng b ta có a + b = 5} T

∀b∃a P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng b, hiện hữu một số nguyên

+∀x∀y W(x,y) ≡ ∀y∀x W(x,y)

+∃x ∃y W(x,y) ≡ ∃y∃x W(x,y)

2 Các phép tương đương có giới hạn

Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:

2.∀x A(x) ∨ ∀x B(x) →∀x (A(x) ∨ B(x))

3.∃x (A(x) ∧ B(x)) →∃x A(x) ∧∃x B(x)

4.∀x (A(x) → B(x)) →(∀x A(x) →∀x B(x))

5.∃y ∀x W(x,y) →∀x ∃y W(x,y)

VII CÔNG THỨC CHỈNH DẠNG (WELL – FORMED

FORMULAS)

Một tên vị từ theo sau bởi một danh sách các biến như: P (x, y), trong đó P là tên

vị từ, và x và y là các biến, được gọi là một công thức nguyên tử

1 Công thức chỉnh dạng ( Wff) được xây dựng như sau

+ Wff này là T, nếu miền giá trị là (1, 3, 5), (2, 4, 6) hoặc các số nguyên dương Nhưng

nó không còn là T nếu miền giá trị là ( 1, 3, 5), hay các số nguyên âm

+ Nếu giả thiết Q(x,y) là “x > y” thì ∀xQ(x,y) có thể nhận giá trị T hay F tùy thuộc theobiến y

o Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:

o Wff được gọi là thỏa mãn nếu tồn tại một giải thích làm cho nó T

Ví dụ 17: ∀x P(x) là thỏa mãn.

o Wff là hợp lệ nếu nó là đúng với mọi giải thích

Ví dụ 18: ∀x P(x) ∨ ∃x¬P(x) hợp lệ với mọi P và giải thich.

o Wff là không hợp lệ hoặc không thỏa mãn nếu không tồn tại một giải thích làmWff T

VIII QUY TẮC VÀ MÔ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ

 Quy tắc suy diễn 1 ( rút gọn)

o Công thức cơ sở: (A˄B)→A≡1

o Mô hình suy diễn : A B

∴ A

 Quy tắc suy diễn 2( cộng)

o Công thức cơ sở: A → (AB) ≡ 1

o Mô hình suy diễn: ∴ A ˅ B A

 Quy tắc suy diễn 3(khẳng định )

o Công thức cơ sở: (A ˄ (A → B) → B ≡ 1